2000 Трифонов Е.Д., Еще раз о радуге (1119305), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Отметим, что положения этих экстремальных точек для различных цветов несколько отличаются, что и позволяет наблюдатьрадугу. Описанный эффект получен на основании геометрической оптики. В последнем разделе мы покажем,какое влияние на него оказывает дифракция света.Угловое распределение интенсивности рассеянного света можно получить, если построить график зависимости ctg β от угла ϕ. Вручную это можно сделать пографикам на рис. 3, но лучше, конечно, на компьютере.Для тех, кто знает, что такое производная, приведенные выше рассуждения можно свести к формулеdϕI ( ϕ ) = ------ . dy градусах), аналогичные формулам (3) и (4). Затем записываются команды вычисления производных от этихуглов по прицельному параметру и, наконец, в соответствии с (6) задаются формулы для вычисления относительных интенсивностей. Для упрощения программымы предполагаем здесь симметрию кривых на рис.
3 вокрестности экстремальных точек. С этим связано введенное условие “if” и дополнительный множитель 2.Полученные таким образом графики интенсивности рассеянного света для первого и второго случаевизображены на рис. 4. При этом мы показываем кривые для двух значений показателя преломления, соответствующих красному и фиолетовому цветам.0,10I2(y, m)I1(y, n)0,05I2(y, n)I1(y, m)–1(6)Ниже мы приводим программу построения этих графиков с помощью среды Маткад (MathCad).y := 0,0001n := 1,331m := 1,343180yf 1 ( y, n ) := 4 arcsin --- – 2 arcsin ( y ) ⋅ ---------------- n 3 ,1416180yf 2 ( y, n ) := 180 – 6 arcsin --- – 2 arcsin ( y ) ⋅ --------------- n 3 ,1416ddf 1 ( y, n ) := -----f 1 ( y, n )dy2------------------------- if df1 ( y, n ) < 0df 1 ( y, n )I1 ( y, n ) :=0 otherwiseddf 2 ( y, n ) := -----f 2 ( y, n )dy2-------------------------- if df2 ( y, n ) > 0.df 2 ( y, n )I2 ( y, n ) :=0 otherwiseЭта программа очень лаконична и фактически повторяет формулы, приведенные в тексте.
В первойстроке задан интервал изменения модуля прицельногопараметра [0, 1] с шагом 0,0001, n = 1,331 и m = 1,343 –показатели преломления воды для красного и фиолетового лучей соответственно. Далее приводятся две основные формулы для углов рассеяния (выраженные в56035°40°45°50°f1(y, n), f1(y, m), f2(y, n), f2(y, m)55°Рис. 4. Угловое распределение интенсивности отраженного каплей монохроматического света, полученное с помощью геометрической оптикиПриведем значения углов, при которых достигаются максимумы интенсивностей красного и фиолетового лучей:фиолетовый луч в первом случае 40,65°,красный луч в первом случае 42,37°,фиолетовый луч во втором случае 53,48°,красный луч во втором случае 50,37°.Видно, что яркие лучи, окрашенные в эти цвета, врассматриваемом приближении хорошо разделены: впервом случае – на 1,72°, во втором – на 3,11°.Таким образом, эффект радуги обусловлен тем, чтопод определенными углами возникают максимумы интенсивности рассеянного света и для разных цветов положения этих максимумов не перекрываются.КАК НАРИСОВАТЬ РАДУГУТеперь мы можем нарисовать схему наблюдения радуги.Такое построение выполнено на рис.
5. Сначала рисуемповерхность Земли и стоящего на ней наблюдателя. Перед наблюдателем находится завеса дождя (закрашенная серым цветом). Затем изображаем солнечные лучи,С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 7 , 2 0 0 0ФИЗИКАСолнечные лучиЗавесадождя°8°,4 0,37553,3742°65°40,Поверхность ЗемлиОсь радугиРис.
5. Схема наблюдения радугинаправление которых зависит от высоты Солнца надгоризонтом. Через глаз наблюдателя проводим красные и фиолетовые лучи под указанными выше угламипо отношению к солнечным лучам. Можно быть уверенным на основании результатов предыдущего раздела, что эти лучи возникнут в результате рассеянияна соответствующих каплях дождя.
При этом, как следует из рис. 2, нижняя радуга обусловлена процессамирассеяния с одним отражением, а верхняя – с двумяотражениями. Обратите внимание на чередование цветов: фиолетовые лучи являются внешними, а красные – внутренними. Очевидно, что лучи других цветовв каждой радуге размещаются между красным и фиолетовым в соответствии со значениями показателей преломления.Напомним, что мы пока рассматривали изображение радуги в вертикальной плоскости, проходящей через глаз наблюдателя и положение Солнца.
Проведемпрямую, проходящую через глаз наблюдателя параллельно солнечному лучу. Если вертикальную плоскостьповорачивать вокруг указанной прямой, то ее новоеположение для наблюдения радуги будет совершенноэквивалентно исходному. Поэтому радуга имеет формудуги окружности, центр которой находится на построенной оси. Радиус этой окружности (как видно на рис. 5)приблизительно равен расстоянию наблюдателя до завесы дождя.Отметим, что при наблюдении радуги Солнце недолжно стоять слишком высоко над горизонтом – неболее чем на 53,48°. Иначе картина лучей на рисункебудет поворачиваться по часовой стрелке, так что дажефиолетовый луч верхней радуги не сможет попасть вглаз наблюдателя, стоящего на Земле.
Правда, это окажется возможным, если наблюдатель поднимется нанекоторую высоту, например на самолете. Если наблюдатель поднимется достаточно высоко, то он сможетувидеть радугу и в форме полной окружности.Данное описание радуги следует уточнить c учетомтого, что солнечные лучи не строго параллельны.
Этосвязано с тем, что лучи, падающие на каплю от разныхточек Солнца, имеют несколько различные направления. Максимальное угловое расхождение лучей определяется угловым диаметром Солнца, как известноравным приблизительно 0,5°. К чему это приводит?Каждая капля испускает в глаз наблюдателя не стольмонохроматический свет, как это было бы в случаестрогой параллельности падающих лучей. Если бы угловой диаметр Солнца заметно превосходил угловоерасстояние между фиолетовым и красным лучами, тоцвета радуги были бы неразличимы.
К счастью, это нетак, хотя, несомненно, перекрывание лучей с разнымидлинами волн влияет на контрастность цветов радуги.Интересно, что конечность углового диаметра Солнцабыла уже учтена в работе Декарта.ПОПРАВКА НА ДИФРАКЦИЮПриведенное выше объяснение радуги было выполнено на основании геометрической оптики.
Но известно,что свет имеет волновую природу и геометрическая оптика является лишь некоторым приближением. В этомразделе мы рассмотрим, насколько это приближениеоправданно в нашем случае.Дело в том, что понятие о бесконечно узком пучкелучей является абстракцией. Если свет падает на круглое отверстие диаметра a, то из-за волновой природы(вспомните принцип Гюйгенса–Френеля) прошедшийпучок света будет расширяться и угловой размер егоможет быть охарактеризован так называемым дифракционным углом λ/a рад, где λ – длина волны рассматриваемого излучения.
В нашем случае свет отражаетсяот капли. Поэтому оценка дифракционного уширения,если принять диаметр капли равным 1 мм, а длину волны 5 ⋅ 10−5 см, будет 5 ⋅ 10−4 рад, или 0,03°.Эту оценку легко было получить, но она являетсягрубой. Из предыдущего объяснения радуги следует,что активными областями поверхности капли являютсялишь те участки (меньшего размера), которые соответствуют экстремальным (минимальным или максимальным) значениям угла рассеяния ϕ. Поэтому полученноеТ Р И Ф О Н О В Е . Д . Е Щ Е РА З О РА Д У Г Е57ФИЗИКАвыше дифракционное уширение является несколькозаниженным.Выполним более точную оценку дифракционногоуширения.
Для этого аппроксимируем (то есть приближенно заменим) кривую ϕ(y) в окрестности экстремальной точки параболой:ϕ(y) ≈ ϕ0 + f ⋅ (y − y0)2,(7)где ϕ0 – экстремальное значение угла рассеяния, y0 –значение прицельного расстояния, при котором достигается экстремальное значение угла ϕ, f – подгоночный параметр. Из (7) следует, чтоy – y0 =ϕ–ϕ---------------0 .f(8)Заметим, что интервал |y − y0 | характеризует интенсивность падающего на него света и равен интервалузначений прицельного параметра, из которого выходитсвет (обратите внимание на симметрию хода лучей нарис. 2), поэтому он определяет и дифракционный угол.Определим интервал угла рассеяния ϕ − ϕ0 , соответствующий интервалу прицельного параметра y − y0 , так,чтобы он был равен дифракционному углу. То есть поставим условиеλ-------------------------- = ϕ – ϕ 0 = ∆ϕ,2R 0 y – y 0где R0 – радиус капли (напомним, что прицельный параметр y мы выражали в единицах радиуса капли).Используя (8), получаем2---1λ 3 --3∆ϕ = --------- ⋅ f . 2R 0(9)Параметр f, как мы уже отмечали, может быть приближенно определен по графикам на рис.
3. Те, кто знает дифференцирование, могут выразить его, как этоследует из (7), в видеd ϕf = 2 --------2dy2в точке экстремума. При этом, конечно, надо дифференцировать не функцию, стоящую в правой частиуравнения (7), а общие выражения для угла ϕ, даваемыеисходными формулами (1) и (2).
Вычисления приводятк следующим результатам: f = −4,126 в первом случае иf = 24,313 во втором. Используя эти данные, можно поформуле (9) вычислить дифракционные уширения пучков лучей в зависимости от радиуса капли. В таблице 158Таблица 10,10,20,51,0∆ϕ2∆ϕ1R, ммрадианыградусырадианыградусы0,03700,02320,01260,00792,111,330,720,450,06680,04210,02280,01443,822,411,310,82мы приводим результаты этих вычислений для красного луча (λ = 7 ⋅ 10−7 м) в обеих радугах.Видно, что при радиусе капли в 1 мм дифракционное уширение порядка половины градуса для первойрадуги и около одного градуса для другой. Напомним,что угловая ширина первой радуги 1,72°, а второй 3,11°.С уменьшением радиуса капли происходит дифракционное уширение пучков лучей разных цветов и ихперекрывание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
