С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Тогда 11+ 2Т,... 21 + (3/2)Т, (210.4) Т = 2я/ы. у=Ае а, которая не остается постоянной, а непрерывно уменьп1ается с течением времени. Показатель а называется коэ4фициенпгом заП1 ухания колебаний. Исследуем подробнее решение (210.2) и найдем прежде всего те моменты времени, в которые заряд д достигает максимумов и минимумов. Для этого, согласно правилу нахождения экстремумов, продифференцируем (210.2) и приравняем первую производную нулю: — ~ = -Аое 1соз(ы~+ <р) — Аые 1э1п(ы4+ ~р) = О, 494 СОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ.
ХХ Легко убедиться, что если при 1 = 41 мы имеем максимум 9, то все значения 4, стоящие в верхней строчке, соответствуют также максимуму (7Рд/дС~ < О), а все значения нижней строч- ки — минимуму д. Таким образом, хотя затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле слова, этот процесс обладает все же определенной повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заря- да (а также тока и напряжения) достигаются через одинаковые промежутки времени Т.
То же относится и к значениям заря- да (силы тока и напряжения), равным нулю. Этот промежуток времени Т мы и называем периодом затухающих колебаний, Пусть д„и д„+1 — максимальные значения заряда конден- сатора (см. рис. 358 б) в двух последовательных максимумах с номерами п н (и+ 1). Они достигаются в моменты времени ~„и 4„1.1, причем ~„+1 = 4„+ Т. Согласно (210.2) и (210.4) имеем д„= Аехр ( — аг„) сов(ьл„+ 97), 9„.1.1 = А ехр [ — а(1„+ Т)] сов [ь7(Ф„+ 2я/ь7) + ~р] = = А ехр [ — а(7„+ Т)] сов (ь7г„+ ~р).
Деля почленно оба эти равенства, находим ьг я./.+1=в '. Мы видим, что отношение двух последовательных максималь- ных значений заряда не зависит от номера максимумов. Вве- денный нами в 9 208 логарифмический декремент затухания 6, следовательно, имеет значение 5 = 1 (д„/9„+ ) = От; (210. 5) ов равен произведению коэффициента затухания на период ко- лебаний. Логарифмический декремент затухания б можно определить еще иначе.
Обозначим через 1~ время, в течение которого ампли- туда колебаний уменьшается в е раз. Тогда е "" =1/е, а, следовательно, ОФ1 = 1. Деля почленно (210.5) на полученное соотношение, имеем Т/11 = 1/У = 6. Здесь Д1 — число полных колебаний, происходящих за время 41. Таким образом, логарифмический декремент есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики затухания колебательных контуров часто пользуются (особенно в радиотехнике) еще другой величиной, называемой добротностью контура и обозначаемой обычно Я. 495 КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАТУХАНИЯ 1 210 Она связана с логарифмическим декрементом соотнопгением Ц = я/б.
(210.6) Так как б = 1/г'г', то с/ = ягч. (210.6а) Добротность контура есть умноженное на я число полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е рэз. Добротность контура, следовательно, тем выше, чем меньше затухание колебаний в нем. Формула (210.3) показывает,что частота электрических колебаний ш зависит от коэффициента затухания а и не равна частоте колебаний ыо того же контура при сопротивлении г = = 0 (О = 0).
С увеличением сопротивления контура частота со уменьшается, а период колебаний Т увеличивается. Предположим теперь, что сопротивление контура велико, так что 2 2 о Тогда частота и, выражаемая формулой (210.3), будет мнимой. Это значит, что решение (210.2) уже несправедливо, а, следовательно электрических колебаний в контуре не будет. В таком случае решение основного уравнения (209,5) имеет вид и = А1 ехр ( — 1с1 1) + Аг ехр ( — 1сгг), (210.7) где ~1 = сг + с" ыо Йг = сг — 1/ с" ого а А1 и Аг — произвольные постоянные. Подставляя (210.7) в (209.5), можно убедиться, что уравнение при этом удовлетворяется тождественно, а, следовательно, (210.7) есть действительно искомое решение.
Так как ыо < сг, то й1 и кг вещественны и по- 2 2 ложительны. Значения постоянных А1 и Аг определяются начальными условиями задачи. Если таковыми являются условия (209.6), то 9!с=о = А1 + Аг = 9о, для/й~с=о = — А1А1 — Агкг = О. Это дает А1 = -9О1Сг/(1с1 — Кг), 4г = 9О1С1/(К1 — Кг), после чего решение (210.7) принимает вид д = ~' (Й1 ехр ( — А21) — Iсг ехр ( — 111)). й1 — Йг Если сопРотивление контУРа очень велико, так что сгг » ыог, то Й1 » Йг, и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе — Йг по сравнению с Й1.
Тогда д = до ехр ( — йг8) Этот случай соответствует рис. 358 е. 496 СОБСТВЕННЫВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИВ КОЛЕБАНИЯ гл. хх Из сказанного видно, что для возникновения электрических колебаний необходимо, чтобы выполнялось условие (210.1). Подставляя вместо а и шо их значения (200.4), находим это условие в виде 1 т~ ~Š— > —, г(2у — н кн.
ЬС 41 ' ~/С (210.8) 9 211. Поддержание колебаний. Искровой контур Всякий реальный колебательный контур обладает всегда некоторым сопротивлением. Поэтому возникшие в нем электрические колебания затухают и через некоторое время, зависящее от добротности контура, прекращаются совсем. Но для технического использования электрических колебаний необходимо, чтобы они существовали как можно дольше, а для этого необходимо их поддерживать. Простейший и наиболее старый способ поддержания колебаний заключается в применении искрового контура, изображенного на рис. 361.
Он состоит из конденсатора С, катушки индуктивности Х иискро- Р Р н' д" пенных последовательно. 0 К обкладкам конденсатос ра присоединен источник постоянного высокого над пряжения. После включения ис- точника напряжения кон- С денсатор заряжается и напряжение между его обкладками увеличиваетд ся. Когда оно достигает напряжения пробоя исРнс. 361.
Искровой нолобатнльный контур крового разрядника, че- рез разрядник проскакивает искра, замыкающая колебательный контур, и в конту.ре возникает цуг затухающих колебаний. Эти колебания продолжаются до тех пор, пока амплитуда напряжения на конденсаторе не сделается равной напряжению гашения искры, после чего искровой разряд прекращается и колебания обрываются. Затем конденсатор начинает опять заряжаться, его напряжение увеличивается,и через некоторое время искровой промежуток опять пробивается, отчего в контуре возникает новый цуг затухающих колебаний и т.д.
Чтобы возникающие колебания не закорачнвались на источник тока, последний присоединен к конденсатору через катушки самонндукции (дроссели) Д. Они представляют ~ 212 АвтоколвБАтвльные системы собой большое сопротивление для быстропеременных токов, но не препятствуют прохождению более медленно меняющегося тока от источника. Основное достоинство искрового контура заключается в его исключительной простоте. Его недостатками являются сильный шум, издаваемый искрой, обгоранне электродов разрядника и, самое главное, существенное отличие получаемых колебаний от синусоидальных (гармонических).
Поэтому искровые контуры в настоящее время применяются редко. й 212. Автоколебательные системы Для получения длительно существующих электрических (и механических) колебаний большое значение имеют так называемые аетоколебательные системы. Устройства, объединяемые под этим общим названием, характеризуются следующими отличительными свойствами. Автоколебательные системы способны генерировать незатухающие колебания. Эти колебания могут быть гармоническими (синусоидальными) или более сложной формы, но они могут продолжаться неограниченно долго, до тех пор, пока не вышли из строя элементы, образующие систему.
Автоколебательные системы отличаются от рассмотренного в з 207 колебательного контура с сопротивлением, равным нулю. Такой контур представляет собой предельный случай, недостижимый на практике. Автоколебательные же системы суть реальные устройства, сопротивление которых не равно нулю. В автоколебательных системах незатухающие колебания возникают под влиянием процессов, происходящих внутри системы, и для их поддержания не требуется никаких внешних воздействий. В этом отношении автоколебания радикально отличаются от вынужденных колебаний, которые также могут быть незатухающими, но для своего существования требуют периодических внешних воздействий (в механике — внешних сил, в электричестве — приложенных извне напряжений).
В состав автоколебательных систем входит источник энергии (в случае механических колебаний — сжатая пружина, поднятый груз и т.д., в случае электрических — батарея или иной источник тока). Этот источник периодически включается самой системой и вводит в нее определенную энергию, компенсирующую потери на выделение тепла Джоуля-Ленца, что и делает колебания незатухающими. Так как колебания в автоколебательных системах устанавливаются под влиянием процессов, происходящих внутри системы, то они возникают самопроизвольно (самовозбуждение), под действием случайных малых воздействий, выводящих систему 498 СОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. ХХ из равновесия (флуктуации).
Возникшие малые колебания самопроизвольно нарастают, н в конце концов в системе образуются установившиеся колебания, свойства которых (частота, интенсивность, форма) определяются параметрами системы и не зависят от начальных условий. Хорошим примером автоколебательной системы в механике могут служить известные всем часы, в которых незатухающие колебания маятника поддерживаются с помощью анкера. Процессы в любой автоколебательной системе описываются обязательно нелинейными дифференциальными уравнениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
