Теормин ТФКП (1118774)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Определение 1: Система открытых множеств {O}, множество O – открытое, образуетоткрытое покрытие множества E, если ∀z ∈ E ∃O z ∈ {O} : z ∈ O zЛемма Гейне-Бореля: Из любого бесконечного открытого покрытия {O} компакта Eможно выделить конечное подпокрытие.Определение 2: Функция f(z) называется дифференцируемой, если приращение∆f = A∆z + o(1)∆z ; из дифференцируемости следует непрерывность.Условия Коши-Римана: u ′x = v ′y ; u ′y = −v ′xTh Для того, чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была дифференцируема в точке z0=x0+iy0,необходимо и достаточно, чтобы функции u(x,y), v(x,y) были дифференцируемы в точке(x0,y0) и чтобы выполнялись условия Коши-Римана.Определение 3: Отображение f(z) называется конформным в точке z0, если при этомотображении сохраняются углы между гладкими кривыми.Определение 4: Функция f(z) называется аналитической в области D, если она в областиD имеет производную f ′( z ) ∈ C ( D)Классы интегрируемых функций:1.

Класс непрерывных функций2. Класс ограниченных по модулю функций, имеющих на кривой конечное числоточек разрыва3. Класс функций, обладающих I-свойством, т е для любого e>0 найдётся конечноечисло спрямляемых дуг, принадлежащих данной кривой AB, и таких что суммадлин этих дуг меньше e.Th Жордана: Замкнутая жорданова кривая Г разбивает комплексную область С на 2области. Одна область D Г = int Г (внутренние точки Г) – ограниченная область и еёграницей является Г, вторая область С \ D Г - неограниченная, содержит ∞ и её границейтакже является Г.Определение 5: Область D ⊂ C - односвязная область, если её граница dD – замкнутое,связное множество.

Область D называется конечно-связной или n-связной, n>1, если еёграница состоит из конечного (из n) числа замкнутых связных компонент. В любомдругом случае область D – бесконечно связная.Интегральная теорема Коши: Пусть D – односвязная область и f ( z ) ∈ Α( D) . Тогда длялюбого контура Γ ⊂ D∫ f ( z )dz = 0ΓОбобщение Th Коши для конечно-связной области: Если D – ограниченная, конечносвязная область, граница которой состоит из (n+1) компонент: ∂D = Γ ∪ γ 1 ∪ ... ∪ γ n , гдеГ , γ 1 ,..., γ n не пересекаются и внутри Г содержатся γ 1 ,..., γ n . Тогда если f ( z ) ∈ A( D) , то∫f ( z )dz = 0;∂D∫ΓЛеммаnf ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dzЖордана:i =1 γ iПустьD = {z : Im z ≥ a}, f ( z ) ∈ C ( D ∩ { z ≥ R0 }), lim f ( z ) = 0.

Тогдаz →∞ ,z∈Dlim ∫ e imz f ( z )dz = 0, где m > 0, C R = D ∩ {z : z = R}R →∞CRИнтегральная формула Коши: Пусть D – область, функция f ( z ) ∈ Α( D) , контур Γ ⊂ D ,причём int Г ( D Г ) также принадлежит D. Тогда имеет место формула1 f (ξ )dξf ( z0 ) =2πi ∫Γ ξ − z 01Th Интеграл типа Коши – F(z) – есть аналитическая функция, при этом она имеетn!f (ξ )dξпроизводную любого порядка, равную F ( n ) ( z ) =∫2πi Γ (ξ − z ) ( n +1)∂2∂2+∂x 2 ∂y 2Определение 6: Функция u(x,y) дважды непрерывно дифференцируемая в области D иудовлетворяющая условию ∆u = 0 называется гармонической.Принципмаксимумамодуляаналитическойфункции:Пустьа ( я ) ∈ Α( D), M = sup f ( z ) , f ( z ) ≠ const , тогда для любой точки z∈D слкдует |f(z)|<MОператор Лапласа: ∆ =z∈DСледствие: Пусть D – ограниченная область и f ( z ) ∈ Α( D) ∩ C ( D). Тогда |f(z)| достигаетмаксимума на границе области.Принцип максимума гармонической функции:Пусть функция u(x,y) гармонична вобласти D, u ( x, y ) ≠ const , M = sup u ( x, y ), m = inf u ( x, y ) .

Тогда для любой точки (x,y) ∈ DDDсправедливы неравенства m<u(x,y)<MСледствие: Пусть D – ограниченная область и u ( x, y ) ∈ C ( D) и гармонична в D. Тогдамаксимум и минимум функции u(x,y) достигается на границе области D.αTh Лиувилля: Пусть f ( z ) ∈ Α(C ) и существуют α > 0, M > 0 : ∀z ∈ C → f ( z ) ≤ M z .Тогда f(z) – многочлен, степень которого не превышает целой части α - [ α ]Определение 7: Функциональный ряд∞∑fn =1если ряд∞∑fn =1nn( z ) сходится равномерно внутри области D,( z ) сходится равномерно на любом компакте K ⊂ D.Первая Th Вейерштрасса: Пусть ∀n ∈ N f n ( z ) ∈ A( D) и ∀ компакта K ⊂ D ряд∞∑fn =1n( z)сходится равномерно к f(z) на K.

Тогда1) f ( z ) ∈ A( D)∞2) f ( k ) ( z ) = ∑ f n( k ) ( z )n =1∞Ряд∑fn =1(k )nВторая( z ) сходится равномерно внутри области D.Вейерштрасса:Thn ∈ N f n ( z ) ∈ Α( D) ∩ C ( D). , ряд∞Тогда ряд∑fn =1nПусть∞∑fn =1(k )nD-ограниченнаяобласть,длялюбого( z ) сходится равномерно на границе dD области D.( z ) сходится равномерно в ( D ) к некоторой функции f ( z ) ∈ Α( D) ∩ C ( D).∞Первая Th Абеля: Если ряд∑an =1n( z − z 0 ) n сходится в точке z1 ≠ z0 , то он сходится вточке z : z − z 0 < z1 − z 0 , причём абсолютно.Th Коши-Адамара: Если R=0 (т е lim n a n = ∞ ), то рядn→∞∞∑an =1n( z − z 0 ) n сходится только вточке z0.

Если R=inf (т е lim n a n = 0 ), то ряд сходится абсолютно во всей комплекснойn→∞2плоскости C и равномерно внутри C. Если 0<R<inf, то ряд сходится абсолютно внутрикруга z − z 0 < R , равномерно внутри круга; вне замкнутого круга расходится.Th Тейлора: Пусть функция f(z)∈A(D) и точка z0∈D. Пусть ρ = ρ ( z 0 , ∂D) > 0 (р можетравняться inf). Тогда функцию f(z) можно разложить в степенной ряд∞f ( z ) = ∑ a n ( z − z 0 ) n , z ∈ {z : z − z 0 < ρ} , ряд сходится равномерно внутри круга, при этом(z0 ).

Из вида коэффициентов an следует, что разложение функции f(z) вn!степенной ряд единственно.Определение 8: Точка z0 называется нулём кратности k аналитической функции f(z), еслиf ( z 0 ) = 0, f ′( z 0 ) = 0,..., f ( k −1) ( z 0 ) = 0, f ( k ) ( z 0 ) ≠ 0.Th единственности: Пусть функции f(z), g(z) ∈ A(D), последовательность{z n } ∈ D, z i ≠ z j , i ≠ j и такая, что существует предельная точка z0 ∈ D. Тогда, еслиan =fn =0( n)f ( z k ) = g ( z k ) ∀k ∈ N , то f ( z ) ≡ g ( z ), z ∈ DTh (принцип непрерывности): Пусть функции f1(z) и f2(z) таковы, чтоf1 ( z ) ∈ A( D1 ) ∩ C ( D1 ∪ Γ), f 2 ( z ) ∈ A( D2 ) ∩ C ( D2 ∪ Γ), f1 ( z ) = f 2 ( z ), z ∈ ΓТогда существует функция f ( z ) ∈ A( D), D = D1 ∪ D2 ∪ Γ. Функция f(z) имеет вид⎧ f1 ( z ), z ∈ D1⎪f ( z ) = ⎨ f 2 ( z ), z ∈ D2⎪ f = f ,z∈Γ2⎩ 1При этом говорят, что функция f1(z) аналитически продолжается в область D2 черезграницу Г.Определение 9: Точка ς ∈ {| z − z 0 |= R} называется правильной точкой или регулярной∞для суммы ряда f ( z ) = ∑ a n ( z − z 0 ) n , если существует функция F ( z ) ∈ A(U δ (ς )), δ > 0 иn =0такая, что f ( z ) = F ( z ), z ∈ U δ (ς ) ∩ {| z − z 0 |< R} .

В любом другом случае точкаς ∈ {| z − z 0 |= R} называется особой точкой, лежащей на границе круга сходимостистепенного ряда.Th Пусть радиус сходимости степенного ряда∞∑an =0n( z − z 0 ) n ограничен (0<R<inf), тогдана границе круга сходимости лежит, по крайней мере, одна особая точка.Ряд вида∞∑an = −∞n( z − z 0 ) n , где {an} – последовательность комплексных чисел, называетсярядом Лорана. Он сходится в точке z, если сходятся одновременно два ряда∞∑ an ( z − z 0 ) n (правильная часть) иn =0−1∑an = −∞n( z − z 0 ) n (главная часть)Th Лорана: Пусть функция f(z)∈A(r<|z-z0|<R), тогда функцию f(z) можно разложить врядf ( z) =∞∑an = −∞n( z − z 0 ) n , r < z − z 0 < R , ряд сходится равномерно внутри кольца;разложение в ряд Лорана единственно, при этом1f (ξ )dξ, n = 0,±1,±2,..., r < ρ < Ran =∫2πi ξ − z0 = ρ (ξ − z 0 ) n +1<классификация особых точек>3Th Сохоцкого-Вейерштрасса: Пусть точка z0-существенно особая точка функции f(z),тогда Ε δ = C , где Ε δ - множество значений функции f(z) в окрестности 0 < z − z 0 < δ < rОпределение 10: Функция f(z) называется мероморфной в области D, если в области Dфункция f(z) имеет только изолированные особые точки, являющиеся полюсами.1Определение 11: Вычетом функции f(z) в точке z0 называется интегралf (ξ )dξ и2πi ∫Γ1обозначается res f ( z ) =f (ξ )dξz = z02πi ∫ΓTh о вычетах: Пусть ограниченная область D с границей dD, являющейся контуром,такова, что точки z1,z2,…,zn∈D – изолированные особые точки функции f(z) иf ( z ) ∈ Α( D \ {z1 , z 2 ,..., z n }) ∩ C (∂D) .

Тогдаn1f(ξ)dξ=res f ( z )∑z = zk2πi ∂∫Dk =14.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)