Г.М. Кобельков - Задачи к экзамену по курсу Методы вычислений (1119785), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Рассмотрим сеточную функцию unm (по нижнему индексу у нас шаг h, а по верхнему — τ ). У насзадано unM = 0. Для краевого условия на левом конце применим схему−un2 + 4un1 − 3un0= 0,2hкоторая годится в силу задачи 24. Для самого уравнения у нас есть схема с точностью O |h| + |τ | .un + unm−1 − 2unmun+1− unmmn= m+1+ fm.τh210Подставим точное решение:Аппроксимируем∂2 u∂t2 .∂u n τ ∂ 2 u n + · +f n + O(τ 2 + h2 ).∂t m 2 ∂x2 m mРассмотрим для этой цели схемуn−1n+1n+1n−1un+1un + unm−1 − 2unmun+1− unmfm− fmm+1 + um−1 − 2ummn= m+1++f+.mτ2h22h24τТакая схема даёт точность O(h2 + τ 2 ).

Начальные условия: u0m задано, u0M = 0.−un2 + 4un1 − 3un0= 0.2hЗадача 26. Для краевой задачи в единичном квадрате∆u = f,=0u∂Ωвыписать разностную схему с порядком аппроксимации O(h4 ) и предложить метод решения получающейсясистемы линейных уравнений.Решение. Мы знаем схему с порядком аппроксимации O(h2 ):un− 2unm + unm−1un+1− 2unm + un−1mmn+ m+1= fm.2hh2Подставим разложение un+1и unm+1 , чтобы уточнить схему: тогда слева получается невязкаm1 ∂4u 21 ∂4u 24h+O(h)+h .12 ∂x412 ∂y 4Её нужно ликвидировать, построив для четвёртых производных схемы порядка O(h2 ).

Имеемαun+2+ βun+1+ γunm + βun−1+ γun−2mmmm.h4ТребуетсяОтсюда получаем системуСледовательно, схема имеет видnm ),2α + 2β + γ = 0 (при u∂ 2 u n2 · 4α + 2β = 0 (при ∂x2 m ), 16α 2β∂ 4 u n24 + 24 = 1 (при ∂x4 m ).β = −4α,8α = 24,γ = −2α − 2β,⇔α = 3,β = −12,γ = 18.unm+1 − 2unm + unm−1un+1− 2unm + un−1mm+−h2h2nn−13un+2 − 12un+1+ 3un−2m + 18um − 12umm− m−4hnnn3un − 12umn+1 + 18um − 12um−1 + 3um−2n− m+2= fm.4hЧто касается методов решения, то здесь всё довольно плохо. Именно, матрица получается 7-диагональная,поэтому нужно применять либо семиточечную прогонку, которая довольно сложна в реализации либо обычнымметодом Гаусса, в котором сделана оптимизация на случай ленточных матриц.

11.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)