Лекции (1115344), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ξ ðàñïðåäåëåíà äèñêðåòíî,òî Dξ =RP22(xk −Mξ) pk , à åñëè ξ ðàñïðåäåëåíà àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî Dξ = (x−Mξ) pξ (x)dx =RRk 2x pξ (x)dx − (Mξ)2 .RÒåîðåìà 2 (ñâîéñòâà äèñïåðñèè): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå äèñïåðñèþ;òîãäà1) Dξ ≥ 0;2) ∀ C ∈ R DC = 0;3) ∀ C ∈ R D(Cξ) = C 2 · Dξ ;4) D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 + 2M(ξ1 − Mξ1 )(ξ2 − Mξ2 ); åñëè ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû, òîD(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 .4 Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ 1-3 ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ äèñïåðñèè, à òàêæå ñâîéñòâ÷èñëîâûõ ðÿäîâ è íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.4) D(ξ1 + ξ2 ) = M(ξ1 + ξ2 − M(ξ1 + ξ2 ))2 = M ((ξ1 − Mξ1 ) + (ξ2 − Mξ2 ))2 = Dξ1 +Dξ2 + 2M(ξ1 − Mξ1 )(ξ2 − Mξ2 ).

Åñëè ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû, òî M ((ξ1 − Mξ1 )(ξ2 − Mξ2 )) =(Mξ1 − Mξ1 )(Mξ2 − Mξ2 ) = 0 ⇒ D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 . Ïðèìåðû:1) Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå : µn = ξ1 + . . . + ξn , ξi èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñïàðàìåòðîì p; òîãäà Dξi = Mξi2 −(Mξi )2 = p−p2 ⇒ (ξi íåçàâèñèìû) Dµn = n(p−p2 ) = npq .2)Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà: Mξ 2 − Mξ = M(ξ(ξ − 1)) =+∞Pm(m − 1) ·m=0λm −λe = λ2 ·m!λm−2· e−λ = λ2 ⇒ Mξ 2 = λ2 + λ ⇒ Dξ = λ (ïîä −2! ïîíèìàåòñÿ 2, ïîä −1! (−1)).m=2 (m − 2)!3) Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå : µn = ξ1 + . . .

+ ξn , ξi ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 1 ïðè èçâëå÷åíèè áåëîãî øàðà è 0 ïðè èçâëå÷åíèè ÷¼ðíîãî, òîåñòü!2nn1, MXXXMMNξi =Mξk2 +Mξk ξl = n +ξk=; Mµn = n ; Mµ2n = MNNk=1k=1k6=l0, 1 − MN+∞P2M (M − 1)MM (M − 1)22M2+n(n − 1); Dµn = Mµn − (Mµn ) = n + n(n − 1)−n 2 =N (N − 1)NN (N − 1)N2M N (N − 1) + M N (M − 1)(n − 1) − nM (N − 1)MM N −n=n ·1−=n.NN (N − 1)NN N −14)Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåZbDξ =)2(x − a+b12dx =b−a3(b − a):a+bx−23|ba1=3(b − a)(b − a)3 (a − b)3−88=(b − a)2.12a(x−a)21 R−25) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå : Dξ = √(x − a) e 2σ2 dx =2πσ R 2y2√R 2 − y2R − y2σ2σ−+∞y e 2 dy = − √ye 2 |−∞ − e 2 dy = √ · 2π = σ 2 .2π2πRR18x−ay=σσ2=√ ·2πÇàìå÷àíèå: ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ìàò. îæèäàíèå è äèñïåðñèþ; η =ξ − Mξ√DξM(ξ − Mξ)Mξ − MξD(ξ − Mξ)Dξ√= √= 0, Dη === 1; òàêèì îáðàçîì ïîëóDξDξDξDξ÷èì η öåíòðèðîâàííóþ è íîðìèðîâàííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.⇒ Mη =defÎïðåäåëåíèå: ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà cov(ξ, η) = M ((ξ − Mξ)(η − Mη)) =M(ξη) − Mξ · Mη êîâàðèàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η .Òåîðåìà 3 (ñâîéñòâà êîâàðèàöèè): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà1) cov(ξ, ξ) = Dξ ;2) cov(ξ, η) = cov(η, ξ);3) ∀ C1 , C2 ∈ R cov(C1 ξ, C2 η) = C1 C2 cov(ξ, η);4) ξ è η íåçàâèñèìû; òîãäà cov(ξ, η) = 0 (îáðàòíîå íåâåðíî).4 Âñå ñâîéñòâà ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ êîâàðèàöèè, äèñïåðñèè, ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ñâîéñòâ ìàò.

îæèäàíèÿ.Òåîðåìà 4: ξ1 , . . . ξn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà ∀ c1 , . . . cn ∈ R!nnXXDci ξi =ci cj cov(ξi , ξj ).i=1i,j=14 Ïîêàæåì, ÷òî ðàâåíñòâî âåðíî ïðè n = 2:D(c1 ξ1 + c2 ξ2 ) = M (c1 ξ1 − c1 Mξ1 )2 + (c2 ξ2 − c2 Mξ2 )2 + 2(c1 ξ1 − c1 Mξ1 )(c2 ξ2 − c2 Mξ2 ) == c21 Dξ1 + c22 Dξ2 + 2c1 c2 cov(ξ1 , ξ2 );àíàëîãè÷íî ìîæíî ïî èíäóêöèè ïåðåéòè ê îáùåìó óòâåðæäåíèþ. defcov(ξ, η)DξDηÎïðåäåëåíèå: ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà ρ(ξ, η) = √êîýôôèöèåíòâåëè÷èí ξ è η .Òåîðåìà 5 (ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà1) |ρ(ξ, η)| ≤ 1;2) Åñëè ξ è η íåçàâèñèìû, òî ρ(ξ, η) = 0;3) ∀ c1 , c2 ∈ R, η = c1 ξ + c2 |ρ(ξ, η)| = 1.4 1) ∀ λ ∈ R D(λξ + η) = λ2 Dξ + 2λ cov(ξ, η) + Dη ≥ 0 ⇒ (ðàññìàòðèâàåì√ êàê êâàä2ðàòíûé òð¼õ÷ëåí îòíîñèòåëüíî λ) ⇒ (cov(ξ, η)) − Dξ · Dη ≤ 0 ⇒ | cov(ξ, η)| ≤ Dξ · Dη ⇒|ρ(ξ, η)| ≤ 1.2) Ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 4 òåîðåìû 3.3) Ïóñòü Mξ = a, Dξ = σ 2 ⇒ Mη = c1 a + c2 , Dη= c21 σ 2 , cov(ξ, η) = M(ξ − a)(c1 ξ + c1 σ 2 = 1.

c2 − c1 a − c2 ) = c1 M(ξ − a)2 = c1 σ 2 ⇒ |ρ(ξ, η)| = c1 σ 2 Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëèρ(ξ, η) = 0, è êîððåëèðîâàííûìè â îáðàòíîì ñëó÷àå.Çàìå÷àíèå: äâóìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ, η íåâûðîæäåíî â ñëó÷àå |ρ(ξ, η)| < 1 è âûðîæäåíî ïðè |ρ(ξ, η)| = 1; ïðè ρ = 0 ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûξ1 è ξ2 äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìû.êîððåëÿöèèïîðÿäêà k íàçûâàåòñÿ Mξ k , àáñîëþòíûì ìîkkìåíòîì ïîðÿäêà k : M|ξ| . Öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k : M(ξ − Mξ) , àáñîëþòíûéköåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k : M|ξ − Mξ| .Çàìå÷àíèå: åñëè ñóùåñòâóåò ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , òî ñóùåñòâóþò è âñå ìîìåíòû áîëåå íèçêèõ ïîðÿäêîâ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå:ñìåøàííûì ìîìåíòîì193.5.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òåîðåìà 1 (íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà): ξ ≥ 0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ìàòåìàòè-Mξ÷åñêîå îæèäàíèå; a ≥ 0 ⇒ P {ξ ≥ a} ≤.a4 Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèé ξ .0, x < 0+∞Rϕ(x)dx = 1 ⇒1) Àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ : pξ (x) =0ϕ(x), x ≥ 0,+∞+∞+∞RRRMξ∀ a > 0 Mξ =xϕ(x)dx ≥xϕ(x)dx ≥ a ·ϕ(x)dx = a · P {ξ ≥ a} ⇒ P {ξ ≥ a} ≤.a0aa2) Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ : ïóñòü ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ x1 < x2 < .

. . < xk < . . . ;+∞+∞+∞PPP∀ a > 0 ∃ k ∈ N: xk < a, xk+1 ≥ a. Mξ =xi pi ≥xi pi ≥ a ·pi = a · P {ξ ≥ a} ⇒i=1i=k+1i=k+1MξP {ξ ≥ a} ≤.aÑëåäñòâèå (íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà): ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ äèñïåðñèþ;Dξòîãäà ∀ ε > 0 P {|ξ − Mξ| ≥ ε} ≤ 2 .εDξ4 P {|ξ − Mξ| ≥ ε} = P {|ξ − Mξ|2 ≥ ε2 } ≤ 2 . εÎïðåäåëåíèå: η1 , .

. . ηn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ηk }k∈N ñõîPäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå η (ηn −→ η, n → ∞), åñëè ∀ ε > 0P {|ηn − η| ≥ ε} → 0, n → ∞ (òî åñòü P {|ηn − η| < ε} → 1, n → ∞).Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàòåìàòè÷åñêîå îæènPξk ; ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξk }k∈N ïðèìåíèì çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, åñëèäàíèå; Sn =k=1 P→ 0, n → ∞).∀ ε > 0 P Snn − M Snn ≥ ε → 0, n → ∞ (òî åñòü Snn − M Snn −Òåîðåìà 2 (Ìàðêîâà): ξ1 , .

. . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàò. îæèäàíèå èDSnäèñïåðñèþ. Òîãäà {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë, åñëè 2 → 0, n → ∞ (ânn1 Pñëó÷àå ïîïàðíîé íåêîððåëèðîâàííîñòè ξ äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïðèìåò âèä 2 · Dξk → 0,n k=1n → ∞ ñì. òåîðåìó 4 (3.4)). DSn 4 ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N: ∀ n ≥ N 2 < ε3 , íî, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà,nSn SnD nSn DSnSnSn P∀ n≥N P −M ≥ε ≤< 2 2 <ε⇒−M−→ 0, n → ∞.

nnε2nεnnÒåîðåìà 3 (×åáûøåâà): ξ1 , . . . ξn , . . . ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàò. îæèäàíèå è äèñïåðñèþ; ∃ C ≥ 0: ∀ k ∈ N Dξk ≤ C . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë.n1 PnCC4 2·Dξk ≤ 2 =→ 0, n → ∞, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }k∈N óäîâëåòâîn k=1nnðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ïî òåîðåìå Ìàðêîâà. Òåîðåìà 4 (Áåðíóëëè): ñëó÷àéíûåâåëè÷èíûµn ðàñïðåäåëåíû áèíîìèàëüíî ñ ïàðàn µo nìåòðàìè (n, p); òîãäà ∀ ε > 0 P − p < ε → 1, n → ∞.n0, pnP4 µn =ξi , ξi =⇒ (ïî òåîðåìå ×åáûøåâà) {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåòi=11, q = 1 − p20n µoµnµnµnP nçàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ⇒−M=−p −→ 0, n → ∞ ⇒ P − p < ε → 1,nnnnn → ∞.

Ïðèìåðû:1) Îöåíêà âåðîÿòíîñòè óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè: P {|µn − np| ≥ ε} =npqDµn= 22εε(Mµn = np, Dµn = npq ñì. 3.4).2) Îöåíêà äîëè áðàêà ïî êîíòðîëüíîé âûáîðêå: ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì (áåëûå øàðû áðàêîâàííûå èçäåëèÿ); ïóñòü n ÷èñëî èçäåëèéâ êîíòðîëüíîé âûáîðêå, N îáú¼ì ïàðòèè èçäåëèé, M ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé âîâñåé ïàðòèè, ξ ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé â âûáîðêå.

Òîãäà, ñîãëàñíî 3.4, Mξ1 MM N −nξ=, D= ·1−⇒ (íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà)MnNnn NN N −1ξM M N −n1 M⇒P − ≥δ ≤ 21−.nNnδ NN N −1(1)(m)Òåîðåìà 5 (Ñëóöêîãî áåç äîêàçàòåëüñòâà): g(λ1 , . . . λm ) ∈ C 1 (Rm ); ξn , . . . ξn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ∀ i = 1, mCi , n → ∞. Òîãäàg(C1 , .

. . Cm ), n → ∞.Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; {ξk }k∈N ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ïîðÿäêà r ∈ N ïðè n → ∞, åñëè M((ξn − n)r ) → 0, n → ∞ (â ÷àñòíîñòè, ïðè r = 2 ðåàëèçóåòñÿñõîäèìîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ).(i) Pξn −→(1)(m) Pg(ξn , . . . ξn ) −→Îïðåäåëåíèå: F1 (x), . . .

Fn (x), . . . ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíd→ ξ, n → ∞), åñëèξ1 , . . . ξm , . . . ; {ξk }k∈N ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ (ñëàáî ñõîäèòñÿ : ξn −∀ x ∈ R: F ∈ C(x) ∃ lim Fn (x) = F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ξ .n→∞ξn − A d→ η,−Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; åñëè ∃ B > 0, A : ηn =B2u1 Rxãäå η èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (Fηn (x) → √ · e− 2 du = Φ(x), n →2π −∞∞), òî {ξk }k∈N àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè (A, B).Òåîðåìà 6 (öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , . . .

, ξn , . . . nPîäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; Mξn = a, Dξn = σ 2 ; Sn =ξk . Òîk=1RSn − na√ãäà P<x⇒ Φ(x) (òî åñòü Sn àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìèn→∞√ σ n(na, σ n)).Ñëåäñòâèå: µn ðàñïðåäåëåíà áèíîìèàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (n, p); òîãäà µn = ξ1 +. . .+ξn ,ãäå ξi áåðíóëëèåâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (èíäèêàòîðû). Òîãäà {µn }n∈N àñèìïòîòè÷åñêè√íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè (np, npq), òî åñòü èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû.Òåîðåìà 7 (Ëÿïóíîâà áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , .

. . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìånnnPPPþùèå òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò; Sn =ξk , An =Mξk , Bn2 =Dξk , Cn3 =k=1k=1k=1nPSn − MSn3 Cn√M|ξk − Mξk | ;→ 0, n → ∞; òîãäà P< x → Φ(x), n → ∞.BnDSnk=1Òåîðåìà 8 (ñõîäèìîñòè áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , . . . ξn , . . . ; η1 , .

. . ηn , . . . ñëó÷àéíûåξnP(1)(2)(3).âåëè÷èíû; Fξn → F, n → ∞; ηn −→ C, n → ∞. Jn = ξn + ηn , Jn = ξn ηn , Jn =ηnxÒîãäà FJ (1) → F (x − C), n → ∞; FJ (2) → F (xC), n → ∞; FJ (3) → F, n → ∞ (äâànnnCïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèÿ âåðíû òîëüêî ïðè C > 0).214.4.1.Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.Âûáîðêè è èõ ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.Îïðåäåëåíèå: x1 , . . . xn îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè-÷èíû; íàáîð ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé (x1 , .

. . xn ) íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé îáú¼ìà n è îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàòû n îäèíàêîâûõ, íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ýëåìåíòûâûáîðêè ìîãóò áûòü ïåðåñòàâëåíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èòñÿµn (x)(1)íàçûâàåòñÿ ýìâàðèàöèîííûé ðÿä (x, . . . x(n) ), x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) .

Fbn (x) =nïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ãäå µn (x) ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ìåíüøèõ x.bn (x) − F (x)| ≥ ε} = 0, ãäå F (x) ôóíêöèÿÒåîðåìà 1: ∀ x ∈ R, ∀ ε > 0 lim P {|Fn→∞Pcn (x) èðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí xi (òî åñòü Fbn −→ F, n → ∞) (â äàííîì ñëó÷àå FF (x) ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñëó÷àíûå âåëè÷èíû).4 Ïðè ôèêñèðîâàííîì x ∈ R µn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïàðàìåòðàìèon µ n(n, p) (p = P {xk < x} = F (x)), ïîýòîìó, ïî òåîðåìå Áåðíóëëè, P − F (x) < ε → 1,nPcn −n→∞⇒F→ F, n → ∞.

Çàìå÷àíèå: âûáðàâ {zi }r+1i=0 ∈ R: − ∞ = z0 < z1 < . . . < zr < zr+1 = +∞ èbbpbk = Fn (zk+1 ) − Fn (zk ) (k = 0, r), ìîæíî ïîñòðîèòü ïðÿìîóãîëüíèêè ñ îñíîâàíèÿìè íàîòðåçêàõ [zk , zk+1 ] è âûñîòîé pbk ; ýòè ïðÿìîóãîëüíèêè ñîñòàâëÿþò ãèñòîãðàììó ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è íà ðèñóíêå çàêðàøåíû; ëèíèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû ñòîðîí ýòèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, îïèñûâàåò ïîëèãîí ÷àñòîò, è áëèçêà êãðàôèêó p(x) ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå: ÷èñëà aν =n1 P·xν íàçûâàþòñÿn k=1 k, à mν =âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìènn1 P1 P· (xk − x̄)ν öåíòðàëüíûìè âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè (x̄ = a1 = · xk ).

Характеристики

Список файлов лекций