Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

13. Самоиндукция. Взаимоиндукция.

13. Самоиндукция. Взаимоиндукция.

Энергия магнитного поля.

• Явление электромагнитной индукции предполагает появление в проводящем контуре дополнительной ЭДС также и при изменении собственного магнитного потока контура (обусловленного током в самом контуре) – ЭДС самоиндукции. Из закона Био–Савара–Лапласа (см. 10.1) следует, что магнитная индукция в любой точке пространства пропорциональна силе тока в контуре^*), следовательно, с учетом (12.2) собственный магнитный поток контура также пропорционален ей:

Ф_s = LI. (13.1)

Коэффициент пропорциональности L называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура. Индуктивность любого контура зависит от его размеров и формы, а также от магнитных свойств окружающей среды. При изменении тока в контуре в нем возникает ЭДС самоиндукции, которая с учетом соотношений (12.1) и (13.1) равна:

^**). (13.2)

• Если два контура с током 1 и 2 находятся близко друг к другу, то говорят о их взаимоиндукции. Магнитное поле контура 1 создает поток через поверхность, ограниченную контуром 2, который прямо пропорционален силе тока в контуре 1^*), и наоборот:

Ф₂₁ = L₂₁I₁, Ф₁₂ = L₁₂I₂. (13.3)

Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называются коэффициентами взаимной индукции контуров или их взаимными

индуктивностями. Они зависят от размеров, формы контуров, их взаимного расположения, а также от магнитных свойств окружающей среды. Можно показать, что в отсутствии ферромагнетиков L₁₂ = L₂₁ («теорема взаимности»).

• Задачи этого раздела, как правило, связаны с использованием известного распределения индукции магнитного поля проводников с током B(r). Вычисление создаваемого ими потока Ф_В через поверхность, ограниченную этим или другими проводниками позволяет выделить коэффициент пропорциональности между данным потоком и силой тока в проводнике – источнике поля – коэффициент само- или взаимоиндукции. Проиллюстри-руем это на простых примерах.

Примеры решения задач

1. Определить индуктивность соленоида – катушки длиной l = 50 см и диаметром d = 5 см, содержащей N = 400 витков.

Решение.

В задаче 10.5 мы нашли индукцию магнитного поля внутри соленоида. Легко получить как магнитный поток, пронизывающий каждый виток соленоида Ф₁ = ВS, так и полный поток через все N витков Ф = NФ₁. Остается использовать равенство (10.16) и очевидные геометрические соотношения:

Ф = N₀nSI = .

Выделяя коэффициент пропорциональности между Ф и I, в соответствии с определением индуктивности (13.1), получаем:

, (13.4)

где V – объём внутри соленоида. В нашем примере

L = 4 10^-7 0,8 мГн.

Задача

1. О пределить взаимную индуктивность L₁₂ тороидальной катушки (тороида) и проходящего по её оси бесконечного прямого провода. Тороид имеет прямоугольное сечение ширины а. Внутренний радиус тороида равен r₁ внешний r₂. Число витков тороида равно N. Система находится в однородном магнетике с магнитной проницаемостью .

Решение.

Определим поток вектора магнитной индукции В поля прямолинейного проводника через поверхность , ограниченную одним витком тороида. Мы знаем, что линии магнитной индукции имеют в данном случае форму концентрических окружностей и пересекают поверхность каждого витка по нормали к ней. Учитывая, кроме того, что индукция зависит только от расстояния r от проводника – источника поля, разобьем поверхность витка на малые элементы, в пределах каждого из которых индукция не меняется. Это узкие полоски параллельные прямолинейному проводнику с током с площадью dS = adr (см. рис.). Искомый поток получается интегрированием по поверхности , ограниченной контуром:

.

Используем полученный ранее при решении задачи 10.1 результат для поля прямолинейного проводника с током (10.7):

.

Полный поток через все витки тороида в N раз больше, поэтому искомая взаимная индуктивность равна

.

Задача

1. К атушка с индуктивностью L = 10 Гн подключена к источнику тока через сопро­тивление R = 10 Ом. Найти закон уменьшения силы тока в цепи с течением времени I(t) после замыкания источника тока накоротко ключом К (см. рис.).

Решение.

После замыкания ключа К ток в контуре, состоящем из катушки и резистора не исчезает мгновенно, благодаря явлению самоиндукции. Запишем равенство соответствующее второму правилу Кирхгофа для этого контура:

.

После стандартной операции разделения переменных и интегрирования (см., например, решение задачи 1.1) получаем:

.

Наконец, после простых преобразований и потенциирования:

.

Константа I₀, очевидно – значение начальной силы тока (до замыкания ключа К): .

• Энергия магнитного поля.

Итак, уже после отключения источника тока в цепи, рассмотренной в задаче (13.3), протекает ток самоиндукции, совершается работа по перемещению зарядов, а на резисторе выделяется тепло. Каков источник этой работы? Это энергия магнитного поля, окружающего проводники с током. Определив работу этого поля, мы и получим выражение для его энергии.

Элементарная работа «сторонних сил» (в нашем случае это силы вихревого электрического поля) по перемещению заряда dq равна:

^*), (13.5)

Полная работа определяется суммированием элементарных работ, т.е. интегрированием выражения (13.5):

. (13.6)

Эта работа определяет энергию, «запасенную» в магнитном поле. Как и в случае поля электрического выразим ее через характеристику самого поля – магнитную индукцию В. Для этого запишем энергию магнитного поля соленоида через индукцию магнитного поля в нем В:

^**), (13.7)

где V – объем соленоида.

Определим энергию, приходящуюся на единицу объема пространства, где есть магнитное поле. Поле внутри соленоида однородно, поэтому получаем:

. (13.8)

Величина w_M называется объемной плотностью энергии магнитного поля. В случае неоднородного поля она позволяет определять энергию, заключенную в малых элементах пространства объемом dV: dU_М = w_МdV. А, зная магнитную индукцию поля как функцию координат, можно рассчитать полную энергию магнитного поля в той или иной области пространства :

. (13.6)

З адачи для самостоятельного решения.

1. В опыте по демонстрации влияния индуктивности используется схема, приведен-ная на рисунке. В одной из двух параллельных ветвей включена катушка с очень большой индуктивностью, а в другой – резистор, сопротивление которого равно омическому сопротивлению обмотки катушки. Л₁ и Л₂ – одинаковые демонстрационные лампочки. Блок питания БП содержит переключатель, позволяющий менять полярность подаваемого на схему постоянного напряжения. Опишите демонстрационный эксперимент. Как ведут себя лампочки, если быстро изменять полярность напряжения блока питания?

1. Найти закон нарастания силы тока I(t) после замыкания ключа К в представленной на рисунке цепи. Индуктивность катушки L = 10 Гн, сопро­тивление резистора R = 10 Ом. За какое время  сила тока достигнет 99% от предельного значения?

2. * Двухпроводная линия состоит из двух длинных проводов радиуса а = 0,5 мм, расположенных в воздухе параллельно друг другу на расстоянии b = 10 мм. Найти индуктивность L₁, приходящуюся на единицу длины этих проводов. Магнитную проницаемость материала проводов и окружающей среды принять равной единице.

3. Длинная двухпроводная линия питания нагрузки с сопротивлением R = 10 Ом обладает индуктивностью L = 0,1 мГн. Найти закон нарастания силы тока в нагрузке при замыкании цепи. Определить время нарастания тока ₁ и ₂ до значений 0,5I₀ и 0,75I₀ соответственно, где I₀ – установившееся значение силы тока в цепи. Сравните эти значения.

4. * Для определения индуктивности катушки собрана экспериментальная схема, показанная на рисунке. Был измерен ток через катушку I = 3 mA до размыкания ключа К, а затем полный заряд протекший через баллистический гальванометр q = 60 мкКл за счёт «экстратока» самоиндукции после размыкания ключа. а) Определить по этим данным индуктивность катушки L_x, если сопротивление R = 10 Ом. б) Предложите, как можно определять индуктивность L_x, используя эталонную катушку с известной индуктивностью L₀, но не зная абсолютных значений R и q (например, в случае замены баллистического гальванометра на обычный микроамперметр).

5. Определить индуктив­ность L₁ единицы длины “коаксиального кабеля”, который состоит из двух концентрически расположенных проводников, разделен­ных слоем диэлектрика. Радиус внут­реннего проводника цилиндрической формы (“центральная жила”) а = 0,5 мм, а радиус внешнего (имеющего форму тонкостенной трубки) b = 3 мм. Магнитную проницаемость проводников и среды между ними считать равной единице.

6. На бесконечный соленоид с п витками на едини­цу длины и площадью поперечного сечения S намотана ка­тушка из N витков. Найти взаимную индуктивность L₁₂ катушки и соленоида. Магнитную проницаемость среды, заполняющей соленоид, считать равной единице.

7. По соседству расположены два витка проволоки. По первому течет ток I = 10 А. В цепь второго включен баллистический гальванометр. Полное сопротивление второй цепи R = 1 Ом. Чему равна взаимная индуктивность L₁₂ витков, если при выключении тока через гальванометр проходит заряд q = 0,02 мкКл?

8. Для частного случая – тороидальных катушек доказать теорему взаимности. На поверхность тора квадратного сечения равномерно навито N₁ витков тонкой проволоки. На эту обмотку в свою очередь равномерно навито ещё N₂ витков. Внутренний и внешний радиусы тора равны а и b. Найти взаимную индук­тивность обеих обмоток. Считать, что система находится в однородном магнетике проницаемости .

9. Два соленоида с индуктивностями L₁ = 0,4 Гн и L₂ = 0,9 Гн одинаковой длины и равного сечения вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность соленоидов.

10. Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой катушки L₁ = 0,64 Гн, второй – L₂ = 1 Гн. Сопротивление второй катушки R₂ = 400 Ом. Определить силу тока I₂ возникающего во второй катушке, если ток в первой катушке равномерно уменьшать за время t = 10 мс от I₁ = 0,6 А до нуля.

11. Определить энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины “коаксиального кабеля” (например, описанного в задаче 13.7) при протекании по нему постоянного тока силой I = 1 А.

12. Соленоид с обмоткой, содержащей N = 1000 витков провода, имеет длину l = 1 м и площадь поперечного сечения S = 20 см². Опреде­лить силу тока, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна w = 0,628 Дж/м³. Какова при этом полная энергия магнитного поля внутри соленоида?

13. Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжением, имеет сопротивление R = 5 Ом и индуктивность L = 0,5 Гн. Определить время, за кото­рое в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике.

*⁾ При отсутствии вблизи контура ферромагнетиков.

*^*) Здесь учтена возможность изменений и самой индуктивности контура L.

*⁾ Здесь использован закон ЭМИ (12.1) и определение силы тока I = dq/dt.

*^*) Использованы результаты решений задач 10.5 и 13.1 для магнитной индукции поля соленоида и его индуктивности.

162

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги