Г.М. Кобельков - Задачи к экзамену по курсу Методы вычислений (1119785)
Текст из файла
Задачи к экзамену по курсу «Методы вычислений»Лектор — Георгий Михайлович КобельковПоследняя редакция: 28 апреля 2006 годаРешения задач: Алексей Гордиенко, Сергей Гладких, Дмитрий Вельтищев, Михаил Вельтищев.Обозначения: AT — транспонированная матрица, A > 0 — положительно определённая матрица. Скалярноепроизведение — круглые скобки.Авторы не несут никакой ответственности за этот текст. Здесь могут быть ошибки, опечатки и простоБред Полныйr .
Поэтому приветствуется обнаружение такового. Пишите, если найдёте. Если Вы вдруг на экзамене, списав решение, узнаете, что оно совершенно неправильное, не надо ни на кого катить потом бочку —используйте на свой страх и риск. Правда, Вы можете потом сообщить нам о том, что «решение задачи номертакой то из этого списка было не засчитано на экзамене».Последняя компиляция: 28 апреля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Задача 1. Вычислить интегралIk :=1πZπ0cos kx − cos kαdx.cos x − cos αРешение. Выведем рекуррентное соотношение на Ik . Легко видеть, чтоIk+1 + Ik−12=πZπ0cos kx cos x − cos kα cos α2dx =cos x − cos απZπcos kx dx + 2 cos αIk ,0а поскольку интеграл в правой части равен нулю, получаем соотношение Ik+1 + Ik−1 = 2 cos αIk . Имеем I0 = 0,I1 = 1.
Запишем характеристический многочлен:λ2 + 1 = 2λ cos α.Найдём его корни:λ1,2 = cos α ±pcos2 α − 1 = cos α ± i sin α = e±iα .Следовательно, общее решение рекуррентного соотношения имеет видIk = Aeikα + Be−ikα .Из начальных условий находим:(0 = A + B (при k = 0);1 = Aeiα + Be−iα (при k = 1).ОтсюдаA = −B =Таким образом, получаем ответ:Ik =1.2i sin αsin kα.sin αЗадача 2. Вычислить определитель∆mba= det cba01cb...0...
.... ca bРешение. Разложим определитель ∆m по первой строке, а второе слагаемое этого разложения дополнительно разложим ещё и по первому столбцу. Получим∆m = b∆m−1 − ac∆m−2 .Запишем характеристический многочлен:λ2 − bλ + ac = 0.Его корни таковы:λ1,2 =Общее решение имеет видp1b ± b2 − 4ac .2m∆m = c1 λm1 + c2 λ2 .Из начальных условий имеем ∆1 = b и ∆2 = b2 − ac. Решая полученную систему, находим константы:√√b + b2 − 4ac−b + b2 − 4ac√c1 = √, c2 =.2 b2 − 4ac2 b2 − 4acЗадача 3. Построить квадратурную формулу с N узлами для интегралаI(f ) =Zπf (x) dx ∼ SN (f ),0которая была бы точна для любого тригонометрического многочлена степени N − 1.Решение.
Рассмотрим тригонометрический многочлен степени N − 1 общего вида:f (x) =N−1Xbk e2ikx .k=−N +1[[M.V.]: Зачем нам тут коэффициент 2? Кажется, это будут только чётные показатели. Базис-то einx !] Его можноявно проинтегрировать, и после интегрирования получаем:I(f ) =N−1Xbkk=−N +1k6=0e2ikπ − 1+ πb0 .2ikБудем строить интерполяционную формулу с узлами в точках вида πkN , где k = 0, .
. . , N −1. Остаётся убедиться вNP−1πтом, что формула SN (f ) = Nf πkN удовлетворяет условиям. Это проще всего сделать, оставляя ненулевымk=0лишь один из коэффициентов bk и проверяя на нём формулу. используя формулу для суммы геометрическойпрогрессии, получаем требуемое.
Задача 4. Построить квадратурную формулу ГауссаZ1x2 f (x) dx ∼ C1 f (x1 ) + C2 f (x2 ).−1Решение. Как известно, в качестве узлов интерполяции следует брать корни x1 , x2 ортогонального многочлена второй степени. Построим такой многочлен. Он должен удовлетворять условиямR1 2 x (x − x1 )(x − x2 ) · 1 dx = 0,−1R1 2 x (x − x1 )(x − x2 ) · x dx = 0.−1qВычисляя интегралы, находим x1 = −x2 = 35 . Интерполяционная формула имеет вид S2 (f ) = c1 f (x1 )+c2 f (x2 ),где константы ci находятся подстановкой многочленов 1 и x:q 3 (c1 + c2 ) = 23q5 3 (c1 − c2 ) = 0,52откуда c1 = c2 =13q53.Эта формула точна на многочленах степени 2n − 1 = 3.
Задача 5. Построить квадратурную формулу ГауссаZ10xf (x) dx ∼ C1 f (x1 ) + C2 f (x2 ).Решение. Как известно, в качестве узлов интерполяции следует брать корни x1 , x2 ортогонального многочлена второй степени. Построим такой многочлен. Он должен удовлетворять условиям1R x(x − x1 )(x − x2 ) · 1 dx = 0,0R1 x(x − x1 )(x − x2 ) · x dx = 0.0Вычисляя интегралы, находимx1,23 1= ±5 5r57.2Интерполяционная формула имеет вид S2 (f ) = c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ), где константы ci находятся подстановкоймногочленов 1 и x:(c1 + c2 = 12q q + c2 35 − 15 57= 31 ,c1 35 + 15 5722q157откуда c1,2 = 14 ± 122 .
Эта формула точна на многочленах степени 2n − 1 = 3. Задача 6. Построить квадратурную формулуZ10xf (x) dx ∼ C1 f (0) + C2 f (x2 ),точную для многочленов наиболее высокой степени.Решение. Как видно из предыдущей задачи, эта формула не является квадратурной формулой Гаусса, а,значит, она будет точна на многочленах степени не выше второй (у нас пропала одна степень свободы).
Иначеговоря, имеем условиеZ1x(Ax2 + Bx + C) dx =A BC+ += Cc1 + (Ax22 + Bx2 + C)c2 .4320Это равенство должно быть выполнено для произвольных чисел A, B, C, следовательно, получаем систему:1c1 + c2 = 2 ,c2 x2 = 13 , 2c2 x2 = 14 ,откуда находим3x2 = 4 ,c1 = 49 ,1c2 = 18.Задача 7. Построить квадратурную формулу для вычисления интегралаZ∞1f (x)dx1 + x2где |f (x)| 6 const .3Решение. Преобразуем исследуемый интеграл:Z∞πf (x)dx =1 + x21Z2f (tg t)dt.π4Такой интеграл можно посчитать по разным квадратурным формулам, лишь бы среди узлов не было полюсовфункции tg; в частности, можно использовать следующую формулу:Z∞1f (x)π3πdx ≈ f (tg).1 + x248Задача 8. Приблизить функцию x3 на отрезке [0, 1] многочленом наилучшего равномерного приближениявторой степени.Решение. Пусть P (x) — искомый многочлен, тогда F (x) = x3 − P (x) наименее уклоняется от нуля на [0, 1],следовательно, это нормированный многочлен Чебышёва третьей степени на [0, 1].
Выписываем T0 , T1 , T2 , T3 наотрезке [−1, 1] по известной рекуррентной формуле Tn = 2xTn−1 − Tn−2 , получаемT3 (x) = 4x3 − 3x.Теперь приводим полученный многочлен к отрезку [0, 1] линейной заменой и нормируем. В итоге получимоткуда391Te3 = x3 − x2 + x − ,21632391P (x) = x3 − Te(x) = x2 − x + .21632Задача 9. Приблизить функцию x3 на отрезке [0, 1] многочленом наилучшего равномерного приближенияпервой степени.Решение.
Пусть P (x) — искомый многочлен. Заметим, чтоmax x3 − P (x) 6 max x3 − Pe (x) ,x∈[0,1]x∈[−1,1]где Pe (x) — многочлен наилучшего равномерного приближения (далее МНРП) первой степени на отрезке [−1, 1].Однако, для нечётной функции x3 этот многочлен также будет МНРП второй степени на отрезке [−1, 1].
Следовательно,max x3 − P (x) = max x3 − Pe (x) ,x∈[0,1]x∈[−1,1]и P (x) = Pe(x). Аналогично предыдущей задаче, заключаем, что x3 − P (x) будет нормированным многочленомЧебышёва третьей степени на отрезке [−1, 1], то естьоткуда P (x) = 34 x. 3x3 − P (x) = Te3 (x) = x3 − x,4Задача 10. Оценить снизу величину kex − P4 (x)kC[0,1] , где P4 (x) — многочлен наилучшего равномерногоприближения.1 (5)Решение.
Имеем ex − P4 (x) = 5!f (ξ)ω5 (x) для некоторого ξ ∈ [0, 1], где f (x) = ex . Справа у нас многочлен5-й степени, которому следует наименее уклоняться от нуля, значит, это многочлен Чебышёва 5-й степени наотрезке [0, 1]. Осталось оценить это слагаемое снизу. Производная оценивается константой 1 (куда уж меньше!),а норма многочлена ω5 — тоже некоторой константой, зависящей в общем случае от количества узлов и длины1отрезка. В данном случае искомая константа равна 5!·27. Задача 11. Для функции cos x на отрезке [−1, 1] построить многочлен четвёртой степени P4 (x) такой,чтоkcos x − P4 (x)kC[−1,1] 6 1.5 · 10−4 .4Решение. Будем делать то же самое, что и в предыдущей задаче, только на этот раз будем заменять правуючасть на максимум вместо минимума.
Тут есть проблема: 4-й производной нам не хватит, потому что константабудет неудовлетворительно большой. Значит, надо проявить интеллект, а именно, заметить, что, в силу чётностикосинуса, при его приближении можно брать многочлены 5-й степени, так как на деле получится многочлен 4-йстепени. А вот 5-й степени нам хватит! Задача 12. Построить наилучшее среднеквадратичное приближение функции f (x) = sin x многочленомвторой степени на отрезке [0, π].Решение.
Сделаем замену x = π2 y + π2 . Получим sin x = cos π2 y = f (y), причём функцию f (y) нужно приблизить на отрезке [−1, 1]. Известно (искомое приближение будет просто ортогональной проекцией приближаемоговектора на подпространство, порождённое многочленами не выше второй степени), что среднеквадратичноеприближение имеет видP = (Q0 , f )Q0 + (Q1 , f )Q1 + (Q2 , f )Q2 ,где Qi — ортогональные многочлены на отрезке [−1, 1]:Q0 = 1,1Q2 = y 2 − .3Q1 = y,Найдём коэффициенты:(Q0 , f ) =Z1cosZ1y cosπ4y dy = ,2π−1(Q1 , f ) =πy dy = 0,2−1(Q2 , f ) =Z1−11π832x2 −cos y dy = − 2 .32ππВозвращаясь к старым координатам, запишем окончательный результат:20 41620 41610 41622P (x) = 2−x −−x+−+ .π3π π 2π 3π π 23 3π π 2πЗадача 13.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
