Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Решению этой задачи, впервые найденному Ю. Нейманом и Э. Пирсонам (!933 г,), и посвящен настоящий парагрйжйф)~' 14! Напомним, что в рассматриваемом случае наилучший критерий Х,* называется наиболее мощным критерием. 2. Критерий Неймана в Пирсона в случае абсолютноь непрерывных распределений. Предположим, что распределения го и рг абсолютно непрерывны и соответствующие плотности (о (к) и 1! (к) удовлетворяют условию 11 (к) ) О, 1 = О, 1. Рассмотрим статистики отношения правдоподобия э и 1(Х) =, ',„',',, = И(! (Х,) И (о (Х!) (4.6) о=! н определим функцию !р(с)=ро,(1(Х)'=--с).
С ростом с эта функция может только убывать; кроме того, тр(0)=1. Далее имеем Ро,(1(Х) с) = ~ 7. (х; 6!) дх з с ~ 7. (х; Оо) дх= х; 1(х\ > с х: ! (х) ~ о — сро, (1 (Х) ) с) = сзр (с), (4.7) поэтому чр(с) ~1/с, откуда следует, что чр(с)-ьО при с-ьсо. Будем далее предполагать, что существует такое значение с =с, для которого тр(с) =а (в частности, это всегда имеет место, если функция тр (с) непрерывна).
Тогда имеет место следующее утверждение. Теорема 4.1 (Неймана — Пирсона). При сделанныхпредположенияк существует наиболее мощный критерий проверки гипотезы Но. Этот критерий задается критической областью Х,"„= (х: 1 (х) ) с), (4 8) где криптическая граница с определяется из условия тр(с) =а. П Рассмотрим любой другой критерий Х,„уровня значимости а. Тогда (Р(Хий 9!) = ~ 7.(х; 9!) ах = Хта 7.(х; 9!)дх+ ~ 1.(к; О!)Йх. Х,„Х;„ Х1а Х!а Аналогично имеем йУ(Х;„; 9,)= $ 7.(х; 6,)дх+ $ 7.(х; 6,)б .
ХтэХ!а Х Хь Отсюда йУ(Хий 6,) =(Р(Хю; 9,)+ .(- $1(х) 7. (х; 6о) йх — $ 1(х) г (х1 Оо) йх ХтгХтм ХтэХьэ Но согласно определению множества Хт„, вне этого множества (первый интеграл) 1(х):.с, а в точках этого множества (второй интеграл) — 1(х) е= — с; следовательно, нз последнего соотношения получаем неравенство (Хга) Ог) ( йу (Хтой 9!) + г(*; Во!* — 1 г!ч юг*), ~гаЖа ХтоХаз По условию, ~ 7-(х; 9,)дх= 5 7.(х; 6,)дх=и, Хпа Х*,к (4 й) откуда имеем, что каждый из интегралов в правой частя (4.9) отличается от а на одну и ту же величину $ 7.(х; 9,)дх. ХтаХ! а Таким образом, оба этих интеграла равны н получено требуемое неравенство Ф' (Хто) 6!) «%' (Х7ой) О!).
° Построенный критерий проверки гипотезы Но называют критерием Неймана — Пирсона. Покажем, что этот критерий является несмещенным 1см. условие (4.5)1. Если в (4.8) с ь1, то из (4.?) получаем (Р (Х!„1 О!) '= си ) а. Если с«=1, то йг(Х;~; 9!)=1 — ~ 7.(х; 9!)дх 1 — ~ 7.(х; Оо)дх= Хта Х~!э = ~ф 7.(х; 6,)дх=и, !а поскольку 1, (х; 6!) ( сЬ (х; 6,) и- -1. (х; Оо) при х вн Х," .
Следовательно, в любом случае %'(Х,"е; 9,) ~а. 3. Крнтернй Неймана — Парсона в случае дискретных распределеннй. Соатветствующне рассуждения можно провести н для дискретных распределеннй, длв хоторых веронтностн 1 (гь) ~О (1=0, 1) длн всех гэ.возможнык эначеннй наблюдаемой случайной велнчнны 6 (д,'1у(гэ)=1, )=О, 1!). В этом случае также чупарядочнваютэ выборочные точка х=(х„..., х„] соствет. отвеина велнчнне отношения э л е(л; од ' ° и' 1(к)= '.
= й й 1г(х!) И)о(хд !=! 1 (=! н включают в крнткчеслое множества Х! максимальное число точек, согда. СУЮЩЕЕСЯ С тРЕбаааННЕМ ~ й(Х; Эо)-.-"и. ОДНаКО В ОтЛНЧНЕ От НЕПРЕРЫВ- кю С! ного случая здесь в склУ днскретностн распределеннэ выборка, вообще говорк, уже нельзя получить 'точное значение а за счет выбора границы с в неравенстве !(к)~с.
определающем множество Хк может быть так, чта, внлючнв в Хз очередную точку, мы еще не достнтнем уровня оь а включив сведующую — цревэойдем его. Подробнее зта можно обънсннть слелующнм образом. Обозначим через (...< 1э с1а!т( ...) возможные значенна статнствкн 1(Х). Тогда в общем случае можно определить такое й=й(п), что 1.
(х; 6») ()х( ~к~~ ь(х) 69). х9!)х)»~ !«+ Х9()Х)»Ь !) Если в правой частя соотношения (4.10) имеет место равенство, то, полагая Х", =':1(х) ==.1 ) и повторяя рассуждения, провеаенны. в и. 2, мо999.о «)Ю показать, что зто критическое множество задает нанбалйе/мощна)й крн)сряй ур вня зяачимостя ц для проверки гипотезы Нр против адьтер))ап9вы П,. 'ро Рассмотрим теперь более подробно случай, когда в (4.10) нмс)от Мес О ст строгие неравенства (как это чаше всего и бывает).
Пусть иу= ~ ь(х; 6) н мМ4Л)П !и» х !1«)»1«9 р«=ре (1 (Х)=1«) = ч)9 й (х; 6!), 1=0, 1. 1= е« х: «19) =!» тогда соотношение (4.10) запишется в данном слу 9ае в ваде 0 (ц — и»( р„ Чтобы построить критерий с уровнем значимости и, паза использовать прием рзндомязацни, т. е. поступить следующим образам. Когда выполняется Равен- ство 1(х) =1«,.„„— произвести дополнительный случайный эксперимент с исходам н и,, т д мн ]с и )1, вероятности которых равны соответственно (а — а»)1р» и 1 — (а — п»))р», и атнергпуть гипотезу Нв если наблюдается 9«, н принять «» в противном случае.
Если 1(х)»1«,„„то гипотезу Н, слелует отвергнуть. а при 1(х)(1„,„,— привять. тругими словами, строят рандомизированный критерий, основанный на критической функции 1 при 1 (х)»1«,„„ ф* (х) = (и — а )!Р«гри !(х) =1«9„„ при 1(х)(1„ю. Вероятность ошибки первого рода такого критерия равна [ . ( . )] [см. (4.П)] Р (Н,,' Н») =ЕЕ 96* (Х) =РЕ (1(Х)» 1„и))+ — РЕ,(! (Х) =1) (о)) = П вЂ” Сс» а — 9х» и»+ Р»=п Р» что н требовалось показать. Мощность вычисляют по аналогичной формуле )Р(Р') 6,)~Е,,ф*(Х)=,+( —,) Р,ГР,, Покажем, что это наиболее мощный критерий. Рассмотрим произвольный крктери с урони й «р вием значимости а, задаваемый некоторой критической фуик- Цией )Р(х): Еоф(Х) (Щ н обозначим Я Ш=(х: 9Р* (х) — ф (х) » О) [знак «+»' Н вЂ” ») соответствует неравенству (()]. Если х ш Х+, то )р* (х)»0 н' поэтому 1 (х; 6,)»!«Г.
(к; 69),' ЕсЛи ХШ Я, то 96*(х)(1 и, следовательно, Ь(х) 6))(1«Г(х) 6»). Таким образом, ~ )(ф" (х) — )Р(х)) (1.(х; 69) — 1«1. (х; 6»))= ~'.,' + ~»»0, лхХ+ «шов Отсюда для разности мощностей А =Ее ф» (Х) — Ее,ф (Х) получаем Ь= (96* (х) — )Р (х)) ь (х; 6 )»1«~ ()Р» (х) — )Р (х)) ь (х; 6«)= х х 1« (Ее,)Р' (Х) — Ее )Р(Х))» 1« (а — %) =О. что и требовалось доказать, ггтлх, В ДИСКРЕТНОМ СЛУЧаЕ ВСЕГДа МОЖНО ПОСтрОИтЬ Нанбад, ц 'р * 'р" щ говоря, явля и ранломнзированиым, О„,етим что то рандомизация н,бхгднма лишь па гограннчн,„множес «н то лько в том сл)чае, когда желательно иметь вероятность ошибки первого рода равной точно )х. На арахтнке предпочитают в таких слнзменить а и УР вс ь значимости так, чтобы о~пала необходимость в рандомнза- Х» =1 х»1с, к цин, т.
е. запевать 9х на и» и использовать неракцомизнрша =( (х)» «;6!9 ), который. ца предьыущему, нвлнется наиболее мшцным критерием уров)цг значимости а»((м). Можно также использовать нерандомнзираванный кРнт)ь)ий Я», =(! (х)» 1« и Д с ббльшим УРавнем значймости а =не+ Р» Зги общие положения проиллюстрированы ниже в приме 4,2, и имере 4. Примеры применения критерия Неймана — Пирсона. П Пример 4.! (нормальнал-1 модель, прогерка простых гипотез).
усть о нормально распределенной случайной величине $ с известной дисперсией оа и неизвестным средним 6 имеются две гипотезы: На. 6=0о и Н,: 0=6, (для определенности будем считать„ что О, ) 6,). Если Х =, (Х), ..., Х„) — выборка из Х ф и х — наблю.
давшаяся реализация Х, то » ')") ='*9 ~ — 9.-9 Д»'. Ц» — 9 à — 9» — 9,)*)~- 9' = 1 Гп и ехр [ з (6) Оа) л — — — (09 81)~ и неравенство Г(х)»с эквивалентно неравенству Х» о' 1п с/(п (8) — Оо)1+ (Оь+ Оа))2, которое можно переписать в виде — (2 — Ов)» а 1п с+ — (8« — Оо) = 1(с). уп а Р' л (69 — ез) 2а Так как Х)ь(Х) =в»" (Ов, оеГР),-то отсюда имеем тр (С) = РЕ„(С (Х)» С) = РЕ»,~ (Х вЂ” Ое) ~1 (С)) = Ф ( — 1 (С)). ) Р«пш При с)0 функция 1(с) непрерывно зависит отс, поэтому )Р(с)— непрерывная функция и для любого иге(0, 1) однозначно определена величина г, где 1(с„) =1„, а Ф( — 1„) =се. Т аким образом, все условия теоремы 4.1 выполнены и, следовательно, наиболее мощный критерий для проверки гипотезы Н, против альтернативы Нз задается в данном случае критической областью Я7,=(х ) 1' и (х — Оо)Го-»! ), Ф( — 1„)=и.
(4.12) В данном случае статистикой критерия является выборочное сред. нее Х, а критическая область не зависит от конкретного значения альтернативы 6))ба. 145 (4.13) )»нс. 4.1 Здесь для любой точки х=-(х„ ((х; 6/)=6',(1 — О/).-, /=О, 1, Вычислим мощность критерия (4.12). Так кан лэ, (Х) = /" (О„п'/а), то рев ~~ » Оо+ — 'йо) = У-. р„(1 " (Я 6;),-= — "(Ох-Оо) +(а) = !о о Ф~ "(6,— О.) — (.) /!/ л В частности, отсюда видно, что (Р ('2»во' ~!)» ( смещенность).
Аналогично, при Оэ(Оо наиболее мощный критерий имеет внд .2"во — — )вх: 3Г а (х — Оо)/о — — ( 1, Ф( — !„) =а, (4 14) испытаний, не меньшем 39, можно быть уверенным в том, что, поступая согласно критерию (4.12), будет принято ошибочное решение свероятностью, не большей 0,00!. Пример 4.2 (берн уллиевсрлл модель, проверка лрсслвых п«лспез). Пусть о неизвестной вероятности «успеха» 0 в бернуллиевской модели Вг(1, О) имеются дае гипотезы: Н«.6=6, н Н»;9=0!«й, хл), к! ш (0„1), !'=1, ..., л, а его мощность ЯУ(Хво, 0 ) =Ф()гга (Оо — 0„)/и — !„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
