И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 94
Текст из файла (страница 94)
!) гда А — некоторая функция, называемая векторным потенциалом. Такое представление возможно в связи с тем, что дивергенция ротора всегда равна нулю. Поэтому условие ЧВ=0 при таком представлении выполняется автоматически. Подобно скалярному нотенциалу ф электрического поля векторный потенциал А определяетсн неоднозначно. Добавление к А градиента произнольной Фуюкции ф не изменяет значения [ЧА], т. е. В. Действительно, заменим А чю Рез А+ Чф Согласно (1!.38) ротор градиента любой функции равен нулю. По. этому [Ч, (А+Чф)]=[ЧА]+[Ч, Чф]=[ЧА].
ПРИЛОЖЕНИЯ 46Т Таким образом, функция (П1.2) А'=А+уф, т. е. так, чтобы поле А не имело источников. Заметим, что даже прн выполнения условия (Ш.З) фунхцня А остается неоднозначной. Для того чтобы определенне векторного потенциала было одноз. начным, надо задать граничные условии для А. Уравнение Пуассона. В соответствни с (!3.5) для поля в вакууме 1 7Е= — Р ео Заменим в этом соотношении Е на — 7йх 1 7 (77) = — р.
ео Левая часть формулы представляет собой 7тф=Ьф, где Ь вЂ” оператор Лапласа, Такнм образом, мы приходим к ураанеяяю пт = — р~ 1 (П1,4) ео которое наэыеается ур в анена ем П у асс она. В развернутом анде это уравнение выглядит следующим образом: дор до,р дор — + — + — = — — р. дхо дуо дхо ео Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, распределенных с плот. постыл р(г), можно получнть с помощью пришшпа суперпозиция н выражения для потенциала точечного заряда.
Помегнв штрихом переменные, по которым пронзводнтсн интегрирование, получим Р р (г') ду' (П1.6) Ъ' (П1.5) ° рункцня (Ш.6) представляет собой решение уравнения (Ш.4). Подставим в формулу (49.9) вместо В ротор А: 17, (7А)) =р.) Преобразовав левую часть по формуле (11.40), получим 7 (7А) — ЬА= Ро). Выбрав А тако чтобы выполнялось условие (П1.3), придем к уравнению ЬА = — ро), (П1.7) которое сходно с (Ш.4) н представляет собой уравнение Пуассона для аектор.
ного потенциала. равно кзк н А, будет векторным потенциалом данного магнитного поля. Взяв днаергенцию от функции (1П.2), получим 7А' 7А+ 7 (7ф) = 7А+бф. Подбором функции ф можно придать 7А' любое наперед заданное, в частности нулевое, значение. Таким образом, аекторный потенциал всегда можно выбрать так, чтобы его дивергенция разнялась нулю: 7А=О, ПРИЛОЖЕ ИИЯ Уравненне (П!.7) эквивалентно трем скалярным уравненням: Ада= — рэ1а (у=к, у, а).
(Ш,б) Аа(г) = — ! —, (й=х, у, а). ра Г !а(г') г(У' 4л,) )г — г') (Ш.9) Трп выражения (Ш.9) можно объединить в одно векторною А(г) = — 0! —, р, Г ) (г') НУ' 4п0 )г — г'!' ! (И[. !О) Отметим, что ннтегрнровавне в формулах (Ш.9) в (Ш.!0) распространяетса на всю область, в которой текут токи, создающие поле. Формула (П!,!О) позволяет по нзвестному распределеняю токов в пространстве вычислить векторный потенциал поля, создаваемого этими токами. Определив затем ротор векторного потенциала, найдем Р магнитную индукцию В поля.
Закон Бно — Савара. Вычислим векторный у потенциал, создаваемый током А текущим по тонкому проводу. Разобьем провод на элементы г длнвы б! и сопоставим каждому элементу вектор о1, модуль которого равен г)1, а напрею г' ленке совпадает с направленнем вектора плопи- ИЬ сти тока ) в данном элементе провоаа (рнс. Ш.!). Полажение элемента л! относительно начала координат О определнегся радиусом-вектором а положение точки Р, в которой определяется Рнс. 1и.!.
векторный потенциал,— рзднусом.вектором г. Согласно формуле (Ш.!0) элемент тока б! вносит в векторный потенцнзл в точке с радиусом-вектором г вклад, равный ЫА (г) = — ' — ' у, 1гг') Я'ГГ! 4н (г — г') (П1. 11) где 3' — площадь поперечного сечения провода в точке г', а 3'г((=НУ' — обьсм элемента б!. Поскольку нектары ) (г') н б! имеют одинаковое направление, числитель формулы (!П.!!) можно преобразовать следующим образом: ) (г') о 'в! = Г (г') 6'б! = И(, где à — сала тока, текущего в проводе. Таким образом, 4юрмуле (П1.1!) моагно придать внд ЫА (г) =- — —, ра Гг)! 4н )г — г') ' Отметим, что б( =бг' есть приращение вектора г' на отрезке М. Векторный потенциал в точке Р разек сумме выражений (П!.!2) р,г Г д! (г') 4п ) )г — г'(' (Ш.
12) (1НПО) Решение этих уравненнгс можно получить, заменив в (Ш.б) функцию (!!еа) р (г') функцией р. Га (г') (ср. уравнения (П1.4) н (П1.8)). В результате получнм 489 приложпния Чтобы подчеркнуть, что положенке отрезка б) относительно начала координат О определяется радиусом-вектором г', мы запнсалн его в виде о)(г'). Интегрнроезпие производится по всей длине провода. Магнитная нпдукция в точке Р определяется ротором функции (Ш.)3) (Ш.14) (постоянные скалярные величины мы вынесли ва знак ротора), Интегрирование в формуле (П!.14) осуществляетси по штрихованным координатам (по координатам точки, в которой находится элемент Ы1), а дифференцирование при вычислении ротора †нештрихованным координатам (по координатам точки Р; чтобы подчеркнуть зто мы снабдилн оператор у индексом г).
Поэтому операцкн интегрирования и вычисления ротора можно поменять местамп. В результате форчула (Ш,)4) примет внд (П1. ! 5) Ротор в выражения (1П.15) берегся от произведения вектора б! (г') на скаляр !/(/г — г' !). Согласно правилам дифференцирования ротор в этом случэа состоят из двух слагаемых, в одном иэ которых оператор рг действуег иа вечторный самножитель, а во втором — на скалярньгй сомножитель. Вектарныи сомножитель б) (г') не содержит нештрихованных координат. Поэтому первое слагаемое равно нулю. Следовательно, подынтегрэльиая функция в (Ш.)5) мо.
а~от быть представлена в виде Несложные вычисления дают для градиента функции 1/(! г — г' !) = =- 1!) "(к — к')'+(у — у')" +(з — г')' (при нахождении градиента дифференцир заэппе осуществляется по координатам к, у, а) значение — (г — г )/(1 г — г' (з), учетом этого формула (П!.15) принимает вид !э ( !(л), ( — 'И 4л „) (г — г'!" (П!.16) А (г) = — ул) —, РИ * д) (г') 4л 9' ( г — г' ) ' (П1.17) Интеграл теперь берется па замкнутому контуру.
Воспользовавшись тем, что по условию г'(<г, сохраним в подынтегрзль ном выражении тол ко члены поридка г'(г, отбросив члены более высокик по- )(ы пришли к закону Био — Савара (см. формулу (42.3), в которой г соответствует г — г' в формуле ()П.16)). Поле на больших расстояниях от контура с током. Найдем с помощью векторзого потенциала магнитную индукцию В поля, создаваемого плоским контуром с током на расстояниях, значительно бблыонх линейных размеров контура.
Выберем оси х и у в плоскости контура, причем так, чтобы направление токз образовывало с осью а правовннтовую сйстему (рис. 1!!.2; обозначении ня этом рисунке те же, что и на рис. Ш.1). Согласно формуле (111,13) ПРИЛОЖЕНИЯ 490 рядков малости. С учетом этого функцию 1/(!г — г'!) можно представить ввиде — — (Ш Пй) ! 1 1 1 !г г ! )/(г — г')э ~ гэ — 2гг'-1-г'э г У1 — 2гг'/гэ (мы отбросили под корнем слагаемое (г'/г)э). Поскольку 2гг'/ге~1, цепочку преобразований (П!,19) можно продолжить следующим образом: (1 П,19) Заменив нодыитегральную функцию в (П!.17) ее приближенным выражением (1П.19), получим А (г) = — — у б!+ —. у (гг') У! ~ (ПП20) (мы воспользовались тем, что г не зависит от штрихованных координат), Первое слагаемое равно нулю, поскольку фа! =О.
Преобразуем второе слагаемое, Рис, 1!1.2. Рнс. 111.3. 4"лгз ~ ~х (» ф «Ух'+ у ф удх') + ы (х фхпу' + у ф УЛУ') ). (И1,21) Нештрихованные координаты мы вынесли ва знак интегралов, поскольку интегрирование производится по штрихованным координатам. Под знаком интеграла фх'с(х' стоит дифференциал функции х'э/2.
Интеграл от полного дифференциала, взятый по замкнутому пути, равен нулю. выразив скалярное произведение через компоненты неремножаемых векторов и представив б! в аиде ехбх'+еыду' (напомним, что х' и у' — координаты точки, в которой находится р1; я' втой точки равно нулю).
В результате выражение (11!.20) примет вид А(г) = — э (хх'+уу') (ехбк+ербу') = ПРИЛОЖЕНИЯ 491 А (г) = рч (е„уф удх'+е х ф хду'~, (Ш.22) Из рис. 1П.З видно, что первый интеграл в (Ш.22) равен площади контура 8, взятой со знаком минус, а второй интеграл — площади 3, взятой со знаком плюс. Таким образом, А (г) = 4 з ( акр+вал)' (Ш.23) Введем положительную нормаль п к плоскости контура,т. е. вектор о ком. понентами (О, О, Ц и вычислим векторное произведение ек еа е, (пг! = О О 1 = — еку+е,х. х у а Сравнение с (1П.23) показывает, что выражение для векторного потенциала можно представить в виде А (г) = —. (пг! = — — ' из!3 ра [(18п),г! 4ига 4п га Множитель ! Зп представляет собой магнитный момент контура ри (см.
формулу (46.5)). Счедоватвньно, А (г) = — —. рь (в г! 4п гч (1П.24) Из полученного выражения вытекает, что вектор А а каждой точка Р перпендикулярен к плоскости, проходящей через направление вектора р и точку Р (см. рис. Ш.2). Заменив 13 на р, представим выражение (Ш.23) в виде А (г) 4 ч ( рек+хна) Рчрм (1П.25) Вычислив ротор функции (П!.25), найдем магнитную индукцию ползи ек еа ек д д д дх ду дг В = (ЕА! = ) !зкв = — „— ги (Зхгек+ ЗУгех+ (Згэ — гз) ек). (П1.25) х гч 0 С помощью формулы (!П.20) можно вычислить В в любой точке, расстояние г которой от контура много больше линейных размеров контура.
По атой формуле для точек (О, О, г), лежащиа на оси а, получается значешщ В(0, О, а)=Р (2гаег)=Р' Р р,йр 4пга 4п га (П1.27) (рмек=р„; г'=г'), Формула (П1.27) совпадает с формулой (47.2); полученной Аналогично равен нулю фу'ду'. Поэтому выражение (Ш.21) упрощается сле- дующим образом: 492 ггвило)кения для кругового контура. Для точек (х, р, О), лежаших в плоскости контура, В(яр 0)~а(гзе)гз 4кгз = 4я гз (ср. о формулами (9.9) н (9.10)). Найдем модуль вектора В в точке с координатами к, у, я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
