Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Механика. Электромагнетизм.

1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Теорема Гаусса.

• Согласно закону Кулона сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме пропорциональна их величинам q₁ и q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними r. Она направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Заряды одного знака отталкиваются, а противоположных знаков – притягиваются. Если заряды помещены в однородную жидкую или газообразную диэлектрическую среду, то сила взаимодействия между ними ослабляется в ε раз, где ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды. С учётом этого закон Кулона для силы, действующей на второй заряд со стороны первого, может быть записан в виде (в системе единиц СИ):

, (6.1)

где r – радиус-вектор, проведенный от первого заряда ко второму, ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

• Взаимодействие неподвижных зарядов осуществляется посредством электрического поля. Его основной количественной характеристикой является вектор напряжённости, который определяется для данной точки поля (r) как отношение силы, действующей на пробный точечный заряд, помещенный в эту точку, к величине заряда q_пр:

E(r) = . (6.2)

Отсюда, очевидно, можно найти силу, действующую со стороны поля на любой точечный заряд q, оказавшийся в данной точке поля:

F(r) = qE(r). (6.3)

• В вакууме для электрических полей выполняется принцип суперпозиции, согласно которому напряженность электрического поля, создаваемого группой N зарядов в данной точке равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, созданных каждым из зарядов в этой точке по отдельности:

E(r) = . (6.4)

Для системы N точечных зарядов напряженность результирую-щего поля в вакууме равна:

, (6.5)

где r_i - радиус-вектор, проведенный от заряда с номером i в точку наблюдения поля.

Для нахождения напряженности электрического поля, созданного протяженными заряженными телами, необходимо разбить их на малые элементы, являющиеся точечными зарядами. В этом случае заряд распределен непрерывно, и в выражении (6.5) сумма переходит в интеграл. Для одномерных заряженных тел (стержни, нити) удобно использовать понятия линейной плотности заряда:

. (6.6)

Напряжённость в интересующей нас точке равна в этом случае:

. (6.7)

Интегрирование ведется по всем элементам dl вдоль заряженной нити (L). При распределении заряда по поверхности или объему тела вводятся соответственно поверхностная и объемная плотности заряда

, (6.8)

смысл которых очевиден.

• Решение задач о нахождении вектора Е для электрических полей, созданных протяженными заряженными телами с плоской, цилиндрической и сферической симметрией, существенно упрощается при использовании вытекающей из закона Кулона теоремы Гаусса:

Поток вектора напряженности электрического поля Ф_Е в вакууме через любую замкнутую поверхность  пропорционален алгебраической сумме зарядов, расположенных в области пространства , ограниченной этой поверхностью. Коэффициент пропорциональности в системе СИ равен :

. (6.9)

Напомним, что потоком dФ вектора E через элемент поверхности dS является величина: dФ = E_ndS, где E_n – проекция вектора Е на нормаль n к элементу поверхности dS.

С учетом этого, утверждение теоремы Гаусса (6.9) можно переписать окончательно в виде:

, (6.10)

где N – число частиц или тел с зарядами q_i в области пространства , охваченной поверхностью .

Или, если заряд распределён в этой области пространства непрерывно с объемной плотностью (r), то

. (6.11)

• Задачи этого раздела, как правило, связаны с нахождением напряжённости электрического поля от группы точечных зарядов или от протяженных заряженных тел. Подход, использующий принцип суперпозиции (соотношения 6.5), применим для любых задач, хотя решение в аналитическом виде возможно лишь для задач, обладающих определённой симметрией. При использовании теоремы Гаусса наличие симметрии является принципиальным моментом, ибо решение всегда построено на расчёте поверхностного интеграла в 6.11, сводящегося к произведению модуля вектора Е на площадь части поверхности , для которой рассчитывается поток вектора напряжённости Ф_Е.

Примеры решения задач

1. Найти напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженным тонким стержнем длиной 2a, в точке А, находящейся на перпендикуляре к стержню на расстоянии R от его середины. Линейная плотность заряда на стержне  > 0.

Решение.

В этом примере воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и разобьём стержень на малые элементы dx (dx << R). Из точки А они представляются точечными зарядами величиной dq = dx.

Н апряженность электрического поля, создаваемого в точке А всеми элементами стержня определяется соотношением (6.7). При интегри-ровании вдоль стержня (L), очевидно, будут складываться векторы dE различного направления.

Разобьем эти векторы на две компоненты dE_ и dE_. Тогда

.

В силу симметрии задачи сумма векторов dE_ от всех участков стержня равна нулю, и задача существенно упрощается:

.

Так как теперь складываются только сонаправленные векторы dE_, то можно перейти к суммированию их модулей:

. (*)

Для интегрирования удобно перейти к одной переменной –углу . Выразим для этого координату элемента стержня:

x = Rtg.

Отсюда: .

Подставляя в равенство (*) , получаем:

,

где . Отсюда окончательно:

.

Если стержень очень длинный (“бесконечный”, ), то:

. (6.12)

Задача

1. Решить ту же задачу для бесконечного стержня, используя теорему Гаусса.

Решение.

Задача обладает цилиндрической симметрией, в соответствие с которой линии электрического поля могут представлять собой либо окружности в плоскости перпендикулярной стержню и с центрами на нём, либо иметь радиальное направление в указанной плоскости. С учётом свойств электростатического поля силовые линии не могут быть замкнутыми, следовательно, остаётся вариант с радиальным расположением (см. рис.).

Д алее, нужно выбрать замкнутую поверхность интегри-рования  в (6.9), чтобы на её отдельных участках вектор Е был перпендикулярен нормали к поверхности, а на других параллелен ей и постоянен по модулю. Таким свойством обладает цилиндр, коаксиальный с рассматриваемым стержнем, который сверху и снизу закрыт круговыми основаниями (_осн). Поток вектора Е через такую замкнутую поверхность:

. (1)

На боковой поверхности цилиндра Еn и Е_ndS = ЕdS. Кроме того, из соображений цилиндрической симметрии модуль Е постоянен на боковой поверхности. Следовательно

.

На основаниях цилиндра Е  n и Е_ndS = 0.

Таким образом, поверхностный интеграл удалось представить в виде произведения скалярных величин:

Ф_Е = E(r)2rh. (2)

Согласно теореме Гаусса: .

Отсюда: ,

что совпадает с результатом, полученным в задаче 6.1^*).

Отметим, что ключевым моментом в проведенном решении является переход от интеграла (1) к произведению (2), основанный на анализе симметрии задачи и невозможный при произвольной форме заряженного тела.

Задача

1. Определить напряженность электрического поля E(x) на оси равномерно заряженного кольца радиуса R. Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольца.

Решение:

П ри решении задачи воспользуемся принципом суперпозиции. Для этого разобьём кольцо на элементы – точечные заряды q, каждый из которых создает в точке А напряженность

.

Вследствие симметрии задачи вклад в общую напряженность дадут лишь составляющие напряженности Е_ (сравните со случаем задачи 6.1). Поэтому напряженность в точке А будет определятся только суммой этих составляющих Е_ по всем элементам кольца:

.

Зависимость проекции на ось Х вектора напряжённости E_x представ-лена на графике. Видно, что на малых расстояниях от центра кольца эта зависимость линейная, на больших – обратно пропорцио-нальна квадрату расстояния (кольцо “становится” точечным зарядом). Направлен вектор E вдоль оси Х.

Задача

1. Определить напряженность электрического поля Е на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса R. Поверхностная плотность заряда диска равна .

Р ешение:

При решении этой задачи воспользуемся также принципом суперпозиции. Для этого диск разбивается на кольца радиуса r и шириной dr. Тогда для напряженности поля такого кольца dE(x) можно записать (см. задачу 6.3):

,

где dq =dS = 2rdr. Выражение для напряженности поля диска получается интегрированием dE по всем значениям r от 0 до R:

.

Нетрудно видеть, что при R   получается выражение для напряженности поля бесконечной плоскости: Е = /2₀.

Задача

1. Определить напряженность поля E(r) внутри шара радиуса R, объемная плотность заряда которого (r)=r^1/2, где  – коэффициент пропорциональности, r – расстояние от центра шара. Диэлектрическая проницаемость материала шара равна .

Решение:

Исходя из радиальной симметрии электрического поля, выберем замкнутую поверхность  – сферу с центром, совпадающим с центром шара и с радиусом r < R. Для такой поверхности поток вектора напряженности можно представить в виде

.

Сумма зарядов, оказавшихся внутри поверхности , равна

.

Согласно теореме Гаусса, можно записать:

откуда

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти силу, действующую на точечный заряд q = 310^-7 Кл, расположенный в центре равномерно заряженного полу-кольца радиуса R = 0,2 м и имеющего заряд Q = 10^-5 Кл.

2. Определить напряженность электрического поля Е вдоль оси однородно заряженного тонкого прямого стержня длиной l = 0,5 м с зарядом q = 10^-6 Кл на расстоянии х = 0,5 м от конца стержня.

3. * Определить силу взаимодействия точечного заряда q c заземленной металлической пластинкой, находящейся на расстоянии а от заряда. Найти поверхностную плотность заряда (r) на пластинке и полную величину индуцированного заряда Q на пластинке. r – расстояние от заряда до соответствующей точки поверхности пластинки. Размеры пластинки много больше расстояния а.

4. Полусфера заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда . Определить напряженность электрического поля Е(0) в центре полусферы.

5. Определить, используя теорему Гаусса, напряженность электрического поля Е бесконечной плоскости. Заряд по плоскости распределен равномерно с поверхностной плотностью .

6. Определить напряженность электрического поля E(r) бесконечного цилиндра a) внутри и б) вне цилиндра. Заряд распределен внутри цилиндра равномерно с объемной плотностью ; r – расстояние от оси цилиндра, диэлектрическая проницаемость материала цилиндра .

7. Определить напряженность электрического поля E(r) внутри и вне равномерно заряженного шара с объемной плотностью заряда . r – расстояние от центра шара, диэлектрическая проницаемость материала шара .

8. * Бесконечная плоскость равномерно заряжена c плотностью заряда . В плоскости имеется круглое отверстие радиуса R. Найти напряженность электрического поля E(h) в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости, проходящем через центр отверстия на расстоянии h от плоскости.

9. * Найти напряженность электрического поля Е в сферической полости, однородно заряженного шара с объемной плотностью заряда . Расстояние между центром полости и центром шара равно b.

10. С какой силой F (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные параллельные нити с одинаковой плотностью заряда  = 3 мкКл/м, находящиеся на расстоянии b = 2 cм друг от друга?

11. Определить напряженность электрического поля E(x) внутри и вне однородно заряженного плоского слоя толщиной d с плотностью заряда . х – расстояние от плоскости симметрии этого слоя. Диэлектрическая проницаемость материала слоя .

12. * Пластину, равномерно заряженную с поверхностной плотностью заряда , пронизывает поток вектора напряженности электрического поля . Найти составляющую силы F_n, перпендикулярную плоскости пластины, действующую на пластину в этом поле.

13. Определить силу притяжения F между двумя разноименно заряженными пластинами с поверхностной плотностью заряда . Площадь пластин S. Размеры пластин много больше расстояния между ними.

*⁾ С той только разницей, что в задаче 6.1 расстояние от стержня было обозначено буквой R, т.к. буква r использовалась, как обычно, для обозначения радиус-вектора.

89

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги