Ульянов (новое издание) (1115355), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поскольку сделать α и β одновременно сколь угодно малыми при фиксированном объёме выборки заведомо не получится, мы в ответ потребуем сделать выборкудостаточно длинной. Некто в ответ спросит, насколько длинной она должна быть.Поскольку на вытаскивание каждого шара, фиксацию его цвета и возвращение в урну тратятся силы, время и финансы, то некто требует минимальную необходимуюдлину.
Выясним, как разобраться с этим вопросом.Далее вместо «вероятность ошибки i-го рода» будет употребляться «ошибка i-города». Будем искать критерий с ошибкой первого рода, равной α0 и ошибкой второгорода, не превышающей β0 .Пусть H1 гласит, что доля белых шаров в урне равна p1 , а H0 — что она составляетp0 .
Не ограничивая общности, будем считать, что p1 > p0 . Пусть в выборке оказалосьm белых шаров. Если верна H1 , то m — случайная величина, имеющая биномиальноераспределение с параметрами n и p1 . Если H0 — то с параметрами n и p0 .
Представимсебе, что критерий построен и мы принимаем H1 , если m > mкрит . Вычислим ошибкупервого рода, обозначив 1 − p0 как q0 :µ¶µ¶m − np0mкрит − np0m − np0mкрит − np0P(m > mкрит |H0 ) = P √> √=1−P √6 √.np0 q0np0 q0np0 q0np0 q0Интуиция подсказывает, что некто потребует качественный критерий. Это означает, что ошибки должны будут оказаться маленькими. Кроме того, интуиция уверена в том, что малость ошибок влечёт за собой весьма и весьма большую длинувыборки. А раз длина выборки «весьма» велика, можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа:µα=1−Pmкрит − np0m − np06 √√np0 q0np0 q056¶≈1−mкрит −np0√Znp0 q0 2x1√e− 2 dx2π−∞= α0 .Подобным образом поступим с ошибкой второго рода (q1 = 1 − p1 ):µβ 6 P(m 6 mкрит |H1 ) = Pm − np1mкрит − np16 √√np1 q1np1 q1¶≈mкрит −np1√Znp1 q1 2x1√e− 2 dx2π6 β0 .−∞Пусть tα0 и tβ0 — решения уравненийZt−1 − Φ(tα0 ) = α0 и Φ(−tβ0 ) = β0 , где Φ(t) =ex22 dx.−∞Сопоставив это с выражениями для вероятностей ошибок, получаемmкрит − np0√= tα0 =⇒ mкрит = np0 + tα0 np0 q0 и√np0 q0mкрит − np1√6 −tβ0 =⇒ mкрит 6 np1 − tβ0 np1 q1 .√np1 q1Остаётся исключить переменную mкрит и затем разрешить полученное неравенство√√np0 + tα0 np0 q0 6 np1 − tβ0 np1 q1 относительно n, после чего окончательно имеемµ √¶√tα0 p0 q0 + tβ0 p1 q1 2n>.p1 − p0Так что чем ближе гипотезы, тем трудней их различить.
Знаменатель это нагляднодемонстрирует. Посмотрим, что даёт формула на конкретных числах:p0 = 0,5, q0 = 0,5, p1 = 0,6, q1 = 0,4, α0 = 0,05, β0 = 0,25, tα0 = 1,645, tβ0 = 0,674⇓¶2µ0,822 + 0,33> 132 =⇒ n > 133.n>0,1При n = 144 mкрит = 81.В жизни эта схема наполняется самыми разными способами. Например, старыеи новые лекарства можно сравнивать с помощью такого метода.6.2Определение вероятностного пространства в общем случаеПришло время покончить со счётностью пространства элементарных исходов Ω. Чтобы строго и аккуратно построить для Ω мощности континуум класс событий, нужнодля начала разработать почву. Определение σ-алгебры уже встречалось (под видом определения класса событий), и оно остаётся основным.
Появится ещё немногодругой объект, называемый алгеброй. Далее он призрачно возникнет в одном месте: оказывается, заданную на алгебре функцию, удовлетворяющую первым двумтребованиям на вероятность, можно продолжить до полноценной вероятности единственным образом при одном условии на элементы алгебры.
Об этом ниже (на с.??,правда, без доказательства). Но в целом алгебра присутствует здесь потому, чтопонадобится однажды в доказательстве одного важного факта.Алгебра от σ-алгебры отличается только конечной аддитивностью (вместо счётной):57Определение 6.4.
Множество A подмножеств (не всех!) Ω называется σ-алгеброй ⇐⇒ A обладает следующими тремя свойствами:1◦ . σ-алгебре принадлежит само Ω:Ω ∈ A.2◦ . Вместе с любым множеством σ-алгебра содержит его дополнение до Ω.B ∈ A =⇒ B ∈ A.3◦ . Свойство счётной аддитивности:∀ i ∈ N Bi ∈ A =⇒∞[Bi ∈ A.i=1Далее под отрицанием будет пониматься дополнение до Ω. Не более, чем счётное объединение и отрицание далее будут называться допустимыми в σ-алгебреоперациями.Замечание.
Счётные пересечения тоже не выводят за границу σ-алгебры. Это сразуследует из того, что∞\Bi ≡i=1∞[Bi .i=1Этот факт, в свою очередь, устанавливается по определению объединения, пересечения и дополнения.Определение 6.5. Множество A0 подмножеств (не всех!) Ω называется алгеброй ⇐⇒ A0 обладает следующими тремя свойствами:1◦ . Алгебре принадлежит само Ω:Ω ∈ A0 .2◦ . Алгебра вместе с любым множеством содержит его дополнение до Ω:B ∈ A0 =⇒ B ∈ A0 .3◦ . Свойство конечной аддитивности:B1 , B2 ∈ A0 =⇒ B1 ∪ B2 ∈ A0 .Замечание. Свойство конечной аддитивности сформулировано для двух множеств,однако с помощью мат. индукции может быть получено для любого количества слагаемых, лишь бы количество это было конечным.Раз уж Ω имеет мощность континуум, то и события в общем случае могут иметьмощность континуум.
Уже приводилось множество мощности континуум, для которого не существует меры (с.12). В σ-алгебру событий нельзя включать множества, неимеющих меры, потому что на всех элементах класса событий должна быть определена вероятность. Попробуем определиться, какие же множества можно допускать в58кандидаты на события. Начнём с простого: как известно, в случае отрезков и интервалов меру (которая дальше будет обозначаться буквой µ) можно ввести как модульразности концов множества: µ(( a, b)) = µ([ a, b)) = µ(( a, b]) = µ([ a, b]) = |b − a|,где a и b — соответствующие действительные числа. Если вместо a или b окажется ±∞, то меру такого множества считаем бесконечной. Сначала на основе такихмножеств построим алгебру: пусть Ω = R и B0 — это все множества вида (−∞, a),[ a, b), [ b, +∞) и всевозможные их конечные объединения.
Это определение включает в себя отрицания — это обеспечено тремя видами множеств и возможностью ихобъединять. Нетрудно установить, что B0 удовлетворяет всем условиям определенияалгебры. Разберёмся с тем, что из себя представляет σ-алгебра, получаемая из этихмножеств.6.3Сигма-алгебра, порождённая классом множествПусть у нас есть какие-то множества, состоящие из элементов некоторого множестваΩ. Предположим, мы хотим изготовить содержащую их σ-алгебру. Бывает так, чтоможно в какую-нибудь σ-алгебру добавить ещё какое-нибудь не содержавшееся тамранее множество и получить всё то же, что мы хотели изготовить. Поэтому отдельновыделяют σ-алгебру, ничего лишнего не содержащую:Определение 6.6. σ-алгеброй, порождённой классом множеств E, называется наименьшая σ-алгебра, содержащая все элементы E и обозначается S(E).Замечание. Вероятно, стоит отметить, что если E окажется σ-алгеброй, то S(E) =E.
Это напрашивается само по себе: E ⊆ S(E) и является σ-алгеброй. Но чтобысделать σ-алгебру ещё меньше, придётся выбрасывать какие-то её элементы. Но всеони принадлежат E, так что если кого выбросить, то все элементы E в полученнойσ-алгебре присутствовать не будут. А это уже нарушает определение.Замечание. Подобно тому, как доказывалась конечная аддитивность вероятности,легко показывается, что в σ-алгебре, порождённой классом множеств E, присутствуют всевозможные конечные объединения множеств из E — хвост множеств в счётномобъединении можно составить из пустых множеств, которые в σ-алгебре есть всегдакак Ω.Следующий интуитивно понятный факт приводится без доказательства:Утверждение 6.1. σ-алгебра, порождённая E, всегда существует и совпадает спересечением всех σ-алгебр, содержащих E.6.4Борелевская сигма-алгебраНа этой лекции везде, где речь заходит об алгебре либо σ-алгебре, порождённойчисловыми множествами, в качестве Ω подразумевается R, если не оговорено чтонибудь другое.Определение 6.7.
Борелевская σ-алгебра — это σ-алгебра, порождённая всемиоткрытыми множествами вещественной прямой. Обозначается символом B.Определение 6.8. Элемент B называется борелевским множеством.59Без специальной подготовки представить себе неборелевское множество крайнетрудно. С очень большой вероятностью, любое множество, которое студент можетсебе представить за минуту, окажется борелевским. Неизмеримое множество со с.12борелевским не явлется, но и представить его себе не так-то просто.Утверждение 6.2. σ-алгебра, порождённая B0 , совпадает с B.
Или, в краткихобозначенияхS(B0 ) = B.Доказательство. Покажем, что S(B0 ) ⊆ B и B ⊆ S(B0 ).Первое включение следует из того, что все полуинтервалы и отрезки присутствуют в B: счётное (и конечное) пересечение за пределы B не выводят, а¶∞ µ\1[ b, a) =b − ,a .nn=1Это значит, что B является в том числе и σ-алгеброй, порождённой всеми множествами из B0 . А значит, она включает в себя S(B0 ).Второе включение следует из того, что все открытые множества прямой присутствуют в S(B0 ).
Любое открытое множество можно представить как счётноеобъединение интервалов. Например, взять рациональные точки с нужного размера окрестностями и объединить. А любой интервал можно представить как счётноеобъединение полуинтервалов:¶∞ ·[1( b, a) =b + ,a .nn=1Так что любое открытое множество есть в S(B0 ). Ну а вместе со всеми открытымимножествами в порождённой σ-алгебре неминуемо появится и B. Таким образом,второе включение обосновано.Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
