Лекции (1115344), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé (AB )íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëè îáà ñîáûòèÿ è A, è B . Ðàçíîñòüþñîáûòèé (A\B ) íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî A ïðîèçîøëî, à B íåò. Ñîáûòèåì, îáðàòíûì ê SA (A) íàçûâàåòñÿT ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî A íå ïðîèçîøëî.Î÷åâèäíî, A + B = A B, AB = A B .Îïðåäåëåíèå: F σ -àëãåáðà ñîáûòèé. P :F −→ R íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé(èëè ïðîñòî âåðîÿòíîñòüþ ), åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì (àêñèîìû âåðîÿòíîñòè): ∀ Ai ∈ F (i ∈ N)1) P (Ai ) ≥ 0,2) P (Ω) = 1,∞∞PPP3) Åñëè Ai Aj = ∅ ∀ i, j ∈ N (i 6= j), òî PAn =P (Ai ) (çäåñüïîíèìàåòñÿ êàêÎïðåäåëåíèå:ñëó÷àéíîå ñîáûòèå÷èñëîâîé ðÿä, ñõîÿäùèéñÿ àáñîëþòíî).Îïðåäåëåíèå:n=1n=1âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîìíàçûâàåòñÿ íàáîð (Ω, F, P ), îïèñûâà-þùèé äàííîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå.Çàìå÷àíèå: òðåòüÿ àêñèîìà âåðîÿòíîñòè (àêñèîìà σ -àääèòèâíîñòè) ìîæåò áûòü çàìåíåíà íà äâå àêñèîìû êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè è íåïðåðûâíîñòè : ∀ A, B ∈ FQ: AB = ∅P (A + B) = P (A) + P (B); ∀ A1 , .
. . An , . . . ∈ F: A1 ⊇ A2 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . . ,An = ∅n∈Nlim P (An ) = 0.n→∞∞∞PQAn = ∅. An =Ak Ak+1 + Ak ; òîãäà, ïî àêñèîn∈Nk=n ∞ k=n∞∞PPQAk =P Ak Ak+1 → 0, n → ∞ìå σ -àääèòèâíîñòè, P (An ) =P Ak Ak+1 + P4 ⇒. Ïóñòü A1 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . . ,k=n∞P(êàê îñòàòîê ñõîÿäùåãîñÿ ðÿäàQk=nk=nP Ak Ak+1 = P (A1 )).k=1⇐. Ïóñòü A1 , . . . An , . . . ∈ F; Ai Aj = ∅ ∀ i, j ∈ N (i 6= j); A =∞Pn=1An , Bn =∞PAk ⇒k=nBn+1 ⊆ Bn .
Åñëè íàñòóïèëî Bòî íàñòóïèëîòîëüêî îäíî èç Ak (k ≥ n) − Am , òî åñòün , ∞nPQ∀ l > m Al íå íàñòóïèëî ⇒ P= 0 ⇒ P (Bn ) → 0, n → ∞; íî P (A) =Ak + Bn+1 ,k=m+1k=1∞∞PPïîýòîìó, â ïðåäåëå ïðè n → ∞, P (A) = P=P (Ak ). k=15k=1Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè): ∀ A, B ∈ F1) B ⊆ A ⇒ P (B) ≤ P (A), P (A\B) = P (A) − P (B);2) 0 ≤ P (A) ≤ 1;3) P (A) = 1 − P (A);4) P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).4 1) A = AB + B, (AB)B = ∅ ⇒ P (A) = P (A\B) + P (B) ⇒ P (A) ≥ P (B), P (A\B) == P (A) − P (B).2) ∀ A ∈ F A ⊆ Ω ⇒ P (A) ≤ P (Ω) = 1.3) A + A = Ω ⇒ P (A) + P (A) = P (Ω) = 1 ⇒ P (A) = 1 − P (A).4) A + B = AB + BA + AB ⇒ P (A + B) = P (A) − P (AB) + P (B) − P (AB) + P (AB) == P (A) + P (B) − P (AB). Çàìå÷àíèå: äàííûå àêñèîìû áûëè ââåäåíû À. Í.
Êîëìîãîðîâûì (ïîýòîìó èõ ÷àñòîíàçûâàþò àêñèîìàìè Êîëìîãîðîâà); ñèñòåìà ýòèõ àêñèîì íåïðîòèâîðå÷èâà (òî åñòü ñóùåñòâóþò ôóíêöèè, åé óäîâëåòâîðÿþùèå) è íåïîëíà (òî åñòü íå çàäà¼ò âåðîÿòíîñòíóþ ìåðóîäíîçíà÷íî).2.2.Âåðîÿòíîñòü â äèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.Îïðåäåëåíèå: ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâäèñêðåòíî, åñëè îíî êîíå÷íî èëèñ÷¼òíî; â ýòîì ñëó÷àå F âûáèðàåòñÿ êàê 2 .Îïðåäåëåíèå: Ω äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ; òîãäà P : Ω → RPíàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé (âåðîÿòíîñòüþ ), åñëè ∀ ω ∈ Ω P (ω) ≥ 0,P (ω) = 1.ω∈ΩPP ýòîì ñëó÷àå ∀ A ∈ F P (A) =P (ω) (âñåïîíèìàþòñÿ êàê êîíå÷íûå ñóììû èëèΩω∈Añõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû).Òåîðåìà 1 (òåîðåìà ñëîæåíèÿ): Ω äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ;∀ A, B ∈ F: AB = ∅ PP (A + B) =PP (A) + P (B)P.4 P (A + B) =P (ω) =P (ω) +P (ω) = P (A) + P (B).
ω∈A+Bω∈Aω∈BÑëåäñòâèå: ∀ A, B ∈ F P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB); P (A + B) ≤ P (A) + P (B).PPP (ω) +P (ω) +4 A + B = AB + BA + AB ⇒ P (A + B) =ωω∈B,ω6∈Aωω∈A,ω6∈BPPPP+P (ω) =P (ω) +P (ω) −P (ω) = P (A) + P (B) − P (AB). Ðÿäû:ω : ω∈A, ω∈Bω∈Aω∈B:ω : ω∈A, ω∈Bñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, ïîýòîìó ïåðåñòàíîâêè íå èçìåíÿþò èõ ñóììû (ñì.
ìàòåìàòè÷åñêèéàíàëèç, 5.1.4). Òåîðåìà 2 (îáîáù¼ííàÿ òåîðåìà ñëîæåíèÿ): Ω äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâîýëåìåí nnPPòàðíûõ èñõîäîâ; ∀ A1 , . . . An ∈ F: Ai Aj = ∅ ∀ i, j = 1, n (i 6= j) PAk =P (Ak ).k=1k=1 nnPPPÑëåäñòâèå: ∀ A1 , . . . An ∈ FPAk=P (Ak ) −P (Ai1 Ai2 ) +1≤i1 <i2 ≤nk=1k=1 nnPPP+P (Ai1 Ai2 Ai3 ) − . . . + (−1)n+1 P (A1 . . . An ); PAk ≤P (Ak ) (î÷åâèäíî,1≤i1 <i2 <i3 ≤nP (Ai1 .
. . Aim ) ≥k=1nPk=1P (Ai1 . . . Aim Ak ) ∀ m = 1, n − 1).k=14 Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî èíäóêöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû 1.Òåîðåìà 3 (σ -àääèòèâíîñòè): Ω äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâîýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ;∞∞PP∀ A1 , . . . An , . . . ∈ F: Ai Aj = ∅ ∀ i, j = 1, n (i 6= j) PAk =P (Ak ).k=16k=14 P∞Pk=1Ak=∞ PPP (ω) =k=1ω∈Ai÷àñòè÷íàÿ ñóììà îãðàíè÷åíà ñâåðõó∞PP (Ak ). Äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ, òàê êàê ëþáàÿ åãîk=1PP (ω) = 1. ω∈Ω2.3.Ïðèìåðû çàäàíèÿ âåðîÿòíîñòè.Îïðåäåëåíèå: Ω êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîùíîñòè n; òîãäà ∀ A ⊆ Ω P (A) =.Îïðåäåëåíèå: Ω èçìåðèìàÿ ïî Æîðäàíó (ñì.
ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, 4.1.1) îáëàñòün: ãåîìåòðèR ; äëÿ ëþáîãî A èçìåðèìîãî ïî Æîðäàíó ïîäìíîæåñòâà Ω P (A) = µ(A)µ(Ω)÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü (ýëåìåíòàðíûì èñõîäîì ÿâëÿåòñÿ ïîïàäàíèå â êîíêðåòíóþ òî÷êó Ω).Anêëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòèÇàìå÷àíèå: î÷åâèäíî, ÷òî âûáîð âåðîÿòíîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ ñõåì èìååò ñìûñëòîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå ýëåìåíòàðíûå èñõîäû ðàâíîâåðîÿòíû.Ïðèìåð (ïàðàäîêñ Áåðòðàíà): òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ õîðäà, ïðîâåä¼ííàÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì â îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà, ïðåâûñèò ïî äëèíå√ñòîðîíó âïèñàííîãî â ýòó îêðóæíîñòü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà (òî åñòü ïðåâûñèò 3). äàííîì ñëó÷àå åñòü ïî êðàéíåé ìåðå òðè ñïîñîáà ïîäñ÷¼òà ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè:1) Ïðîâåä¼ì äèàìåòð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê õîðäå, è ïîäñ÷èòàåì âåðîÿòíîñòü, êàê îòíîøåíèå äëèíû "öåíòðàëüíîãî ó÷àñòêà"(òîãî, ÷åðåç êîòîðûé1√+ 1212= .ïðîõîäÿò õîðäû äëèííåå 3) ê öåëîìó äèàìåòðó.
P =222) Ðàññìîòðèìõîðäîé è êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè √ óãîë ϕ ìåæäóõîðäà áîëüøå 3, åñëè 600 < ϕ < 1200 (òî åñòü õîðäà ëåæèò âíóòðè âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà). Òàêèì îáðàçîì,1120 − 60= .P =180 − 033) Õîðäà ïðåâûñèò ïî äëèíå ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëèîíà ïåðåñå÷¼ò îêðóæíîñòü, âïèñàííóþ â ýòîò òðåóãîëüíèê, òî åñòü âåðîÿòíîñòü ðàññ÷èòûâàåòñÿ êàê îòíîøåíèå ïëîùàäåé âïèñàííîé è îïèñàííîé2π( 1 )îêðóæíîñòåé: P = π122 = 41 .Òàêèì îáðàçîì, âûáîð âåðîÿòíîñòè íåîäíîçíà÷åí.2.4.Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü.Îïðåäåëåíèå: A, B ∈ F, P (B) > 0; òîãäàP (AB).P (B)óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþñîáûòèÿ A ïðèóñëîâèè B íàçûâàåòñÿ PB (A) = P (A|B) =Òåîðåìà 1 (òåîðåìà óìíîæåíèÿ): A, B ∈ F; P (A), P (B) > 0; òîãäà P (AB) = P (A|B) ··P (B) = P (B|A)P (A).4 Íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè.Ñëåäñòâèå (îáîáù¼ííàÿ òåîðåìà óìíîæåíèÿ): A1 , .
. . An ∈ F; ∀ k = 1, n − 1P (A1 . . . Ak ) > 0; òîãäà P (A1 . . . An ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) · . . . · P (An |A1 . . . An−1 ).4 Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî èíäóêöèè, èñõîäÿ èç òåîðåìû.Îïðåäåëåíèå: A, B ∈ F; ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, åñëè P (AB) = P (A)P (B).Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àå P (A), P (B) > 0 ýòî îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî P (A|B) = P (A),P (B|A) = P (B).Îïðåäåëåíèå: A1 , . . . An ∈ F (n ≥ 3); ñîáûòèÿ A1 , . . . An íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè,åñëè ∀ k = 2, n, i1 , . .
. ik : 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n P (Ai1 . . . Aik ) = P (Ai1 ) . . . P (Aik ).7Çàìå÷àíèå: äàííîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ øèðå ðåàëüíîé íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé, ïîýòîìó èíîãäà âîïðîñ î íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ðåøàþòíå ìàòåìàòè÷åñêè, à ïî ðåçóëüòàòàì ýêñïåðèìåíòà.Ïðèìåð (Áåðíøòåéíà): ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò èõíåçàâèñèìîñòü â ñîâîêóïíîñòè; ðàññìîòðèì ïðàâèëüíûé òåòðàýäð, òðè ãðàíè êîòîðîãîîêðàøåíû, ñîîòâåòñòâåííî, â êðàñíûé, çåë¼íûé è ñèíèé öâåòà, à ÷åòâ¼ðòàÿ âî âñå òðèöâåòà îäíîâðåìåííî (íàïðèìåð, ãðàíü ðàçáèòà íà òðè ÷àñòè, îêðàøåííûå â ðàçíûå öâåòà).Ñîáûòèå 1 çàêëþ÷àåòñÿ â âûïàäåíèè ãðàíè, íà êîòîðîé èìååòñÿ êðàñíûé öâåò, ñîáûòèå 2 çåë¼íûé öâåò, ñîáûòèå 3 ñèíèé öâåò.
Òîãäà, ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè, P1 = P2 = P3 = 24 = 21 , P12 = P13 = P23 = 14 = P1 P2 , îäíàêî P123 = 41 6= P1 P2 P3 .Îïðåäåëåíèå: H1 , . . . Hn ∈ Ω îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé, åñëènSHi = Ω; Hi 6= ∅;i=1Hi Hj = ∅ ∀ i, j = 1, n : i 6= j .Òåîðåìà 2 (ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè): H1 , . . . Hn ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé; òîãäànP∀ A ∈ F P (A) = P (A|Hi )P (Hi ).i=1S SS ST4 A = AΩ = A(H1 .
. . Hn ) = AH1 . . . AHn ⇒ (AHi AHj 6= ∅ ∀ i, j = 1, n :nnPPi 6= j) P (A) = P (AHi ) = (òåîðåìà 1) = P (A|Hi )P (Hi ). i=1i=1Çàìå÷àíèå: òåîðåìà âåðíà òàêæå äëÿ ñëó÷àåâ Ω =A ⊆ (H1S...S∞SHn , à òàêæå â ñëó÷àåi=1H n ) ⊂ Ω.Òåîðåìà 3 (ôîðìóëà Áàéåñà): H1 , . .
. Hn ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé; òîãäà ∀ A ∈ F,P (AHk )P (A|Hk )P (Hk )= P.nP (A)P (A|Hi )P (Hi )∀ k = 1, n P (Hk |A) =i=14 Ôîðìóëà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òåîðåì 1 è 2.2.5.Ñõåìà Áåðíóëëè.íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n îäèíàêîâûõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, èìåþùèõ 2 âîçìîæíûõ íåñîâìåñòíûõ èñõîäà, äîñòèãàåìûõ ñ âåðîÿòíîñòÿìè p(n) (óñïåõ) è q(n) = 1 − p(n) (íåóñïåõ).Îïðåäåëåíèå: ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìîé íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n îäèíàêîâûõíåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé,P èìåþùèõ m íåñîâìåñòíûõ èñõîäîâ, äîñòèãàåìûõ ñ âåðîÿòíîñòÿìè p1 (n), .
. . pm (n) :pi (n) = 1. Î÷åâèäíî, ÷òî ñõåìà Áåðíóëëè ÿâëÿåòñÿ áèíîìèàëüíîéÎïðåäåëåíèå:ñõåìîé Áåðíóëëèi ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìû. Ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ äëÿïîëèíîìèàëüíîé ñõåìû ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ äëèíû n (÷èñëî èñïûòàíèé),êîìïîíåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî m, ñîîòâåòñòâóþùèå òîìóèëè èíîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó.Òåîðåìà 1: åñëè µn - ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, ñîñòîÿùåé èç n èñïûòàíèé, òîPn (m) = P {µn = m} = Cnm pm q n−m .4 ×èñëî óñïåõîâ îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì åäèíèö â äâîè÷íîì âåêòîðå äëèíû n, îïèñûâàþùåì äàííûé ðåçóëüòàò; âåðîÿòíîñòü íàëè÷èÿ m åäèíèö ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ måäèíèö è n − m íóëåé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî m.
Ñëåäñòâèå: åñëè µi ÷èñëî âûïàäåíèé i-ãî èñõîäà â ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìå, ñîñòîÿùåén!pn1 . . . pnmm .èç n èñïûòàíèé, òî P {µ1 = n1 , . . . µm = nm } =n1 ! . . . nm ! 14 Âåðîÿòíîñòü ðàâíà ÷èñëó ñîîòâåòñòâóþùèõ ñî÷åòàíèé (n1 åäèíèö, n2 äâîåê, . . . nm÷èñåë m ñì. 1.2), óìíîæåííîìó íà âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ni ðàç i-ãî èñõîäà.8Òåîðåìà 2 (Ïóàññîíà): pn âåðîÿòíîñòü óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè, ñîñòîÿùåé èç nèñïûòàíèé; λn = npn → λ > 0, n → ∞; òîãäà äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà m < nλm e−λ, n → ∞.Pn (m) →m!mn−m n(n−1)...(n−m+1) λn mλn n−m=·1−⇒4 Pn (m) = Cnm pm q n−m = Cnm λnn · 1 − λnnm!nnnn(n − 1) . .
. (n − m + 1) 1 − λnnλnλmλm· lim·1·limexpn1−=lim Pn (m) =·=mλn→∞m! n→∞nmm! n→∞n1 − nnλmλm e−λ· lim exp(−λn ) =.m! n→∞m!Çàìå÷àíèå: ýòà òåîðåìà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ïðèáëèæ¼ííîãî âû÷èñëåíèÿ(np)m e−np÷èñëà óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè; ïðè áîëüøèõ n è ìàëûõ p Pn (m) ≈, ïðè÷¼ìm! m m n−m (np)m e−np ≤ np2 .Cn p q−m!Òåîðåìà 3 (ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà áåç äîêàçàòåëüñòâà): pn âåðîÿòíîñòü óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè, ñîñòîÿùåé èç n èñïûòàíèé; pn = p = const; B m − npìíîæåñòâî òàêèõ m, ïðè êîòîðûõ xnm = √ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû ïî n; òîãäànpq1(m − np)21Pn (m) = √· exp −1+O √.2npqn2πnpq=Òåîðåìà 4 (èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà áåç äîêàçàòåëüñòâà): a,bZbu2µn − np1∀ a, b ∈ R P a ≤ √≤ b ⇒ √ · e− 2 du.npqn→∞2πaÑëåäñòâèå:1P {m1 ≤ µn ≤ m2 } ' √2πxm2Z−eu22 du= Φ (xm2 ) − Φ (xm1 ) ,xm1ãäå xmi =mi −np√npq(i = 1, 2); Φ(x) =√12πRxu2e− 2 du òàáëè÷íàÿ âåëè÷èíà.−∞Çàìå÷àíèå: äëÿ ïðèáëèæ¼ííûõ âû÷èñëåíèé ïðè np ≤ 20 èñïîëüçóþò òåîðåìó Ïóàñ-ñîíà è èíòåãðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó Ìóàâðà-Ëàïëàñà ïðè áóëüøèõ çíà÷åíèÿõ np.93.3.1.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Îäíîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.B(R) ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ íàáîð ìíîæåñòâ, ïîëó÷åííûõ ïðèìåíåíèåì êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîå ÷èñëî ðàç òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõîïåðàöèé ê íàáîðó {(−∞, x)}x∈R ; ýëåìåíòû òàêîé àëãåáðû íàçûâàþòñÿ áîðåëåâñêèìè ìíînæåñòâàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
