Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Другими словами, в данной задаче не существует р, н. м. критерия. Однако может оказаться, что критерий Х! (Оо, 6,) не зависит от конкретной альтернативы б,: Х;,(6„0,) = Х!,(Оо). Тогда соответствующая критическая область максимизирует мощность при любой допустимой альтернативе и поэтому Х!„(Ое) является р.
н. м. критерием проверки гипотезы Н;! 0 = Во против альтернативы Н,: 6 ен 6ы Такие случаи уже были рассмотрены в 6 4.2. Так, в примере 4.! построен критерий Неймана — Пирсона для проверки гипотезы Но. 9 = бо относительно неизвестного среднего нормальной модели г'"(О, а'). Было получено, что при альтернативе 6 = О! ) Ве критическая область Х!„, определенная в (4.12), не зависит от Вг, следовательно, этот критерий является одновременно р. н.м. критерием при сложной лравосглоронней альтернативе Нг+! О) 9,. Аналогично, р. н.
м. критерием при левосторонней альтернативе Н,: 0(8о в рассматриваемой модели является критерий (4.14). Таким образом, здесь имеем примеры существования р. н. и, критериев при сложных односторонних альтернативах, Если же рассматривать полный класс альтернатив Н,=: = Н! ЦН;: 6чьбе, то р. н. м. критерия не существует, так как всегда один из диух критериев (4.12) или (4.14) лучше любого другого критерия с тем же уровнем значимости. Аналогичные выводй можно сделать и на основании результатов примера 4.2.
Сформулируем общее достаточное условие существования р. и. м. критерия в случае односторонних альтернатив. Итак, предположим, что параметр б — скалярный и альтернативная гипотеза Н! — одностоРоннЯЯ, т. е. либо Нз — — Нге ! 8) Ва, либо Н! —— = Н,: О(6,. Пусть, далее, семейство допустимых распределений ,У. =«Р(к; 9), Оеиб) (здесь 6=«0)бе) илн 6=«6(В~)) обладает достаточной статистикой Т=Т(Х), Х=(Хы ..., Х„) (см. $2.3). Тогда из критерия факторизации [см. (2.36)«следует, что статистика отношения правдоподобия в данном случае имеет вид 1(Х) =а(Т(Х); 0!),~а(Т(Х); 9,) и, следовательно, критерий Неймана — Пирсона формулируется в терминах достаточной статистики [соответствуюц1ая критическая область выражается через Т(Х)].
в (Т. О ) (Т. "1 сс моделей и, для которых отношение Выделим важный класс м такие мо ел й; з)/й(Т; 9е) является монотонной функцией Т; го дели имеют .монотонное отношение праедоподоб й ; говорят, чтв модели, встпечаю неся и и ия 'многие Для таких мо елей в р щ еся в статистике, обладают этим свой тв . д лей в задаче пронерки простой гипотезы Н,: 0=8 йством'.
те и, против односторонней альтернативы Н р й, который совпадает с критерием Неймана — П з существует р. н. м. к и- верки гипотезы Н, п отив п и е ана — ирсона проы , против произвольной фиксированной альтер- Действительно, пусть, например, Н, =Н+ и п и 0 )6 отношение а'Т. В ' Т 9 а(; !),!д'(; 9,) монотонно возрастает по Т. ассмотрнм критерий Неймана — Пирсона проверки гипотезы Н я заданным уровнем значимости се и распределением г" 'х; 8 . х; е~. вы з и поэтому одновременно является р. н. м. критерием при сложной альтернативе Н;.
Если отношение й(Т; 0!)! (Т 0 ' бй! ° р . ( ненг(паленая модель, р. н. м. критерий л и Приме 4.3 гзксло нссторонней альтернативе). Рассмотрим экспонен на дель введенную в п 3 и 22 И п. и .. з представления (2.25) следует, что статистика Т (Х) = ~ч ', В (Хд является достаточной и г=! 7 (Х) = ехр «(А (Оз) — А (Оо) ) Т (Х) + и (с (О !) — с (Ое)) ). тонная нк ия Т. Следовательно, если функция А(0) строго монотои ина, то — монофу ци, поэтому для таких моделей всегда существ ет р.
н. м, критерий проверки гипотезы Н: 8 = 9 ранних альтернатив. При этом если А(9) — возрастающая ик- ция, то при альтернативе Н": 0 ) 0 е критическая область имеет вид «Т(х)~со), а при альтернативе Н,: 9(б — вн 'Т Если же ф нкция А 'О! -и у ( ) убывает, то неравенства, определяющие критические области, меняются на противопол П нме 4.4 оложные. сторонней альтернативе). Пусть в модели ол'"(Р, 0') т еб ется проверить простую гипотез Н:ба=В' у е.
= о о неизвестной дисперсии. Э есь десь имеет место экспоиенциальиая модель с Т (Х' = ~ ' а ! — 1з) и А(9)= — 1/(20е). Поэтому р. н. м. критерий против альтерна- гДе Ха, „-Р-кваитиль РаспРеделениЯ Уа(п). Замечаиие 1. Можно доказать 114, с. 1О1', что дп тонным огяожеяием правдоподобия и. о ия р, и. м.
иритерий проверки простой гипо- тезы Н» '. 8=8» против правостороиией альтернативы Н,': 8 ) Ор является одноврсяснно р. н, и, критериеы проверки сложной гипотезы Н»'. 8 с-8» проню Н, того же троння зааяныостн. Аналогичное ттвер кдеиие справедливо и аля двойственной проблемы проверки Н»: 8.= 8» йротив левосторонней альтернативы Н;: 8=-8» Пример 4.5 (бернуллиегская модель, р. и. м.
критерай для г>днастзронник гипотез). В процессе производства издел>ш обычно подвергают выборочному статистическому контролю. Предположим, что каждое изделие независимо от других может оказаться дефектным с некоторой одной и той же, но неизвестной вероятностью 9(0(9(1) и исправным с дополнительной вероятностью 1 — 8. Пусть для контроля взято и изделий и результат описыеается вектором Х=(Х„..., Х,), где Х;=1„если 1-е изделие дефектно, и Х;=-0 в противном случае.
Часто бывает нужно проверить гипотезу На.О'- В„где Оа — некоторая критическая доля брака (если гипотеза Нп истинна, то процесс производства необходимо приостановить и усовершенствовать для уменьшения доли брака). я При сделанных предположениях число г(Х)= ~", Х; дефектных >=1 изделий в выборке является достаточной статистикой и Жв(г(Х))=. =В((п, 9).
Но бнномиальная модель является частным случаем экспоненциальной модели с монотонным отношением правдоподобия, поэтому в силу замечания ! существует р. н. м. критерий проверки гипотезы На против альтернативы Н,: 6~9„который задается критической областью вида (г (х) ~ г„'1, Рассчитывают этот критерий (вычнсляют границу г ) так же, как в примере 4.2. Пример 4.6 (бернуллиегская модель (продолжение)). В условиях предыдущего примера иногда применяют другой план контроля, который называется обратным биномиальным выбором. В этом случае испытания продолжают до получения заданного числа г «успехов» (здесь под «успехом» понимается появление дефектного изделия).
Пусть У> — число испытаний между (! — !)-м и 1-м успехами. ТогДа Ре(г>=У)=9(! — 9)Я, У=О, 1,..., т. е. 1'=(г'ь..., 'г',)— выборка из распределения Втг(1, 1 — 9) (см. табл. В.!), которое являетсн распределением экспоненциального типа с Т(т) =- Г =.,5' !'> и А(8) =!п(1 — 9). Так как А(6) — убывакяцая функция 6, > кл то существует р. н. м. критерий проверки гипотезы Н„:8==6, при альтернативе Н,: 9(О„который задается критической областью вида «Т(у) )с). Этот вывод совпадает н с интуитивным представлением, так как при больших значениях 9 естественно ожидать, что г-й успех произойдет достаточно быстро.
Для определения критической границы с используют тотфакт, что ы"в(Т(У))= В((г, ! — 6). Пример 4.7 (модель гамма, р. н. м. критерий для односторонних гипотез). Предположим, что время «жизни» некоторого устройства есть случайная величина $, распределенная по экспоненциальному закону с неизвестным параметром О » О, т.
е. о ($) = г Г(8, 1). Пусть Х„Х„..., Մ—,времена «жизни», полученные при испытании и контрольных устройств. Так как гамма-модель и является экспоненциальной моделью и для нее Т(Х) = ~а Х; и >=> А (В) = — 1>8, то р. и. м. критерий проверки гипотезы На. 8 == Ва при альтернативе Н,: 8 ( 6, существует и задается критической областью вида (Т(Х)(с). Это также ожидаемый результат, поскольку параметр 9 имеет здесь смысл среднего величины $: Е8$=6, и слишком малые значения Т естественно интерпретировать в пользу альтернативы.
Заметим далее, что случайная величина 2Х,'8 имеет плотность е-">»72, х)0, т. е. 28(2Х>/9)=тя(2) !см. формулу (1.27)]. Отсюда на основании воспроизводящего свойства распределения )(» (см. п. 1 О 1.5) имеем, что 2'а(2Т(Х)>9) =)(»(2п) и, следовательно, границу критической области можно определить по таблицам тя-распределения. Именно: так как Рв,(--Т(Х)==т', з )=а. то се» критическая область 2" щ = (х: 7 (я) ~: и Ха, зя) 1(х) = й (х; 8») при х,т>= ппп х;- Ом, !~>~я со в противном случае, поэтому неравенство !(х) =-с эквивалентно неравенствам (к,т> с От») () ()(Х =с, х>т>~6»в).
ПРи гипотезе Ня событие (Х,т>--:Оа>я) имеет вероятность 1, поэтому, определив с„из условия Ра,(Х =св) =са, получим, что критерий Неймана — Пирсона имеет вид .Т» = = (х: х<т> .-,Оы либо х ( с„) н не зависит от альтеРнативы О,; следовательно, он одновременно является р. н. и. критерием для всего класса альтернатив Нт. 2.
Проверка простой гипотезы против двусторонней альтернативы. р. и. м. иесмещениые критерии. Как отмечалось выше, даже для экспоненциальных моделей с монотонным отношением правдоподобия р. н. м. критерия для двусторонней альтернативы Н„= =Н;()Н;: Вчь0» (9 — скалярный параметр), вообще говоря, не 187 задает р. н. м. критерий уровня значимости сс в данной задаче. Пример 4.6 (экспоненииальная модель с векторным параметром, р, н. м. критерий для нее). Пусть семейство допустимых распределений задается плотностью ) (х; 8) = — е-<'-а >>а*, х--О„т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
