И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Доказательство этой формулы проведем в трн этапа. ! . Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис. 6.15) с подвижной перемычкой длины 1 находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (6.29) действует амперова сила Е= ПВ. При перемещении перемычки вправо на дх эта сила совершает положительную работу ВА = Г 6х = / В! 6х = ГВ 65, (взв) где с)5 — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнитного потока Ф условцмся всегда брать нормаль и к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см. рнс.
6.15), При этом ток У будет всегда величиной положительной. l Поток же Ф может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Ф, В,п так и дФ = В с)5 являются величинами положительными (еслн бы поле В было направлено на Рис, б.гв нас илн перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях дФ = 0). Как бы то нн было, в любом из этих случаев выражение (6.38) можно представить в виде (6.37). 2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля В. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор В на три составляющие: В = В „+ В,+ + В „.
Составляющая В, — вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая „— вдоль перемещения — дает силу, перпендикулярную перемещению, рабо- ты она не совершает. Остается лишь составляющая „— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле (6.38) вместо В надо брать только В„. Но В„65= дФ, и мы опять приходим к формуле (6.37). 3.
Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобьем мысленно данный контур на бесконечно малые элементы тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение 6А = ! д'Ф для элементарной работы, где под б'Ф надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура.
Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (6.37), где дФ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур. Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от начального положения ! до конечного 2, достаточно проинтегрировать выраженяе (6.37): А=5 )ЕФ 1 (в.зэ) Если при этом перемещении поддерживать ток ! постоянным, то А =!(Ф, — Ф), (вло) 153 где Ф, и Ф, — магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях. Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (6.40) дает не только величину, но и знак совершаемой работы.
Пример. Плоский контур с током ! поворачивают в магнитном поле В из положения, при котором нормаль к контуру и )т В, в положение, при котором и т) В (напоминаем, что направление нормали п связано с направлением тока правилом правого винта). Площадь, ограниченная контуром, равна 5. Иайти работу амперовык сил при указанном перемещении, считая, что ток ! поддерживается постоянным. Согласно (6.40) А = /! В5 — (- В5)) = 2/В5.
В данном случае работа А)0, при обратном же повороте Л(0 Следует отметить, что работа (6.40) совершается не за с !с! энергии внешнего магнитного поля (оно не меняется), а за счс! источника э. д, с., поддерживающего ток в контуре. (Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.) Задачи ° 6.1.
Непосредственный расчет индукции В. Ток / тече~ по тонкому проводнику, изогнутому, как показано ни рис. 6.16. Найти магнитную индукцию В в тоске О. /!еобходимые диннь!е указань! на рисунке. Р е ш е н и е. Искомая величина В = В + В„, где В магнитное поле от прямолинейного участка контура; В., — от его криволинейной части. Согласно закону Био †.Савара (см пример ! па с.
!37) и,/ соз а йа и,/ В =-2~ — = — !до, 4ли соз о„2ла о д, /(2. — 2,) о П„/ — = — (л — ь,) . 4л ас 2ла В результате В =(л — о, + !П а) Пь/!2ла. Полезно убедиться, что прн ао — ь0 мы приходим к известному вы раже нию (6. ! 3) . ° 6.2. Тонкий провод с идол!и!ией образует плоскую спираль ссз большого числа Лl плотно располозкеннь!к витков, по Рис. б.!7 Рис б,!б которым течет постоннный ток!. Радиугь! внутреннего и внешнего витков равны а и Ь (рис. 6.17).
Найти: 1) магнитную индукцию В в центре спирали — точке О; 2) магнитный момент 164 а от всех витков В=~ В, ЬМ, (2) где дй! — число витков в интервале(г, г+ дг), дЛ' = — аг. Ы Ь вЂ” а (3) После подстановки (1) и (3) в (2) и последующего интегрирования по г от а до Ь получим ивВУ Ь В= 1и —. 2(Ь вЂ” а) а' 2. Магнитный момент одного витка радиуса г есть р, = = тяге, а всех ни~кое р,„= ~ р, дйГ, где й)У определяется формулой (3).
Интегрирование дает втаб Ьь — а1 и/Ь! р.= ' ' = (й+аь+ й). ь — а 3 3 ° 6.3. Ток г' течет по длинному прямому проводнику, имеющему форму желоба с поперечным сечением в виде тонкого полукольца радиусом !2 (рис. 6.!8). Найти магии~кую индукцию В на оси О. Р е ш е н и е. Прегкде всего выясним, куда направлен вектор В в точке О. Для этого мысленно разобьем весь проводник на элементарные нити с током аг'. Тогда, ясно, что любые две симметричные нити дадут н сумме вектор ЙВ, направленный вправо (рис. 6.19). Значит, туда же будет направлен н вектор В. 0 В Рве, б !9 Рвс.
6 !8 в точке О достатгюпо векторов дВ от каждой Поэтому для нахождения поля В найти сумму проекций элементарных нити тока на направление вектора В: В = ~ йВ Мп у, 1Ьб спирали при данном токе. Р е ш е н и е 1. Вклад в магнитную индукцию от одного витка радиуса г равен согласно (6.13) В, = и!/2г, (1) Согласно (6.11) ВВ = Р, в//2нй, где б/=(//и) <Ьр (см. рис. 6.19).
После подстановки (2) в (!) получим Рьт г Рь! В= — ~ з!пейг= —. 2птй клу ь ° 6.4. Теорема о циркуляции В и принцип суперпозицни. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние 1. Но проводу течет постоянный ток плотности ). Найти магнитную индукцию В внутри полости. Р е ш е н и е. Искомую величину можяо представить согласно принципу суперпозиция как В= — В', (!) где Вь — магнитная индукция в том случае, если бы проводник был сплошным (без полости), а В' — магнитная иидукция поля в той же точке от тока, текущего по части провода, которую мы удалили, образовав полость круглого сечения. Таким образом, задача предусматривает прежде всего вычисление магнитной индукции В внутри сплошного провода на расстоянии г от его оси.
Воспользовавшись теоремой о циркуляции, запишем 2лгВ= Рьягт/, откуда В = '/трьг!1 Последнее равенство можно представить с помощью рис. 6.20 в векторной форме: В = '/тР„()г). Представив теперь по этой формуле Вь и В', из выражения (1) найдем их разность: Рь . Рь, Рь В = — (!г) — — (!г') = — (), г — г'). 2 2 2 Рнс. 6.2! Рис. 6.20 Из рис. 6.21 видно, что г = ! + г', откуда г — г' = 1 и / Рь1)1). Таким образом, в нашем случае магнитное поле В в полости является однородным, и если ток течет к нам (рис.
6.2!), то поле В направлено в плоскости этого рисунка вверх. ° 6.6. Принцип суперпозиции. Имеется длинньгй соленоид с током И Площадь поперечного сечения соленоида 5, чисйо витков на единицу длины и. Найти магнитный поток сквозь торец этого соленоида. Р е ш е н и е. Пусть поток вектора В сквозь торец соленоида равен Ф. Если приставить к данному соленоиду еще такой же, то поток через соприкасающиеся торцы будет Ф + Ф = Фь, где Фь — поток сквозь поперечное сечение соленоида вдали от его торца.
Тогда ф = Фа/2 = ц,п75/2. Попутно следует обратить внимание на следующие особенности поля В у торца длинного соленоида. 1. Линии вектора В расположены так, как показано на рис. 6.22. Это нетрудно понять с помощью принципа суперпозиции: если приставить справа еще такой же соленоид, поле В вне образованного таким образом составного соленоида должно обратиться в нуль, а зто возможно только при указанной на рисунке конфигурации поля.
2. Из того же принципа суперпозицни следует, что нормальная составляющая В„будет одинакова по плошади торца, ибо при образовании составного соленоида В„ + В„ = Вь, где Вь — поле внутри соленоида вдали от его торцов. В центре торца В = В„, и мы получаем, что В = Вь/2. ° 6.6. Поле соленоида. Иамоткой длинного соленоида с радиусом сечения а служит тонкая лента-проводник шириной Ь, намотанная в один слой практически вплотную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
