Ульянов (новое издание) (1115355), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. Xn = EX1 . . . EXn .По лемме о группировке, любые комбинации sin и cos от независымых случайныхвеличин X1 . . . Xn (например cos tX1 , sin tX2 , cos tX3 . . . cos tXn ) будут независимыми.Учитывая это и форумулу Эйлера eiα = cos α + i sin α, получимϕX1 +...+Xn (t) = Eeit(X1 +...+Xn )= E(cos tX1 + i sin tX1 ) .
. . (cos tXn + i sin tXn )= (E cos tX1 + iE sin tX1 ) . . . (E cos tXn + iE sin tXn ) =nYϕXk (t).k=1Мы сформулировали некоторые необходимые условия, которым удовлетворяютхарактеристические функции. Таким образом, если для некоторой функции не выполняется одно из первых условий, то это означает, что рассматриваема функция неможет быть характеристической.Сложнее обстоит дело с проверкой того, является ли данная функция характеристической. Сформулируем теорему Бохнера-Хинчина, дающую ответ на этот вопрос.Теорема 9.3 (Теорема Бохнера-Хинчина).
Непрерывная функция ϕ(t), t ∈ R,такая что ϕ(0) = 1, является характеристической функцией некоторой случайнойвеличины X, тогда и только тогда, когда она неотрицательно определена.Доказательство. Необходимость нами доказана выше. Достаточность доказывается труднее, и мы примем ее без доказательства. Доказательство можно найти вкниге Б.В. Гнеденко "Курс теории вероятностей".9.2Формула обращенияCформулируем теорему, показывающую, что функция распределения F = F (x)случайной величины X однозначно восстанавливается по своей характеристическойфункции ϕ(t), и дадим явное представление F (x) через ϕ(t).Теорема 9.4 (формула обращения).
Пусть F = F (x) — функция распределенияиZ∞eitx dF (x)ϕ(t) =−∞81— ее характеристическая функция. Тогда, для любых двух точек a, b(a < b), гдефункция F (x) непрерывна,Zc1F (b) − F (a) = limc→∞ 2πe−ita − eitbϕ(t) dt.it−cЕслиR∞|ϕ(t)| dt < ∞, то функция распределения F (x) имеет плотность f (x),−∞Zxf (y) dy,F (x) =−∞и1f (x) =2πZ∞e−itx ϕ(t) dt.−∞Доказательство. Обозначим1Φc ≡2πZce−ita − eitbϕ(t) dt.it−cПреобразуем Φc следующим образом:Zc−ita−itaitbZ∞−ee−e 1ϕ(t) dt =eitx F (x) dx dtit2πit−c−c−∞∞ZZ∞ Zc −ita− eitb itx 1 eΨc (x) dF (x),=e dt dF (x) =2πitΦc =12π−∞eZcitb−c−∞где мы положили1Ψc (x) =2πZce−ita − eitb itxe dtit−cи воспользовались теоремой Фубини (см. замечание в конце теоремы), справедливость которой в данном случае следует из того, что¯¯¯¯ ¯ −ita¯ ¯Zb¯ −itaitb ¯itb¯¯¯¯¯ee−e−e−itxitx¯=¯¯ = ¯ e dx¯ ≤ b − a,¯e¯¯ ¯¯ ¯¯itit¯¯aZ∞dF (x) = 1−∞82иZc Z∞(b − a) dF (x) dt ≤ 2c(b − a) ≤ ∞.−c −∞Далее,1Ψc (x) =2πZcsin t(x − a) − sin t(x − b)dtt−c1=2πc(x−a)Zc(x−b)Zsin v1dv −v2π−c(x−a)sin vdvv−c(x−b)ФункцияZtg(s, t) =sin vdvvsравномерно непрерывна по s и t иg(s, t) → πпри t ↑ ∞ и s ↓ −∞.
Поэтому существует такая константа C, что для всех c и x|Ψc (x)| < C < ∞. Отсюда следует, чтоΨc (x) → Ψ(x),c → ∞,гдеесли x < a или x > b;0,Ψ(x) = 1/2, если x = a или x = b;1,если a < x < b.Тогда по теореме Лебега о мажорируемой сходимости возникает пределZ∞11Ψ(x) dF (x) = Q(a, b) + Q(a) + Q(b) = Q(a(a; b]) = F (b) − F (a).22−∞Последнее равенство справедливо только для a и b, являющихся точками непрерывности F (x).Таким образом, доказана первая часть теоремы.Вторая часть доказывается проще.ОбозначимZ∞1e−itx ϕ(t) dt.f (x) =2π−∞83Из теоремы о мажорируемой сходимости слудует, что эта функция непрерывна по xи, значит, она интегрируема на [a, b]. Применяя теорему Фубини, получимZbZb Z∞1 e−itx ϕ(t) dt dxf (x) dx =2πaa−∞ b b∞ZZZcZ11ϕ(t) e−itx dx dt = limϕ(t) e−itx dx dt=c→∞ 2π2π−∞aZc= limc→∞−ca1 e−ita − e−itbϕ(t) dt = F (b) − F (a)2πitcдля всех точек a и b непрерывности функции F (x).
Отсюда вытекает, чтоZxf (y) dy,F (x) =x ∈ R,−∞а так как f (x) - непрерывная, а F (x) - неубывающая функции, то f (x) есть плотностьF (x).Замечание. Теорема Фубини будет сформулирована и доказана в курсе функционального анализа, а пока мы ее принимаем на веру. Теорема нужна нам, чтобыпоказать, что мы имеем право менять пределы интегрирования у интеграла.Замечание. ФормулыZ∞eitx f (x) dx,ϕ(t) =−∞1f (x) =2πZ∞e−itx ϕ(t) dt−∞очень похожи. Первую из них, как отмечалось выше, обычно в анализе называютпреобразование Фурье функции f (x), вторую — обратным преобразованием Фурье.Подробно с этой темой вы познакомитесь в курсах математического и функционального анализов.84Лекция 1010.1Слабая cходимостьОпределение 10.1.
Последовательность функций распределенияF1 (x), F2 (x), . . . , Fn (x), . . .слабо сходится к функции F (x), если при n → ∞ она сходится к этой последнейв каждой ее точке непрерывности.Замечание. Тот факт, что последовательность функций распределения {Fn (x)}слабо сходится к функции F (x) будем обозначать Fn (x) ⇒ F (x).Замечание. Рассмотрим X1 , X2 , . .
. — последовательность одинаково распределенных случайных величин с P(Xi = 1) = p, P(Xi = 0) = q, p+q = 1. Используя понятиесходимости по вероятности, запишем закон больших чисел в видеSn p−→ p,nn → ∞.(1)Обозначим½¾Sn6x ,nFn (x) = P(1, x > p;F (x) =0, x < p.Из (1) легко вывести, что Fn (x) → F (x) для всех точек x ∈ R, кроме точкиx = p, где функция F (x) терпит разрыв.Отсюда следует, что слабая сходимость не влечет за собой поточечную сходимость Fn (x) к F (x).Возникает вопрос, всегда ли будет предельная функция являться функцией распределения.
Ответ на этот вопрос отрицательный. Приведем пример поясняющийсказанное.Пример. Рассмотрим последовательность функций распределенияпри x 6 −n;0,Fn (x) = 1/2, при −n < x < n;1,при x > n.Очевидно, чтобы предельная функция F (x) ≡ 1/2 — не является функцией распределения.Следовательно, мы должны накладывать некоторые условия, чтобы предельнаяфункция была функцией распределения.85Замечание. Пусть X, X1 , X2 , . . . — случайные величины и FXn (x) ⇒ FX (x).
В этомслучае говорят, что случайные величины X1 , X2 , . . . сходятся по распределению кdслучайной величине X, и записывают Xn −→ X. Эта запись наглядна и поэтому частов формулировках предельных теорем ее предпочитают записи FXn (x) ⇒ FX (x).Утверждение 10.1. Пусть последовательность функций распределения {Fn (x)}сходится к функции F (x) на всюду плотном множестве D. Тогда Fn (x) ⇒ F (x).Доказательство. Пусть x — любая точка и x0 и x00 — какие-нибудь точки множества D, такие что x0 6 x 6 x00 . При этом такжеFn (x0 ) 6 Fn (x) 6 Fn (x00 ).Следовательно,lim Fn (x0 ) 6 lim Fn (x) 6 lim Fn (x) 6 lim Fn (x00 ).n→∞n→∞n→∞n→∞А так какlim Fn (x0 ) = F (x0 )n→∞lim Fn (x00 ) = F (x00 ),иn→∞то иF (x0 ) 6 lim Fn (x) 6 lim Fn (x) 6 F (x00 ).n→∞n→∞Но средние члены в этих неравенствах не зависят от x0 и x00 , поэтомуF (x − 0) 6 lim Fn (x) 6 lim Fn (x) = F (x + 0).n→∞n→∞Если функция F (x) в точке x непрерывна, тоF (x − 0) = F (x) = F (x + 0).Следовательно, в точках непрерывности функции F (x)lim Fn (x) = F (x).n→∞Далее нам понадобятся две теоремы, принадлежащие Хелли.Теорема 10.1 (Первая теорема Хелли).
Из любой последовательности {Fn (x)}функций распределения можно выделить по крайней мере одну слабо сходящуюсяподпоследовательность.Замечание. Идея доказательства теоремы очень похожа на ту, что использоваласьпри доказательстве теоремы Арцела из курса математического анализа, заключающуюся в том, что из равностепенно непрерывной и равномерно ограниченной функциональной последовательности можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность, сходящуюся равномерно на некотором компакте. Так что при желаниичитатель может провести доказательство самостоятельно.86Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь всюду плотное множество D точекx01 , .
. . , x0n , . . .. Возьмем значения функций последовательности {Fn (x)} в точке x01F1 (x01 ), F2 (x01 ), . . . , Fn (x01 ), . . . .Так как множество этих значений ограничего, то по теореме Больцано-Вейерштрассаиз курса математического анализа, оно содержит по меньшей мере одну подпоследовательностьF11 (x01 ), F12 (x01 ), . . . , F1n (x01 ), . .
. ,сходящуюся к некоторому предельному значению G(x01 ). Рассмотрим теперь множество чиселF11 (x02 ), F12 (x02 ), . . . , F1n (x02 ), . . . ,Так как и это множество ограничено, то и в нем существует подпоследовательность,сходящаяся к некоторому предельному значению G(x02 ). Таким образом из последовательности {F1n (x)} мы можем выделить подпоследовательностьF21 (x), F22 (x), .
. . , F2n (x), . . .такую, что одновременно lim F2n (x01 ) = G(x01 ) и lim F2n (x02 ) = G(x02 ). Продолжимn→∞n→∞такое выделение подпоследовательностей {Fkn (x)}, для которых одновременно длявсех r 6 k выполнено lim Fkn (x0r ) = G(x0r ).n→∞Составим теперь диагональную ("канторовскую") последовательность {Fnn (x)},сходящуюся по всем x0k к G(x). Так как все Fnn (x) неубывают и ограничены, тоG(x) будет неубывающей и ограниченой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
