Ульянов (новое издание) (1115355), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Борелевскую σ-алгебру можно спокойно использовать в качестве классасобытий. В качестве Ω возьмём R, а вероятность для любого открытого множестваопределим как интеграл по этому множеству функцииx21f (x) = √ e− 2 .2πВсе аксиомы будут выполнены. Кстати, вероятность любого множества, состоящегоиз одной или нескольких точек, получается равной нулю. Может показаться странным, что любые события состоят из событий с нулевой вероятностью. Тем не менее,«любое» событие может состоять из конинуума точек.
Как видно, в таком случаеточное равенство нулю вероятности составляющих событий не гарантирует равенстанулю вероятности их объединения.Пример. Кроме B в качестве класса событий можно использовать массу кажущихся другими конструкций. В качестве Ω опять возьмём R, в качестве класса событий —S(B1 ), где B1 — это совокупность всех множеств вида (−∞, a). В качестве вероятности берём всё тот же интеграл по множеству.
В частности, для того же (−∞, a)получаемZax21e− 2 dx.P((−∞, a)) = √2π−∞60Покажем, что S(B1 ) = B. Заметим, что ∀ a ∈ R (−∞, a) = [ a, +∞), так что всемножества вида [ a, +∞) в S(B1 ) тоже присутствуют. При любых действительных a иb, таких что b > a, [ a, b) = (−∞, a) ∪ [ b, +∞), так что все множества вида [ a, b) тожеприсутствуют в S(B1 ). Всё вместе это означает, что S(B1 ) = S(B0 ) = B.
Поэтомучто S(B1 ), что S(B0 ), что B — это всё равно и все множества одного из этих классовможно получать из множеств другого из этих классов с помощью допустимых вσ-алгебре операций. Этот пример будет уместно вспомнить во время разговора офункции распределения (с.62).6.5Случайные величины как измеримые отображенияЗдесь, наконец, будет разъяснено, что же такое измеримость. Приводимое определение — это измеримость для частного случая отображений (из σ-алгебры событийв R). Общий случай здесь не понадобится. Так что мы под измеримостью будемпонимать следующее:Определение 6.9. Пусть задано вероятностное пространство (Ω, A, P).
Отображение X : Ω → R называется A-измеримым (измеримым относительно Aили для краткости просто измеримым) тогда и только тогда, когда для любогоборелевского множества B прообраз X −1 (B) принадлежит классу событий A:∀ B ∈ B X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ A.Замечание. В общем-то, смысл всей затеи в том, чтобы факт X ∈ B (B ∈ B) втерминах вероятностного пространтсва был событием. То есть, чтобы взятые вместеω, для которых это возможно (а это и есть прообраз B), образовывали бы множествоиз класса событий: {ω : X(ω) ∈ B} ∈ A.
В таком случае можно будет говоритьо вероятности события, например, в духе «потери не превысят 9000$», где потеривычисляются как случайная величина. Вот и всё.Любое измеримое отображение из Ω в R — это случайная величина. Если бытьпостроже, тоОпределение 6.10. Пусть задано вероятностное пространство (Ω, A, P). Отображение X : Ω → R называется случайной величиной тогда и только тогда,когда оно измеримо относительно A. То есть,∀ B ∈ B X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ A.В общем-то, определение измеримости всего-то скопировано.
А вот то, что будетнаписано далее — уже не просто копия.Замечание. Понадобится то обстоятельство, что отрицание прообраза множества —это прообраз отрицания множества и объединение прообразов множеств — это прообраз объединения множеств. То есть, если I — некоторое множество индексов (неболее, чем счётное), то()[[{ω : X(ω) ∈ B} = {ω : X(ω) ∈ B} и{ω : X(ω) ∈ Bi } = ω : X(ω) ∈Bi .i∈Ii∈IЭто обстоятельство легко проверяется с помощью определений объединения и дополнения.61Утверждение 6.3.
Пусть задано вероятностное пространство (Ω, A, P) и отображение X : Ω → R. Если все множества вида {ω : X(ω) < a}, где a ∈ R, принадлежат A, то X — случайная величина. Или, в кратких обозначениях,∀ a ∈ R {ω : X(ω) < a} ∈ A =⇒ ∀B ∈ B {ω : X(ω) ∈ B} ∈ A.Доказательство. Из прообразов лучей (−∞, a) можно с помощью отрицания иобъединения (не более, чем счётного) делать прообразы любых борелевских множеств. Это следует из того, что, во-первых, любое борелевское множество можнополучить с помощью отрицания и не более, чем счётного объединения из лучей вида (−∞, a) (доказательство имеется в примере на с.59).
А, во-вторых, отрицание иобъединение можно выносить за скобки множеств-прообразов (это только что было взамечании). Так что теперь берём любое борелевское множество, получаем его допустимыми операциями из лучей, выносим операции за скобки множеств-прообразов ив общем итоге получаем прообразы лучей, над которыми производятся допустимыев σ-алгебре операции.Но поскольку у X прообразы множеств лучей лежат в классе событий, то в классесобытий окажутся и прообразы всех борелевских множеств, которые получились изсобытий-прообразов лучей с помощью допустимых в σ-алгебре операций. Так что Xизмеримо относительно A. Значит, X является случайной величиной.Пример.
Как и в случае менее мощного Ω, константа — всегда случайная величина.Потому что у константы прообразов бывает два: ∅ и Ω. Пусть X(ω) ≡ C:(Ω, если C ∈ B,∀ B ∈ B {ω : X(ω) ∈ B} =∅, в противном случае.Ну а в σ-алгебре событий Ω и Ω присутствуют всегда. Тем самым измеримость доказана.Замечание. В случае не более, чём счётного Ω, не было множеств, для которых несуществовало меры и класс событий строился как множество всех подмножеств. Вслучае Ω мощности континуум появилось неизмеримое подмножество, из-за котороговесь сыр-бор и загорелся. Понятие σ-алгебры согласовано с понятием вероятности —проблемы проистекают от свойства счётной аддитивности, с ним и конфликтуетпредположение об измеримости описанного на с.
12 множества. Это множество —объединение мощности континуум борелевских множеств (точек), которое, как видно, выводит за пределы σ-алгебры.Все неугодные множества из класса событий исключаются, тем самым устраняются вопросы и обрекаются на провал попытки обрушить построенную теориюкаким-нибудь шокирующим примером или рассуждением. Все результаты, полученные для случайных величин ранее, переносятся на случай Ω мощности континуум,их доказательства постепенно появятся.Ну, а множество всех подмножеств для не более, чем счётного Ω формальноявляется σ-алгеброй, и все рассуждения, приводимые для Ω мощности континуум,можно провести и для не более, чем счётного Ω.62Лекция 77.1Функция распределения случайной величиныОпределение 7.1. Функцией распределения (кумулянтой, кумулятивнойфункцией распределения) Fψ (x) случайной величины ψ называется вероятностьP(ψ < x), то есть:Fψ (x) = P(ψ < x).Определение корректное: все множества вида (−∞, x) — борелевские, так чтоесли ψ — действительно случайная величина, то прообразы их окажутся в классесобытий, и вероятность для них определена.Замечание.
Функция распределения может определяться и иначе: вместо P(ψ < x)может быть P(ψ 6 x). Принципиальных изменений это не вносит, однако существенные различия имеются. При первом варианте определения функция обладаетнепрерывностью слева, при втором — справа. Иногда это обстоятельство оказывается важным, например условия задач могут подразумевать одно из этих определений и требовать что-нибудь доказать, что для одного из определений неправильно.Чтобы студент в таком случае не оказался в тупике в безысходности, о втором определении надо помнить и быть начеку.7.1.1Свойства функции распределенияВезде, где речь идёт о свойствах функции распределения, подразумевается, что ψ —произвольная случайная величина.1◦ . Функция распределения — всегда неубывающая:∀ x1 , x 2 : x1 6 x2Fψ (x1 ) 6 Fψ (x2 ).Доказательство.Fψ (x2 ) − Fψ (x1 ) = P(ψ= P(ψ= P(ψ= P(ψ< x2 ) − P(ψ < x1 )∈ (−∞, x1 ) ∪ [ x1 , x2 )) − P(ψ ∈ (−∞, x1 ))∈ (−∞, x1 )) + P(ψ ∈ [ x1 , x2 )) − P(ψ ∈ (−∞, x1 ))∈ [ x1 , x2 )) > 0.2◦ .
Функция распределения непрерывна слева:lim Fψ (x) = Fψ (x0 − 0) = Fψ (x0 ).x→x0 −0Замечание. Вот это свойство и изменяется при определении функции распределения как P(ψ 6 x) на непрерывность справа.63Доказательство. Функция Fψ (x) монотонна. Так что если доказать, что она стремится к какому-то числу по некоторой последовательности, сходящейтся к x слева,то она к нему будет стремиться и по любой другой последовательности, сходящейсяк x слева. А это — уже определение предела функции по Гейне, но только опятьслева. Итак, рассморим разность111Fψ (x) − Fψ (x − ) = P(ψ < x) − P(ψ < x − ) = P(x − 6 ψ < x).nnnИмеем невозрастающую (при увеличении n) последовательность событий{ω : x −16 ψ(ω) < x}.nОна обладает нулевым пределом:∞\{ω : x −n=1116 ψ(ω) < x} = lim {ω : x − 6 ψ(ω) < x} = {ω : x 6 ψ(ω) < x} = ∅.n→∞nnВероятность, как известно, непрерывна по невозрастающей последовательности событий, воспользуемся этим в переходе ∗:¶µ11lim Fψ (x) − Fψ (x − ) = lim P(ψ ∈ [ x − , x))n→∞n→∞nn1∗= P( lim {ω : ψ(ω) ∈ [ x − , x)}) = P(∅) = 0.n→∞nТак что, по одной из последовательностей, стремящихся к x слева, Fψ стремится ксвоему значению Fψ (x).3◦ .
Предел функции распределения на +∞ равен одному, на −∞ — нулю.Fψ (x) −−−−→ 1 и Fψ (x) −−−−→ 0.x→+∞x→−∞Доказательство. Опять нужно воспользоваться непрерывностью вероятности помонотонной последовательности событий: в этот раз последовательности такие:Bn = {ω : ψ(ω) ∈ (−∞, n)} =⇒ Bn ⊆ Bn+1 ,Cn = {ω : ψ(ω) ∈ [−n, +∞)} =⇒ Cn ⊆ Cn+1 ,∞[Bn = {ω : ψ(ω) ∈ R} = Ω,n=1∞[Cn = {ω : ψ(ω) ∈ R} = Ω.n=1Обе — неубывающие. Первая из них позволяет отыскать предел Fψ (x) на +∞:lim Fψ (n) = lim P(Bn ) = P( lim Bn ) = P(Ω) = 1.n→∞n→∞n→∞Чтобы отыскать предел второй последовательности, функцию распределения отнимем от 1:lim (1 − Fψ (−n)) = lim P(ψ > −n) = lim P(Cn ) = P( lim Cn ) = P(Ω) = 1n→∞n→∞n→∞n→∞⇓lim Fψ (−n) = 0.n→∞Ну, а поскольку функция распределения всегда монотонна, то, найдя пределы поэтим конкретным подпоследовательностям, мы тем самым нашли пределы по всемостальным.
Так что вновь по определению Гейне, пределы функции на +∞ и −∞найдены.647.2Распределение случайной величиныДалее считается, что задано произвольное вероятностное пространство (Ω, A, P) и внём произвольная случайная величина ψ.Определение 7.2. Распределением случайной величины ψ называется отображение Pψ : B → R, при любом B ∈ B равное вероятности P(ψ ∈ B). Или, покороче,∀B ∈ BPψ (B) = P(ψ ∈ B) — распределение ψ.Утверждение 7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
