Лекции (1115344), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Î÷åâèäíî, ÷òîZx Z+∞Z pξ1 ξ2 (u, v)dv  du ⇒ pξ1 (x1 ) = pξ1 ξ2 (x, v)dv.Fξ1 (x) =−∞−∞RÀíàëîãè÷íî â n-ìåðíîì ñëó÷àå ìàðãèíàëüíûå ïëîòíîñòè ïîëó÷àþòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïîn − 1 ïåðåìåííûì.Ïðèìåðû ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé:1)Ðàâíîìåðíîå äâóìåðíîå2)Äâóìåðíîå íîðìàëüíîå0, (x, y) 6∈ Díà îáëàñòè D: pξ1 ξ2 (x, y) = 1 , (x, y) ∈ D.S(D)ñ ïàðàìåòðàìè (a1 , a2 , σ1 , σ2 , ρ):1(x − a1 )22ρ(x − a1 )(y − a2 )(y − a2 )2ppξ1 ξ2 (x, y) =exp − 2+− 2.2σ1 (1 − ρ2 )σ1 σ2 (1 − ρ2 )2σ2 (1 − ρ2 )2πσ1 σ2 1 − ρ2Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ρ èìååò ñìûñë êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ξ1 è ξ2 (ñì.

3.4), à(x − a1 )21(y − a2 )21pξ1 (x) = √exp −, pξ2 (y) = √exp −.2σ122σ222πσ12πσ2Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . ξn, åñëè1) Fξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ) âî âñåõ òî÷êàõ (x1 , . . . xn ), â êîòîðûõ ýòèôóíêöèè îïðåäåëåíû.13íåçàâèñèìû2) ∀ B1 , . . .

Bn ∈ B(R) P {ξ1 ∈ B1 , . . . ξn ∈ Bn } = P {ξ1 ∈ B1 } · . . . · P {ξn ∈ Bn }.Çàìå÷àíèå: ïî òåîðåìå 1 (3.1) äàííûå îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòû; îòìåòèì òàêæå, ÷òîíà íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â ñîâîêóïíîñòè íàêëàäûâàåòñÿ ìåíüøåå ÷èñëî óñëîâèé, ÷åì íà íåçàâèñèìîñòü â ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèé.

Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñîâìåñòíàÿôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîçâîëÿåò çàäàòü ñîâìåñòíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìåíüøåãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à òàêæå ìàðãèíàëüíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Òåîðåìà 2 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , . . . ξn ) ðàñïðåäåë¼í äèñêðåòíî; òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ξ1 , . . .

ξn áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî P {ξ1 =x1 , . . . ξn = xn } = P {ξ1 = x1 } · . . . · P {ξn = xn } ∀ (x1 , . . . xn ) ∈ Rn .Ñëåäñòâèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäíà èç êîòîðûõ èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå,íåçàâèñèìû (ðàâåíñòâî, çàäàííîå â óñëîâèè òåîðåìû, âûïîëíÿåòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ R2 ).Òåîðåìà 3 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , .

. . ξn ) ðàñïðåäåë¼í àáñîëþòíîíåïðåðûâíî; òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ξ1 , . . . ξn áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íîpξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) = pξ1 (x1 ) · . . . · pξn (xn ) âî âñåõ òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ýòèõ ïëîòíîñòåé.3.3.Ôóíêöèè îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Îïðåäåëåíèå: g : Rn → Rm áîðåëåâñêàÿ, åñëè ∀ B ∈ B(Rm ) g −1 (B) ∈ B(Rn ).Òàêèì îáðàçîì, åñëè ξ ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî η = g(ξ) òàêæå ñëó÷àéíûé âåêòîð.→−Ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: ïóñòü ξ ñëó÷àéíûé âåêòîð,→−→g : Rn → Rn áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ, −η = g( ξ ); òîãäà ∀ B ∈ B(Rn )Z−1P {η ∈ B} = P {ξ ∈ g (B)} =ôóíêöèÿpξ (x)dx = (çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå) =g −1 (B)Z=pξ (g (y))|J(g (y))| dy, ãäå J = det−1−1−1B∂gi∂xjn.i,j=1Ïðèìåð (ðàñïðåäåëåíèå χ2 ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû): ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðå-äåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðìåòðàìè (0,1); òîãäà η = ξ 2 èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñîäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû.

Íàéä¼ì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ η .√√2P {ξ < y}, y > 0P {− y < ξ < y}, y > 0Fη (y) = P {η < y} ===0, y ≤ 00, y ≤ 0√rR y − x22√ √1e 2 dx, y > 0Φ0 ( y), y > 0√2ππ==− y0, y ≤ 0,0, y ≤ 0yZy √ 1 e− 2 , y > 0x22πyãäå Φ0 (y) = e− 2 dx ⇒ pη (y) =0, y ≤ 0.0(i)(i)Òåîðåìà 1 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . ξni (i = 1, m) íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ϕi : Rni → R áîðåëåâñêèå ôóíêöèè; òîãäà ñëó÷àéíûå(i)(i)âåëè÷èíû ηi = ϕi (ξ1 , . .

. ξni ) òàêæå íåçàâèñèìû.14Òåîðåìà 2 (ôîðìóëà êîìïîçèöèè (ñâ¼ðòêè)): ξ, η íåçàâèñèìûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,Rðàñïðåäåë¼ííûå àáñîëþòíî íåïðåðûâíî; τ = ξ + η ⇒ pτ (z) = pξ (u)pη (z − u)du.RZz−uZZ4 Fτ (z) = Fξ+η (z) =pξη (u, v)dudv ==−∞dv−∞u+v<zZzZ+∞pξη (u, v)du =u=uv =w−u=−∞ +∞ZZzZ+∞ pξη (u, w − u)du dw =pτ (w)dw ⇒ pτ (z) =pξη (u, z − u)du =−∞−∞−∞Z+∞= (ξ, η íåçàâèñèìû) =pξ (u)pη (z − u)du. −∞Ñëåäñòâèå: ξ, η ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (a1 , σ1 ), (a2 , σ2 ) ñîîòâåòñòâåííî; pòîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ = ξ + η ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè(a1 + a2 , σ12 + σ22 ).Z11 (x − a1 )2 (z − x − a2 )24 Ïî ôîðìóëå êîìïîçèöèè pτ (z) =dx =+exp −2πσ1 σ22σ12σ22RZu = z − a1 − a211 v 2 (u − v)2==exp −+dv =v = x − a12πσ1 σ22 σ12σ22RZ221+σ1u2σ12u2σ12u21σ212exp −− 2uv · 2 + 2 · 2−·+=v ·dv =2πσ1 σ22σ12 σ22σ2 σ2 σ1 + σ22 σ22 σ12 + σ22 σ22R!2pZ2222σ1 + σ211uσuσ1 dv =p 1exp − −v·=+1−222πσ1 σ22σ1 σ2σ2σ1 + σ22σ2 σ12 + σ22R!ppu2−σ12 + σ22σ12 + σ22uσ112 +σ 2 )2(σ12 ·− p 2=·e= t=v·, |J| =σ1 σ2σ1 σ22πσ1 σ2σ2 σ1 + σ22Z √Z(z−a1 −a2 )222tt−1σ1 σ21122−−·√· e 2(σ1 +σ2 )2π · p 2e 2 dt = √e 2 dt = 1 = p2222π2π2π(σ1 + σ2 )σ1 + σ2RRp íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a1 + a2 , σ12 + σ22 ).

Ïðèìåð: ξ, η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (0, σ), à η ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [− h2 , h2 ]. Íàéä¼ì Pτ (x), ãäå τ = ξ + η . 1 , x ∈ [− h , h ]2x1− 22 22σepξ (x) = √, pη (x) = h⇒2πσh h0, x 6∈ [− 2 , 2 ]x+Z⇒ pτ (x) =x−h21√h 2πσt2− 22σedt=1hΦ0x+σh2!− Φ0x−σh2!!.h2Çàìå÷àíèå: íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ôóíêöèîíàëüíî;íàïðèìåð, â ñëó÷àå âûðîæäåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ξ â òî÷êå x = 1, η = ξ 2 èìååò òàêîå æåðàñïðåäåëåíèå, à êîíñòàíòû íåçàâèñèìû (ñì. 3.2, ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2).15→−→Îïðåäåëåíèå: ξ = (ξ1 , .

. . ξn ), −η = (η1 , . . . ηm ) ñëó÷àéíûå âåêòîðà; Dξ ⊂ Rn , P {ξ ∈Dξ } > 0; òîãäàF (y1 , . . . ym ) = P {η1 < y1 , . . . ηm < ym |ξ ∈ Dξ } =P {η1 < y1 , . . . ηm < ym , ξ ∈ Dξ }P {ξ ∈ Dξ }ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η .Åñëè ξ è η ðàñïðåäåëåíû äèñêðåòíî, òî ìîæíî îáîçíà÷èòü P {ξ = xk , η = ym } = pkm ;Ppkm âåðîÿòíîñòü äëÿ η ïðèòîãäà P {ξ = xk } =pkm = pk ⇒ P {η = ym |ξ = xk } =pkmôèêñèðîâàííîì ξ .Åñëè ξ è η ðàñïðåäåëåíû àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òîóñëîâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿRy x+hRP {η < y|x ≤ ξ < x + h} =−∞ xx+hRxôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ3.4.η +∞RRypξη (u, v)dudv−−→h→0pξη (u, v)dv dupξη (x, v)dv−∞pξ (x)= P {η < y|ξ = x}−∞ïðè ôèêñèðîâàííîìξ.×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.x1 . .

. xn . . .Îïðåäåëåíèå: ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ äèñêðåòíî, òîp1 . . . pn . . .Pxk pk ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξ (ñóùåñòâóåò, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèéãäà Mξ =kðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî); åñëè ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ àáñîëþòíî íåïðå+∞Rðûâíî, òî Mξ =xpξ (x)dx (ñóùåñòâóåò, åñëè ñîîòâåòñòóþùèé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë−∞ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî). Åñëè æå ðÿä (èíòåãðàë) ñõîäèòñÿ óñëîâíî èëè ðàñõîäèòñÿ, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξ íå ñóùåñòâóåò.→−Îïðåäåëåíèå: ξ = (ξ1 , . . . ξn ) ñëó÷àéíûé âåêòîð; g : Rn → R áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ;def Pη = g(ξ). Åñëè ξ ðàñïðåäåëåíà äèñêðåòíî ïî âåêòîðàì x1 , . .

. xn , . . ., òî Mη =g(xk )pk ;kdef Råñëè ξ ðàñïðåäåëåíà àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî Mη =g(x1 , . . . xn )pξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) ·Rn·dx1 . . . dxn (äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ξ ðÿä (èíòåãðàë) äîëæåí ñõîäèòüñÿ àáñîëþòíî).Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæäèàíèÿ): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàòåìàòè÷åñêîå îæäèàíèå; òîãäà1) ∀ C ∈ R M(Cξ) = C · Mξ ;2) ∀ C ∈ R MC = C ;3) Mξ ≤ M|ξ|;4) M(ξ + η) = Mξ + Mη ;5) Åñëè ξ è η íåçàâèñèìû, òî M(ξη) = Mξ · Mη .4 Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ 1-3 ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ðÿäîâ è íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.ZZZ4) M(ξ + η) = (x + y)pξη (x, y)dxdy = xpξη (x, y)dxdy + ypξη (x, y)dxdy =R2R216R2ypη (y)dy = Mξ + Mη;xpξ (x)dx +RR5) M(ξη) =RRZZ=pξη (x, y)dx dy =ypξη (x, y)dy  dx +RRZZZx=ZZZZR2ypη (y)dy = Mξ · Mη.xpξ (x)dx ·xypξη (x, y)dxdy =RR(pξη (x, y) = pξ (x) · pη (y)) .Çàìå÷àíèå: åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå η = ξ1 +.

. . + ξn (ãäå ξi íåçàâèñèìû, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è íàçûâàþòñÿ èíäèêàòîðàìè ), òînPMη = Mξi .i=1Ïðèìåðû:1) Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå : µn ðàñïðåäåëåíà áèíîìèàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (n, p);òîãäà µn = ξ1 + . . . + ξn , ãäå ξi èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p; òîãäà èççàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Mµn = np.2) Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå :kpk = pq ⇒ Mξ =∞Xkkpq = pqk=1∞Xkqk−1= pq∞Xk=1k=1!0qk= pqq1−q0q= .p3) Ðàñïðåäåëåíèå Ïàñêàëÿ : µn = ξ1 +. . .+ξn+k , ãäå èíäèêàòîðû ξi èìåþò ãåîìåòðè÷åñêîån+kPqðàñïðåäåëåíèå; òîãäà èç çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Mµn =Mξi = (n + k).pi=14) Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå : µn = ξ1 + . . . + ξn , ãäå ξi ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1M; òîãäàïðè âûòàñêèâàíèè áåëîãî øàðà è çíà÷åíèå 0 ïðè âûòàñêèâàíèè ÷¼ðíîãî.

Mξi =NnMMµn =.N+∞P λk−1λk e−λ5) Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà : pk =⇒ Mξ = λe−λ ·= λ · e−λ · eλ = λ.k!(k−1)!k=1Rb xdx(b2 − a2 )a+b6) Ðàâíîìåðíîå ðàñðåäåëåíèå : Mξ ===.2(b − a)2a b−a7) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå :ZZ1(x − a)211(x − a)2Mξ = √x exp −dx = √·exp −d(x − a)2 +2σ 22σ 22πσ2πσ 2RRZ2a(x − a)+√· exp −dx = 0 + a · 1 = a.2σ 22πσR8)Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå: Mξ =+∞R0xαe−αx dx = −xe−αx |+∞+0+∞R0e−αx dx =1.α1 11 R |x|dx9) Ðàñïðåäåëåíèå Êîøè : pξ (x) =⇒ ðàñõîäèòñÿ, òî åñòü ìàòåìàòè2π1+xπ R 1 + x2÷åñêîå îæèäàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè íå ñóùåñòâóåò.17Îïðåäåëåíèå: ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ äèñêðåòíî è èìåþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå; òîãäà Dξ = M ((ξ − Mξ)2 ) = Mξ 2 − (Mξ)2 íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé√ξ , à Dξ ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì ξ (îïðåäåëåíû òîëüêî â òîì ñëó÷àå,êîãäà ñóùåñòâóåò M(ξ − Mξ)2 .

Характеристики

Список файлов лекций