термин (1118775)
Текст из файла
Вопросы к зачету по мат.анализу и ТФКП4 семестр.1. Теорема о непрерывности собственного интеграла зависящего от параметра.Ω = {x ∈ [a, b], y ∈ [c, d ]} , a = ϕ ( y ), b = ψ ( y )f ( x, y ) — определена на Ω и ∀y ∈ [c, d ] интегрируема по [ϕ ( y ),ψ ( y )]ψ ( y)F ( y) =∫ f ( x, y)dx — собственный интеграл, зависящий от параметраϕ ( y)Теор. f ( x, y ) ∈ C (Ω) , ϕ ( y ),ψ ( y ) ∈ C[c, d ] ⇒ F ( y ) ∈ C[c, d ]2. Теорема о предельном переходе в собственном интеграле зависящем от параметра.Теор. f ( x, y ) ∈ C (Ω) , ϕ ( y ),ψ ( y ) ∈ C[c, d ] ⇒y 0 ∈ (c, d ) : lim F ( y ) = F ( y 0 ) =y → y0ψ ( y0 )∫ f ( x, y0)dxϕ ( y0 )3.
Теорема о дифференцируемости собственного интеграла зависящего от параметра.Теор. ∃f y′ ( x, y ) ∈ C (Ω) , ϕ ( y ),ψ ( y ) ∈ D[c, d ] ⇒ F ( y ) ∈ D[c, d ] ,F ′( y ) =ψ ( y)∫ f ′ ( x, y)dx + f (ψ ( y), y)ψ ′( y) − f (ϕ ( y), y)ϕ ′( y)yϕ ( y)4. Теорема об интегрируемости собственного интеграла зависящего от параметра.bТеор.
f ( x, y ) ∈ C ({x ∈ [a, b], y ∈ [c, d ]}) ⇒ F ( y ) = ∫ f ( x, y )dx интегрируема на сегментеa[c, d ] . Кроме того, справедлива формулаd bb d⎡⎤⎡⎤==F(y)dyf(x,y)dxdyf(x,y)dy⎢⎥⎢⎥ dx∫c∫c ⎣∫a∫∫a ⎣c⎦⎦5. Определение несобственного интеграла зависящего от параметра.df ( x, y ) — интегрируема в [a,+∞) × [c, d ]+∞⇒∫ f ( x, y)dx = I ( y) — несобственный интеграл, зависящий от параметраa6. Определение равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Несобственный интеграл I ( y ) сходится равномерно ∀y ∈ [c, d ] , если∀ε > 0 ∃A(ε ) ≥ a : ∀R ≥ A(ε ) ∀y ∈ [c, d ] ⇒+∞∫ f ( x, y)dx < εR7. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор.
I ( y ) сходится равномерно ⇔∀ε > 0 ∃A(ε ) ≥ a : ∀R ′, R ′′ ≥ A ∀y ∈ [c, d ] ⇒R′′∫ f ( x, y)dx < εR′8. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — интегрируема по [a, R] ∀R ≥ a ∀y ∈ [c, d ] ;2) ∃g ( x) : f ( x, y ) ≤ g ( x) ∀( x, y ) ∈ P∞ = [a,+∞) × [c, d ] ;+∞3)∫ g ( x)dx— сходится.a⇒ I ( y ) сходится равномерно.9. Признак Дини равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — непрерывна, f ( x, y ) ≥ 0 на P∞ ;2) I ( y ) — сходится ∀y ∈ [c, d ] ;3) I ( y ) — непрерывна ∀y ∈ [c, d ] .⇒ I ( y ) сходится равномерно.10. Признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор.
Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — интегрируема по [a, R] ∀R ≥ a ∀y ∈ [c, d ] ;x2) ∃M > 0 :∫ f (t , y)dt ≤ M , ∀( x, y) ∈ P ;∞a3) g (x) монотонно не возрастает, g ( x) → 0 при x → +∞ .+∞⇒∫ f ( x, y) g ( x)dxсходится равномерно.a11. Теорема о непрерывности несобственного интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — непрерывна в [a,+∞) × [c, d ] ;+∞2) I ( y ) =∫ f ( x, y)dx— равномерно сходится ∀y ∈ [c, d ] .a⇒ I ( y ) непрерывна.12.
Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) ,∂f ( x, y )— непрерывны в [a,+∞) × [c, d ] ;∂y+∞2)∫ f ( x, y)dx— сходится ∀y ∈ [c, d ] ;a+∞3)∂f ( x, y )dx — сходится равномерно ∀y ∈ [c, d ] .∂ya∫⇒ ∃I ′( y ) =+∞∂f ( x, y )dx∂ya∫13. Формула Фруллани.+∞f ( x) ∈ C ,∫Af ( x)dx — имеет смысл ∀A > 0x+∞⇒∫0f (ax) − f (bx)bdx = f (0) ln , a > 0, b > 0xa14. Теорема об интегрируемости несобственного интеграла зависящего от параметра.+∞Теор. Пусть f ( x, y ) ∈ C{x ∈ [a,+∞), y ∈ [c, d ]} , I ( y ) =∫ f ( x, y)dxсходится равномерноadd+∞+∞dccaacна [c, d ] . Тогда ∃∫ I ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx =∫ dx ∫ f ( x, y)dy .Теор.
Пусть f ( x, y ) ∈ C{x ∈ [a,+∞), y ∈ [c, d ]} , f ( x, y ) ≥ 0 , I ( y ) ∈ C[c, d ] . Тогдаdd+∞+∞dccaac∃∫ I ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx =∫ dx ∫ f ( x, y)dy .Теор. Пусть f ( x, y ) ∈ C{x ∈ [a,+∞), y ∈ [c,+∞]} , f ( x, y ) ≥ 0 ,+∞I ( y) =∫+∞f ( x, y )dx ∈ C[c,+∞) , K ( x) =ac+∞+∞ac∫ K ( x)dx = ∫ I ( y)dy⇒при сходимости одного из них.15.
Интеграл Эйлера-Пуассона.+∞I = ∫ e − x dx =20π216. Интеграл Лапласа.+∞L=cos αx∫ 1+ x2dx =0π2e−α17. Интеграл Френеля.+∞∫ sin x0+∞2∫ f ( x, y)dy ∈ C[a,+∞)dx = ∫ cos x 2 dx =01 π2 218. Интеграл Дирихле.+∞sin αxπD(α ) = ∫dx = sgn αx2019. Определение Г-функции.+∞Γ( x) = ∫ t x −1e −t dt , x > 0020. Определение В-функции1Β( x, y ) = ∫ t x −1 (1 − t ) y −1 dt , x, y > 0021. Свойства Г-функции.1) Γ( x + 1) = xΓ( x)2) Γ(n) = (n − 1)!1 ⎞ (2n − 1)!!⎛3) Γ⎜ n + ⎟ =π2⎠2n⎝π4) Γ( x)Γ(1 − x) =sin πx22. Свойства В-функции.1) Β( x, y ) = Β( y, x)y2) Β( x, y + 1) =Β( x , y )x+ yx3) Β( x + 1, y ) =Β ( x, y )x+ yΓ ( x )Γ ( y )4) Β( x, y ) =Γ( x + y )23.
Теорема о разложении функции в ряд Фурье.Теор. Пусть f (x) , f ′(x) — кусочно-непрерывные функции на (−l , l ) . Пусть точкиf (ξ k + 0) + f (ξ k − 0)разрыва функции f (x) ξ k регулярны, т.е. f (ξ k ) =. Тогда2∞aπnxπnx ⎞⎛f ( x) = 0 + ∑ ⎜ a n cos+ bn sin⎟ — тригонометрический ряд Фурье,2 n =1 ⎝ll ⎠11πnxπnxdx , bn = ∫ f ( x) sindxf ( x) cos∫lll −ll −llгде a n =l24. Теорема о разложении четной функции в ряд Фурье.Если f (x) — четная функция. Тогда121πnxπnxπnxdx, , bn = ∫ f ( x) sindx = 0 иf ( x) cosdx = ∫ f ( x) cos∫lll −lll 0l −llan =lla0 ∞πnx+ ∑ a n cos2 n =1l25. Теорема о разложении нечетной функции в ряд Фурье.f ( x) =Если f (x) — нечетная функция.
Тогда121πnxπnxπnxdx = 0, , bn = ∫ f ( x) sindx иf ( x) cosdx = ∫ f ( x) sin∫lll −lll 0l −llan =ll∞f ( x) = ∑ bn sinπnxl26. Теорема о представлении функции интегралом Фурье.Теор. Пусть f (x) , f ′(x) — кусочно-непрерывные функции на R , точки разрыва f ( x)n =1+∞регулярны, f ( x) — интегрируема по Риману на ∀[a, b] ⊂ (−∞,+∞) ,∫f ( x) dx —−∞∞сходится. Тогда f (x) = ∫ (a (λ ) cos λx + b(λ ) sin λx )dλ — интеграл Фурье, где01+∞1+∞f ( x) sin λxdxπ −∫∞π −∫∞27. Теорема о представлении четной функции интегралом Фурье.a (λ ) =f ( x) cos λxdx , b(λ ) =∞Если f (x) — четная функция. Тогда b(λ ) = 0 , f ( x) = ∫ a (λ ) cos λxdλ .028. Теорема о представлении нечетной функции интегралом Фурье.∞Если f ( x) — нечетная функция.
Тогда a(λ ) = 0 , f ( x) = ∫ b(λ ) sin λxdλ .029. Определение комплексного числа.Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел z = ( x, y ) ,x = Re z , y = Im z , x, y ∈ R30. Определение суммы, произведения, частного комплексных чисел.z1 = ( x1 , y1 ), z 2 = ( x 2 , y 2 ) ⇒z1 + z 2 = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )z1 z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 , x1 y 2 + x 2 y1 )z1 ⎛ x1 x 2 + y1 y 2 x 2 y1 − x1 y 2 ⎞⎟,=⎜z 2 ⎜⎝ x 22 + y 22x 22 + y 22 ⎟⎠31.
Определение комплексно-сопряженного числа.z = ( x, y ) ⇒ z = ( x, − y )2z = z , zz = z , z + z = 2 Re z, z − z = 2 Im z32. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.ρ = z , ϕ = Arg z ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )33. Экспоненциальная форма записи комплексного числа.ρ = z , ϕ = Arg z ⇒ z = ρe iϕ34. Формула Эйлера.e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ35. Формула Муавра.z n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ )36. Вычисление корня комплексного числа.ϕ + 2πkϕ + 2πk ⎞⎛z = n ρ ⎜ cos+ i sin⎟ , k = 0,1,..., n − 1nn ⎠⎝Определение внутренней точки комплексной области.Точка z называется внутренней точкой области, если существует ε -окрестность точкиz , все точки которой принадлежат этой области.Определение внешней точки комплексной области.z — внешняя точка, если она не принадлежит области вместе с некоторойокрестностью.Определение граничной точки комплексной области.z — граничная точка, если в любой ε -окрестности этой точки найдутся как внешние,так и внутренние точки.Определение односвязной области.Любые две точки области можно соединить ломанной, все точки которой принадлежатобласти.Определение замкнутой области.Область, содержащая все свои предельные точки.Определение предела функции комплексного переменного.A = lim f ( z ) ⇔ ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) : z − z 0 < δ , z ≠ z 0 ⇒ f ( z ) − A < εn37.38.39.40.41.42.z → z043.
Определение непрерывной функции комплексного переменного.f (z ) непрерывна в точке z 0 , если lim f ( z ) = f ( z 0 )z → z044. Определение равномерно-непрерывной функции комплексного переменного.f (z ) равномерно непрерывна в G , если ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) :∀z ′, z ′′ ∈ G : z ′ − z ′′ < δ ⇒ f ( z ′) − f ( z ′′) < ε45. Определение сходимости ряда комплексных чисел.n∞k =1k =1S n = ∑ a k — частичная сумма ряда ∑ a k . Ряд сходится, если ∃lim S nn →∞46.
Определение абсолютной сходимости ряда комплексных чисел.Ряд ∑ a k сходится абсолютно, если сходится ряд ∑ a k47. Определения элементарных функций комплексной переменного.Линейная функция: w = αz + β , α ≠ 0az + bДробно-линейная функция: w =cz + d1⎛1⎞Функция Жуковского: w = ⎜ z + ⎟2⎝z⎠nСтепенная функция: w = z , n ∈ N , n > 1Показательная функция: w = e zТригонометрические и гиперболические функции:e iz − e − ize iz + e − izsin z =cos z =22iz−zze +ee − e−zch z =sh z =22sin zcos ztg z =ctg z =cos zsin zsh zch zth z =cth z =ch zsh zФункция w = n z , n ∈ N , n > 1Логарифмическая функция: w = Ln z = ln z + i Arg z , z ≠ 0Обратные тригонометрические функции48.
Определение производной комплексной функции.Производная функции комплексной переменной f ′( z 0 ) = limz → z0f ( z) − f ( z0 )Δf= limΔz →0 Δzz − z0если он существует.49. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости комплексной функции.Теор. f (z ) дифференцируема в точке z 0 ⇔ Δf = AΔz + ε ( z 0 , Δz )Δz , где A = const ,ε ( z 0 , Δz ) → 0 при Δz → 0 .50. Геометрический смысл производной комплексной функции.f ′( z 0 ) ≠ 0 ⇒f ′( z 0 ) — коэффициент растяжения в точке z 0 под действием w = f (z ) ;Arg f ′( z 0 ) — угол поворота кривой, проходящей через точку z 0 , под действием w = f ( z ) .51.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
