Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Механика. Электромагнетизм.

8. Энергия электростатического поля.

• Определим энергию заряженного конденсатора. Для этого рассчитаем работу по разделению зарядов между его обкладками. Элементарная работа внешних сил (см. 7.4) по перемещению заряда dq в электрическом поле равна:

^*), (8.1)

где  – разность потенциалов между обкладками. Полная работа определяется суммированием элементарных работ, т.е. интегрированием выражения (8.1):

. (8.2)

Эта работа и определяет энергию «запасенную» в конденсаторе. Используя ещё раз связь заряда Q на обкладках конденсатора с разностью потенциалов  между ними, можно записать энергию в виде:

, (8.3)

• По современным представлениям, эта энергия сосредоточена в электрическом поле. Поэтому выразим ее через характеристику самого поля – напряженность Е. Используя (8.3), выразим энергию плоского конденсатора через напряженность электрического поля в нем:

, (8.4)

где V – объем конденсатора.

Определим энергию, приходящуюся на единицу объема пространства, где есть электрическое поле. Поле внутри конденсатора однородно, поэтому с учетом Sd = V получаем:

. (8.5)

Величина w_Е называется объемной плотностью энергии электрического поля. В случае неоднородного поля она позволяет определять энергию, заключенную в малых элементах пространства объемом dV: dU_E = wdV. А зная напряженность поля как функцию координат, можно рассчитать полную энергию электрического поля в той или иной области пространства :

. (8.6)

• Задачи данного раздела, как правило, связаны с нахождением энергии электрического поля заряженных тел, а также изменения энергии конденсатора при его перезарядке, перемещении обкладок, заполнении пространства между обкладками диэлектриком.

Примеры решения задач

1. Заряд q = 1 мкКл равномерно распределен по объему шара радиуса R = 1 см. Рассчитать

1. энергию электрического поля U₁ в окружающем шар пространстве;

2. энергию U₂, заключенную в пространстве внутри шара;

3. полную энергию электрического поля U, связанную с шаром.

4. Какая часть энергии приходится на область пространства за пределами концентрической с шаром сферы радиуса R₁ = 1 м.

Принять диэлектрическую проницаемость материала шара и окружающей среды равной  = 1.

Решение:

1. Объемная плотность энергии электрического поля определяется выражением (8.5). Используя теорему Гаусса, легко получить напряженность электрического поля. Вне шара она равна:

,

где r – расстояние от центра шара, q – полный заряд шара. Для вычисления интеграла (8.5) разобьем пространство на тонкие сферические слои радиуса r и толщиной dr. Объем такого слоя равен dV = 4r²dr. Плотность энергии зависит только от радиуса и, следовательно, постоянна в пределах слоя. Энергия поля, заключенная в пределах слоя равна:

.

Выражение для полной энергии электрического поля вне шара получается интегрированием dU_E в пределах от R до :

Дж.

1. Напряженность электрического поля Е внутри шара равна (см. решение задачи 7.3), где  – объемная плотность заряда. Тогда для сферического слоя внутри шара можно записать:

.

Таким образом, энергию поля внутри шара можно рассчитать, интегрируя dU по объему шара (в пределах от 0 до R):

Дж,

где q = (4/3R³) – полный заряд шара.

1. Полная энергия электрического поля U, связанного с шаром, очевидно, равна сумме:

Дж.

Отсюда видно, что 1/6 её часть приходится на область внутри шара, а 5/6 – на окружающее шар пространство.

1. Вне концентрической с шаром сферы радиуса R₁, поле имеет энергию (см. п. а):

.

Это составляет долю равную (1%) от общей энергии электрического поля, связанного с шаром. Т.е. почти вся энергия поля сосредоточена в пределах сферы радиуса R₁.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить энергию электрического поля U_Е проводящего шара радиуса R, несущего заряд q.

2. Определить радиус сферы R_0,9, в пределах которой заключено 90% всей энергии поля проводящей сферы радиуса R, несущей заряд q.

3. Какая часть энергии , связанной с заряженным проводящим шаром радиуса R₀ = 1 см, заключена в пределах сферы, концентрической с шаром, радиуса R = 1 м?

4. * Заряд q = 10^-10 Кл распределяется равномерно по объему шара радиусом R = 1 см. Затем, вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность шара. Какую работу А совершают при этом электрические силы над зарядами? Считать  = 1.

5. Точечный заряд q = 3 мкКл помещается в центре сферического слоя из однородного и изотропного диэлектрика с  = 3. Внутренний радиус слоя а = 0,25 м, внешний b = 0,5 м. Найти энергию U_Е электрического поля, заключенную в пределах диэлектрического слоя.

6. Определить работу А, которую нужно совершить, чтобы увеличить на х = 0,2 мм расстояние между пластинами плоского конденсатора, заряженного разноименными зарядами величины q = 0,2 мкКл. Площадь каждой пластины S = 400 см²,  = 1.

7. Среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода r = 0,810^-10 м. Оценить: а) энергию U_Е кулоновского взаимо-действия электрона с ядром; b) сумму таких энергий U₀ для одного моля атомарного водорода.

8. Получить выражение, которое определяет энергию электрического поля U₁, приходящуюся на единицу длины воздушного цилиндрического конденсатора. Радиус внутреннего цилиндра – a, внешнего – b. Заряд, приходящийся на единицу длины обкладок конденсатора, равен .

9. Определить зависимость q(t) заряда от времени на конденсаторе ёмкости С при подключении его через сопротивление R к источнику питания с ЭДС . Построить график q(t). Определить максимальное значение тока при зарядке конденсатора.

10. Определить зависимость заряда q(t) от времени на конденсаторе емкости С после замыкания его на сопротивление R. Начальное значение заряда конденсатора q₀. Построить график q(t). Определить время , за которое заряд уменьшится в е раз.

11. Определить время , за которое энергия электрического поля конденсатора емкости С = 1 мкФ уменьшится в 2 раза. Конденсатор разряжается через сопротивление R = 1 кОм.

12. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ = 20 см и R₂ = 50 cм заряжены одинаковыми зарядами q = 100 нКл. Определить энергию U_Е электростатического поля, заключенного между этими сферами в диэлектрике с  = 1.

*⁾ Здесь было использовано определение электроёмкости конденсатора С = q/.

106

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги