В.С. Захаров, В.Б. Смирнов - Физика Земли (1119252), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Существуют Формулы соответствия, по которым, зная решение для плоской задачи (4! ), можно получить решение лля сферической задачи. Для этого надо произвести следующие замены: 4.2,4. Кривизна пуча Радиус кривизны луча й — радиус окружности, аппроксимируюнзей луч в данной точке. Для функции -(х) кривизна определяе(тя ( -"(х) как О= — = й ()+,')"г' ' Подставляясюда(4.)), имеем: О = — = -рс'(т), )( с(с где с (т).= —. се На ряс. 4.3 представлены возможные варианты изгиба сейсмического луча. Рис. 4.В.
Кривизна сейсмическоголуча: о — с'в О, Я < Π— луч загибаегся вверх, 6 — с":= О, Я = — луч прямолинейнми; с — с < О, Я > Π— луч загибается вниз Условия выхода луча на поверхность для; плоского: с'(х) > О; гтс(г) с сферического: — с —, т.е. скорость убывает с глубиной не с(г быстрее, чем г, в противном случае луч закручивается по спирали к центру. 4.3. ГОДОГРАФЫ 4,3.1. Уравнение годографа Д.
Милн предложил строить графики зависимости времени пробега объемных и поверхностных волн от эпицеятрального расстояния Гя г = г(Л). Эта зависимость в сейсмологии называется годогра4юм (рис. 4.9). Рассмотрим пряную эидачу: по известной зависимости скорости сейсмических волн от глубины с = с(г) (рис. 4.!О, б) получим зависимость г = г(х), т.е, годограф. Из (4.1) имеем (рис. 4.10, а) где знак «+> соответствует левой части луча, а знак « — » — правой. г в Рис. 43К Принцип построение годографа; а — изменение скорости сейсмических волн с глубиной; б — ход лучей в сферической Земле; в — зависимость времени пробега волн ог зпиценгпральногорассгполнил 1(Л) 111 рис. 4ЛО, К выводу уравнения годографа длл рефраптрованной (преломленной) волны: в — сейсмический луч: 6 — зависимость скорости сейсмических волн от глубины с = с(а); с — скорость сейсмических волн; кн - вершина луча Г ут гз — г, = с = ) — .= ( — -"---ох = +2- 1 х, "с ~ — -р с~ Для всего луча х, = О, х, = х.
Используя симметрикт луча относительно вврититты, те. точки наибольшегоо проникновения хн, запишем г х(р) = 2р 2 —;— с" г( р) =-2 ~. а ..~1 с — — р ,2 ;,а(р):с(С„)= ~)г Уравнение годограгра в нарамегнричесном виде. Прн - =. „„,: Чг = яу2 и из (4.2) имеем а)пту ! с("и) с(еи) параметр луча равен обратной скорости на глубине, соответству!огней нергпине луча. 1 Величина параметра луча р варьирует в пределах 0 < р < ---- (что с('О) сстотвегствует диапазону у1лов 0 < «уо < к/2).
Задавая р из этого диапазона, можно по системе уравнений (4,3) рассчитать голограф. о 6 Рис. 4Л 1. К выводу уравнения годографа для отраженной волны." а — сейсмический луч для падающей, отраженной и преломленной волн; 6 — зависимость скорости сейсмических волн от глубины со скачком скорости на глубине г" Если на глубине:" отмечается скачок скорости (рис. 4,11)„то происходит отражение волн от гранины на этой глубине, а уравнение годографа примет вид: х(д)м2р~ " О, л 14а Ь- с(с г()т)м2) —— з П г О * р )~с 4.3.2.
Формула Бендорфа Получим теперь связь годографа и параметра луча, выходягпсго на поверхность в точке х (рис, 4.12), ох с(х В точке выхода луча на поверхность с, = — -у — — кажучцаяся» Лг ггг скорость движения точки поверхности, до которой дошли колебания.
Для лучей, выходящих на поверхность под углом дг, имеем (см. врезку на рис. 4.12) Рнс. 4Л 2. К выводу формулы Бендорфа: внизу — сейсмический луч, выходящий на ловериность в точках', вверху — годограф АВ ссаасзг 1 ОЗ с(О)гм в(пцго " тле с(О) — сейсмическая скорость у поверхности (прн е = О), дх с(О) 1 Тогда — = с, = —, = —. Последнее равенство — следствие (4.2), дг а)пз1го С учетом (4.4) получаем форагулу Ьеидарфа дг ! р= дх с(еи) ко юрая позволяет вычислить лараметр луча, выходящего на поверхность в точке х', — как лроиааадлую гадографа в этой точке — и тем самым определить скорость в вершине луча (4.4) непосредственно по г одографу 4З.4. Тнньз н особенности годогрвфов д( Поскольку, согласно формуле Бендорфа (4.5), — = р > О, то гос(х лограф является монотонно еозрастаюи(ей функцией (но необязательно непрерывной), Рассмотрим несколько основных типов годографов лля преломленных волн.
1. Скорость растет с глубиной с'(е) > О. Рассмотрим, как соотносятся координата выхода луча на поверхность х н глубина вершины луча е . с(х !, ??х Поскольку р(с) = )/с(е ), то — = — с'(; ) —. Возможны не- т« * »«2 п~ ( сколько случаев: г?х их а) — — >О, откуда — <О (рис,4ЛЗ),Луч, имеюшийменьшеезна- ?(Сн г)р чение р (и соответственно меньший угол падения ту ) и проникающий ?лубже, выходит на поверхность на бовьшелг эпй??ентрш?ьном расстсани и. (р ('? Поскольку — = —,, < О, то в этом случае годограф — кривая, вы- ~с (х? луклал вверх; ??х ?(х б) — < О.
откуда — >О (рис. 4Л4). Луч, имеюший меньшее зна- ~(?т с(р чение р (и соответственно меньший угол падения ?у ) и прониканнций глубже, выходит иа поверхность на меиьшезг эг?йцентральном ( (2? расстоянии. Поскольку — = —,>О, то в этом случае го- йх ?(х? до?1?аф — кривая, вил\ай?вя Вн??3. В этом случае лучи пересекаются и не выходят за границу некоторой области. Эта граница является огибающей — зоной концентрации лучей и называется кауслшкой (термин из оптики, «каустика» означае~ «жгучая»).
Уаовил обризовалил каустики; если для двух лучей радиусы кривизны соотносятся как Я < ?г? (или, соответственно, кривизна г( > т),), тор < рг Следовательно, условие образования каустики (с(1д'/г(р) < О, откуда находим Ж ?»ис.4.13. Ход лучей (вннзу слева) и годограф: вверху слева — при медленном росте скорости и с глубиной — внизу справа 115 Рис. 4Л4. Образование каустики — огибающей и зоны концентрации лучей; ход лучей (внизу слева) и голограф (вверху слева) при быстром росте скорости с глубиной (внизу справа) с"(с ) > р(с'(си))з. Таким абра:юм, каустика образуется в той области среды, где достаточноо быстро растет градиент скорости; в) наличие слоя с быстрым возрастанием скорости с глубиной, заключенном между слоями с медленным ростом скорости приводит к увеличению кривизны луча и изменению формы годографа. Если возрастание скорости происходит весьма быстро, то получается картина, схематически изображенная на рнс.
4. ! 5. В некотором интервале изменения параметра р, т:е. в некотором интерваче значений цга, оказывается, что с уменья)еннем т(го эпицентральное расстояние х не увеличивается, а убываег, На годографе появляется ветвь возврата и образуется лелтля. 2, Скорость падает с глубиной с' < О (в некотором диапазоне глубин). Такой слой называется волнокодозг. В этом слое лучи отклоняются вниз, а затем выходят на поверхность на больших эпипентральных расстояниях.
В этом случае на годографе образуется разрыв (рис. 4. )б). Значение параметра луча, при котором происходит разрыв, равно Если в нижней части волновода скорость растет с глубиной лостаточно быстро. то образуется небольшая возвратная ветвь годографа, выпуклая вниз. Поэтому зона теми (диапазон эпипентральных Рис.4.1 $. Образование петли годографа: ход лучеи (внизу слева).
голограмм (вверху слева), зависимость скорости от глубины )внизу справа) расстояний, куда не выходит лучи) несколько меньше разрыва годограф)!, В случае волновода с резкими границами ) волновода, ограниченного скачками скорости, рис. 4.! 7) выполниетсд условие: Рис.4.16, Ход лучей и годогра$ в случае волновода: ход лучей )внизу слева). годограф гвверху слева), зависимость скорости от глубины )внизу справа) с, сз з)пхт, в)пту, В предельном случае лсмлого ол~раэселил ~у = 90'. и предельное значение Чг, (угол полного отражения) определяется из условия ыпЧ~, = — '.
При Чг>цг," преломленной волны нет. с, х с', с Рис. 4Л 7. Полное отражение в случае волноводв с резкими границами 3. (одограф для отраженной волны. В случае, когда на границе наблюдается скачок скорости (с > с,), происходит отражение волн от этой резкой границы (рис. 4. И), На годографе проявляются три ветви: для прямой волны, отраженной волны и головной волны (преломленной волны, распространяющейся вдоль границы со скоростью нижней среды с ). Кроме отраженных и преломленных, на резких границах при наклонном падении лучей возникают также обменные волны, т.е, происходит час~ичный переход волн Р в 3 и 5 — в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
