Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 37
Текст из файла (страница 37)
1 здесь В=(0=(9», 0»): — оо(6» "оо, Оя.» 0). Проверим простую гипотезУ На:О=Во=(8ы. Оя») пРотив альтеРнативы Н».0»~8»а, 6, -6„. Следуя общему принципу, зафиксируем некоторую альтернативу 6, =-(Окь Ом) и построим критерий Неймана — Пирсона проверки гипотезы Н, против этой альтернативы. Здесь . В этих случаях обычно поступают следующим обра- зом: используют статистику Т(Х), с помощ р существует. ом ью кото ой строятся р. н. м. . критерии против односторонних альтернатив Н, и н задают критическую область в виде Х»п = ( ( ) —.- ) () (Т(х)= со",), т.
е. объединяют две соответствующие одиосторонрит ческие области с уровнями значимости а, и а, такими, что а,+со» =а. Таким образом получают критери ' ур значимости а. име е и ове ки Рассмотрим применение этого правила на прим р р р гипотезы Н,: О=В» против альтернативы Н,: 9~9» для нормаль»в (6 о»).
Как отмечено в начале и. 1, р. н. м. кри- иой модели (, о . а нативе Н теряй уровня значимости а» прн левостороннеи альтер 1 задается критической областью Хо», — — ~х: (г'и/о)(Х Во)~ 1»Д~ Ф( (а) =а«, а р. н, м. критерий уровня значимости сс, прн правостороиней альтернативе Н," — критической областью Хфсо = 1Х. ()~П/О)(Х вЂ” ВО) «»ФДАД Ф( ор) =а» И Следовательно, в данной задаче можно использовать любо рлюбой к и- терий вида Х =~х:(3~ и/о)(» Оо) — 1», либо ф и/о)(» Оо) «1«Д> Ь»= Х ° П О о, (4. 35) ад+а» = а.
Интуитивно предпочтителен выбор «симметричиого» критерия, т. е. когда а»=а« =а~2; в этом случае критерий имеет внд Х ' = ~х: ф'и /о) ~ Х вЂ” Во / «(„П), Ф ( — 1«м) = — =а 2. (4. 36) Чтобы исследовать свойства этих критериев и выбрать среди — 4 13) и 4 15 от им ф нкцию мощности Ф'(Хмд 9)= =Ро(ХяХ1„)+Р»(Хаву.,). Из формул ( . и Яг (Хмд 6) =Ф()'и Ыо — 1,„)+Ф( — )/и Ь/о — У„,) =ф(Л), Ь=Π— В. Исследуем мошность как функцию Л.
Ее р Е пе вые две производ- ные соответственно равны ф(й)=о г' з (ехР) 2 (, й (он)1 ехР( х ~ в ~+(~Д »р'(Ь) = — "~,4, — —" Л) ехр ~ — — ~ — Ь вЂ” (о,) ~+ +~ — Ь+(а~)ехр( о ( в й+(~о~) ~~' Отсюда и~ее~, что ф' (Ь) = 0 ~~лько при Ь = Ьо = а ( о, — о„° =а 1 -1 )г(23/ц~». В этом случае »1 'ф"(Ьо)==(1«о+1«,) ехр~ (1а,+(аа) (' во у'З О Г При малых а величлиы 1, и 1,„, положительны, поэтому ф" (Ьо) -» О, т.
е. о» вЂ” точка минимума функции »р(Л). Поскольку Ло= О только при ад=а»=а/2, а»р(0) =Ф( — Юа,)+Ф( — (а,) =а»+а»=а, лишь для «симметричного» критерия (4.36) вйполняется условие %' (Х»„, 6) «а. В остальных случаях (т. е. при а» Ф а») критерий (4.35) при некоторых альтернативах имеет мощность, меньшую а, т. е. является смещенным критерием [см.
условие (4.5)]. Таким образом, среди критериев вида (4.35) только «симметричный» критерий (4.36) — несмещеиный и, следовательно, ему надо отдавать предпочтение. Критерий (4.36) на самом деле обладает наибольшей мощностью среди всех несмещенных критериев уровня значимости а, т. е. является р. н. и. несмещенным критерием. Это утверждение есть следствие приведенной ниже теоремы об общем виде р.
н. м. несмещенного критерия. ~Пусть 6 в интервал действительной оси и Оо — внутренняя точка 9. Пусть, далее, девуствмме распределения абсолютно ие. прерывны и функция правдоподобия Ь (х; 6) имеет во всех внут= ренних точках интервала В производную †' = о.д(х; 6) такую, дс (х; 6) дб что 1А,(х; В) ~ -М(х), где М(х) — интегрируемая функция на Х ! тогда — Е (х; 8) дх = Е, (х; 6) йх для любого подмножества д Г 3: — Х н любого 6), Определим, наконец, множество Х»„=(х: Е(х; 9») «сЕ(х; 6»)+с»А»(х; Во))„ (4.3У) где 6,~ Во и постоянные с«О н с» определяются (по предположению однозначно) из условий Ро.(Х»„) = ~ Е(х; Оо)йх=а, Ро,(Хь») = 11 Е»(х; Оо)дх =0(4.38) 4»о Ао (для краткости здесь и далее пишем Р»(л) вместо более строгой записи Ро(Хая 3), где 3 с: Х). Теорема 4.5.
Если мнозсеспмо Я;„, определенное в (4.37), не зависит от О„то оно задает р. н. ло. нес»«ещенный критерий уровня значилюста а для проверки простой гипо»пезы Но'. 6 =6о против двусторонней альтернативы Н,: О чь Во. П Рассмотрим любой несмещенный критерий Х,„проверки гипотезы 6 =9».1Тах ках В'(Хвй 9,) =а и производная функции мощности по В существует, то йг (Х,„; В,)=О. (4.39) Но Ро,(Х» '~Х»«Х»о) =а — Р»,(Хь»Х»») =Ре,(Х»а'~Х»»Х»о) '(4АО) в силу соотношений (4.39) и (4.38у имеем Ов(Хы ~ Хь»У ь») + ~»а (Х»»Хы) = Оо (ь(Х '~Х„Х )+Ро,(Х Хо)=О, является крнтернй, мзкснмнзмруюшнй 6'" (Ве) — нозффнцнент прн (6 — 6е)з в рзз. ложензи (4,45).
Кзк я при аокзззтельсгзе теоремы 4.5, можно поквзэть что в этом случае оптнмзльнзя нрвтнческзя сблзсгь имеет знд Хга (х; Е.з <х; Ве) ) сг<п (х; Вз) +с<. (х: Ве)), ~4.46) д ГДЕ 1., <Х; 6) — Ьг <ж О) Н КОНСтэптм С Я С, ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ УСЛОВНЗМИ йт пл)=а, дз йг' (Во) =О. Пример 4,6 <нормальнал.1 модель л. и.
л кратерпа длз среднего), Рассмотрим зздзчу проверка гипотезы ЕЕ,~В Вз против зльтернзтнвы Н,;В-,ьб для моделя ыл" (6, оз) Здесь Е.,(х; 0) 1<аз/ол)(д-6)з-л/пз!Е.<к; В), поэтому Е., (х; Вз) л Еа (х; Ве) лз е л Е (х; Вз) оз ' О (х: Ве) ат ее * — (х — 0,), ' —, (2-6,)з- —. Следовзтельно, облезть (4А6) задается условнеч Т' (х) ж д, Т (х)+ д„т <ю =) л(д — 6,)Ео. Чтобы было выполнено условве несмешенностн, зтз облзсть должна быль снмметрвчной (поскольку рзспределеные статистики Т (Х) пря гнпотезе Н, симметрично относительно нуля), что имеет место только прв В, О. Тзкнм обрезом, условве можно переписать в виде ~ Т (х) ) ~д. Наконец, нз уеловня йг <0,) а нзходнм 0 е ~з, где Ф( — <агз) а/2.
Окончательно получаем, что критическая область <4А6) вмеет внд (х|1Т <х) ~~< ), ~ е результат совпздзш с полученным з п. 2. Это ожндземый результат, тзх кэн л. н, и. несмешенный критерий должен совпздзть с р. н. и. несмешенным крятервем, когда наследный сушествует. Рассмотрим снова односторонние вльтернзтявы и прознзлязнруем более подробно условия в (4.46) — <4.47), Нз основзнви определеняя вклада выборкн <Е(Х; 6) (см. (2.15)] вмеем л — — 1п 5 (х, Ве) Т~ — Еп Е (хгг Вз) ЕЕ <х; Ве).
Е.г <х< Ве) д жз д Е.(х: 6) дВ ' 47 дэ ! Кзк поязззно в 1 2.2, аля регулярных моделей 60 ЕЕ <Х; Ве) =О, Пз ЕЕ (Х; Вч) ш (Ве), где Е(0) — функция ннформзцня Фишера. Еслв л веляко, то, по нентрэльыой предельыой теореме. Л„ь(ЕЕ(Х; 0,1)9ПМ<Щ) Е <О, Ц. <4.49) Слеаовзтельно, при большом обьеме выборки л пря вычнсленин грзвнц в (4 46) — (4.47) можно нспользовзть нормзльную эппрохснмзцшэ <4.49) и в (4.46) преблаженно полагать гага<ДГог<йь) з в (4А7) считать Я*а-Ге )' и< <Ве), где Ф( — Г„) а. Таким обрезом, получено обшее решевне зэдзчи построение з. я, м.
односторонвнх крягервев аля больших выборок Прнменян описанный з п. 2 првем обьедннення двух односторонних крыическнх облестей, можно построить в зснмптотическвй двусторонняй крятернй Еег<х; 6,)1нзг )е«<<ай, Ф( — гам) а<2, <4.501 проверка гнпстезы Не 0 Вь протыв зльтернвтнвы Нт ! 6 чьзе. Из свойстве снм. метРнн пРедельного РзспРедызеннЯ ЕЕ(Х; Ве)/)гп зытехзет, что кРнтеРнй (4.50)— несмешенный н не сушествует другого несмещенного крнтерня, который имел бы зснмптотнческн большую мошность.
Таким обрезом критерий (4.50) является зоимптотнческн оптимальным критерием протез локзльвых альтернатив. Построенный прнблнженный критерий <4,50) совпадает с полученным в прнмере 4,0 точным крнтервсм нлс нормальной моделн чьд (6, оз), основанным нз стати- стыке Т (х) )!п (д — Веро, поскольку з этом случае Еl (х< Ве) )Гй Т <х)Ео, з Е(6) 1)оз (см.
табл. 2Л). ПРимеР 4.10 (модель Коши, л. к. л. критерий длл параяеглра), Пусть гре. буетсв проверить гипотезу Не<6 Ве протнв зльтернзтывы Н, ейе 0 длн моделя коши ьь <6). здесь фуякцня вклада я функция лнформацнн соответственно резни <см. пример Гс23,' к лг — В ды 1+<к,— ВР ' Г 1 поэтому прн больших л критическая область крнтеряя зздзется условнзмя 2 )~ 2 ~ч лг — Ве г 1 роверка гипотез н доверительное оценивание.
Ме „у чей проверки простой гипотезы о параметре 6 н построением доверя тельной области для этого параметра имеется тесная связь. Рассмотрим для каждого 6, ~ <д какой-либо критерий Хш =Ххз(де) проверки гипотезы Не<0 =Оо Пусть Хе (Ве) =Хгэ(ВВ) — область принятия Не. Тем самым в выборочном пространстве Х задано семейство подмножеств (Хеа(6), 9 ен9). Определим при каждом х ен Х подмножество,Ф (х) ен 8, положив 3 (х) = (6: х ~ Хе„(6)1. Таким образом, в параметрическом множестве В получаем семей. ство подмножеств (,Р(х), х Вн Х).
Рассмотрим случайное множество р(Х). События (6~3(Х)» н (Х ~Хе„(6)) эквивалентны, так как по построенню каждое из них влечет за собой другое, поэтому их вероятности прн каждом 8 совпадают. Но вероятность второго события равна по построению 1 — а; следовательно, РВ(6 Вн 3(Х)) =Рз(Х ыХз„(0)) =! — а„т, е. З(Х) является (! — а)-доверительной областью для 6 (см. (2.88)!.
Верно н обратное, т. е. если имеется семейство у-доверительных множеств (ат(х), хан Х) для 6, то множество Х,л =(х: Ое ж ен,хт(х)) определяет область принятия гипотезы Н, л0 = Ое с уровнем значимости а=) — у. Таким образом, задача построения доверительного множества для параметра 9 и задача проверки простой гипотезы относительно 9 взаимно обратные: если для некоторой моделн известно решение одной из ннх, то по описанному алгоритму можно получить решение другой. При этом р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
