С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Тогда на экране осциллографа появляются быстро следуюшие друг за другом тождественно расположенные кривые, которые для глаза сливаются в единую яркую кривую 1! = 2(!), неподвижно расположенную на экране, Если бы сопротивление контура было равно нулю, то мы имели бы незатухающие электрические колебания.
Изменение заряда конденсатора с течением времени выражалось бы кри- Т вой а рис. 358, которая, как мы увидим в 9 209, есть сину- 0 соида. По такому закону изменялось бы и напряжение 6 на конденсаторе и сила тока Ч» Чэ+! в контуре -- колебания были бы гармоническими. В действительности же сопротивление контура всегда не равно нулю. Вследствие этого энергия, первоначэльно запасенная в контуре, непрерывно расходуется на выделение тепла Джоуля- 0 Ленца, так что интенсивность электРических ко!!ебаний риг Збб. 3ат хапис электрических копостепенно уменьшается, и в конце концов колебания прекращаются вовсе. Поэтому на экране осциллографа мы видим кривую типа б рис.
358 (затухающие электрические колебания). Если увеличить сопротивление контура, то затухание колебаний увеличивается (кривая в рис. 358). В связи с изложенным отметим, что периодическими мы называем такие процессы, в которых изменяющиеся физические величины (например, электрический заряд д) через определенные промежутки времени (период колебания Т) принимают одинаковые значения: 9(2+Т) =9И). (208.1) Так, например, гармонические колебания, изображаемые кривой а рис. 358, есть периодический процесс, имеющий совершенно определенный конечный период Т. Напротив, затухающие колебания, изображаемые кривыми б и в рис.
358, не имеют конечного периода (Т = оо) и поэтому, строго говоря, не являются периодическим процессом. Тем не менее, если затухание мало, небольшие отрезки кривых б и в можно приближенно рассматривать как отрезки соответствующей синусоиды и говорить о 490 совственные электрические колеБАния Гл хх затухающих колебаниях как о гармонических колебаниях, амплитуда которых постепенно уменьшается.
Для количественной характеристики затухания пользуются тем, что отношение двух последовательных амплитуд дн и д„+1 (рис. 358 б) остается постоянным в течение всего процесса Я 210). Натуральный логарифм этого отношения 6 =1п 'Ь" (208.2) Чч.~.1 принимают за меру затухания колебаний и называют логарифмическим декремевтом затухания. Если постепенно увеличивать сопротивление контура г, то затухание колебаний увеличивается и логарифмический декремент растет.
Когда сопротивление превышает некоторое определенное для данного контура значение г, колебания не возникают вовсе. При достаточном увеличении сопротивления заряд конденсатора уменьшается монотонно и асимптотически стремится к нулю (рис. 358 г). Сопротивление г„называется критическим сопротивлением контура. Оно зависит от емкости и индуктивности контура. Для возникновения электрических колебаний, следовательно, необходимо, чтобы сопротивление контура г было меньше критического сопротивления. При г ) г, происходит апериодический Разряд. Отметим, что рассмотренные особенности разряда в электрическом колебательном контуре совершенно аналогичны особенностям механической колебательной системы, обладающей трением.
8 200. Уравнение собственных электрических колебаний. Колебания в отсутствие затухания Рассмотрим теперь количественно собственные колебания в контуре с сосредоточенными постоянными. В дальнейшем мы будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны Я 73). Это значит, что мгновенное значение силы тока э' одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять законы Кирхгофа. Условимся считать заряд конден- сатора д положительным, если знаРнс. 359 к нынолу уровне. ки зарядов на обкладках совпадают с ннн электрических холеба- показанными на рис. 359, а силу тоний н контуре с сосрелото- ка -- положительной, если ток направченныын востонннымн лен против часовой стрелки.
Согласно угАвнвнив оовотввнных элв«тгичвских колввАний 491 (209.1) г2' — 11с = -Ь Й/пг. Далее, напряжение на конденсаторе равно Ус = д/С, (209.2) а сила тока связана с зарядом конденсатора соотношением 1 = — с19/сй. (209.3) Знак минус в последнем соотношении стоит потому, что выбранное положительное направление 1 соответствует уменьшению (положнтельного) заряда конденсатора. Из этих трех уравнений можно исключить две из трех величин д, 1, У и получить дифференциальное уравнение, связывающее лишь одну из них и время 1.
Подставляя, например, выражения (209.2) и (209.3) в (209.1), находим уравнение для заряда конденсатора в виде Ь вЂ” +г — + — =О. 4ч 4Д Ч И2 И С Разделим обе части этого уравнения на 1. и введем следующие обозначения: 1 2 ь~о ЬС вЂ” =а, (209.4) Тогда окончательно имеем — + 2а — +иод = О. ИЧ 47 2 сИ2 сИ (209.5) Мы получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Такое же точно уравнение мы получили бы для напряжения У и для силы тока г. Отметим, что колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются лииебвымп колебаниями, а соответствующие колебательные системы — лпиейнььии сисп2емамв. Для того чтобы задача была определенной, необходимо еще задать начальные условия, которых, как известно, для уравнения второго порядка должно быть два.
Положим, что мы начинаем отсчет времени с момента замыкания контура и обозначим начальную величину заряда конденсатора через до. Так как в начальный момент сила тока равна нулю, то начальные условия задачи таковы: (209.6) второму закону Кирхгофа сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС. В нашем случае имеются два падения напряжения: на сопротивлении г, равное гг', и на конденсаторе Ус, которое противоположно по знаку падению г1. Кроме того, имеется ЭДС самоиндукции, равная — Лй/Ж. Поэтому 492 сОвственные электрические кОлеБАния Гл хх Положим сначала, что сопротивление контура т = О.
Тогда уравнение колебаний (209.5) принимает более простой вид (209.7) Общее решение этого уравнения есть гармоническое колебание д = А соз (ыо4 + <р), (209.8) где постоянные А и со (амплитуда и начальная фаза) могут иметь произвольные значения. В справедливости этого можно убедиться, подставляя написанное решение в (209.7). Следовательно, мы имеем гармоническое колебание с частотой ыо = = /Т/ЬС. Этот результат мы уже получили в 8 207 при помощи менее строгих рассуждений. Постоянные А и ~р определяются начальными условиями (209.6). Подставляя решение (209.8) в (209.6), имеем А соз со = до, Асио зш со = О. Это дает <р=О, А=до после чего решение (209.8) принимает следующий окончательный внд: о = до соз ыо4.
(209.9) Графическое изображение этого решения есть косинусоида, показанная на рис. 358 а. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону: Ус = д/С = Уо соз ыо4, где Уо = до/С есть амплитуда напряжения, равная начальному напряжению на конденсаторе. Сила тока в контуре равна з = -Й3(с(4 = боыо з1п ыот = 4о зшсоос, где бо = обозе — амплитуда тока.
Сила тока, также как и заряд, изменяется по гармоническому закону; однако если заряд изменяется по закону косинуса, то сила то- Ч ка — по закону сину! са. Так как зшыос' соз (озо4 — я/2), то о это значнт, что межт 2т ду колебаниями заряда и силы тока существует разность фаз я/2, причем колебания Рис. Збб.
Крииыеколебанийзарядакоцденса- силы тока отстают по тора и силы тока без затуханий фазе (рис. 360). 493 1 210 КОЛЕВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАТУХАНИЯ 9 210. Колебания при наличии затухания Рассмотрим теперь реальный контур, сопротивление которого не равно нул1о. В этом случае колебания описываются полным дифференциальным уравнением (209.5). Его решение имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэЧ1фнциентами. Положим сначала, что 2 ~ 2 а Тогда решение есть д = Ае в' соэ (юг + <р). (210.2) Здесь А и у — по-прежнему постоянные, значения которых определяются начальными условиями, величина же 1э равна ,„2 ог (210.3) В том, что (210.2) совместно с (210.3) действительно является решением уравнения (209.5), проще всего убедиться, подставляя (210.2) в (209.5). Полученное решение есть аналитическое выражение кривых затухающих колебаний б н в рис.
358. Кривая в соответствует большему значению коэффициента о. С теми оговорками, которые были сделаны в 3 208, формулу (210.2) можно истолковать как гармоническое колебание с круговой частотой ы и с ампли- тудой или 28(ю$+ ф) = -О/ю. Пусть 4 = 21 есть какое-либо решение этого его решениями будут также ..., 41 — 2Т, 21-Т, 21+Т, 41 — (3/2)Т, 21 — (1/2)Т, 41 + (1/2)Т) где уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
