Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Вычисление этих величин при зада за нных ошнб- 3. О имборе границ в крнтерн и Вальда. Выясним теперь, хек связаны в 4-.21 границы Ао н Ао А в (4.20) (нлн, что то же самое, границы ао и а! в ( . Д с еероятностямя ошибок а к р. д!млгшгсь Теорема 4.4. Ласлкнкком Ао и А, крилмрил Вальда силы (а, 3) у рлкнн играггнсшвам Ао~ Ао'=(3/(! — а). А!~ А,' (! — !3)/а. (4.23) При гшам если границы Ао а Аз зал«нише их оценка лси А' и А', ша си,ш яагучгккага крин!грив буде«н равна (а'„(3'), гдг а'~и/(1 — В), (3'~(3/(1 — а) н а +(3 (а, ().
с Ф ! (4.24) Г) Обозначим через ол ол ез З (Я' ) множество тех результатов наблюдений (хы ..., хл), для ко р то ых процедура заканчнзаетса на ч=л шаге припяти Но(Й!), т. е., например„ ЯОООО ((х!. -с хс): Ао~(!»/Го»(А! й=1, ..., п — 1 (ю3йол~АО). В силу теоремы 4.2 ОО СО СО РЕ(ч=н)ОО ~Ц~', РЗ(Вол)+ ~ РЗ(®г,)=! (4=Ее Ег) л=! л=! а=1 Далее вмеем ОО СО 1 =Р(Н)НВ-,'~ Р (Ж.)'=А г,'е (Еш)= л ! л 1 1 1 — (3 *= — (1 — Р (Но ~ Н!)) А А! 160 чак нак в точках множества Яш выполняется неравенство (чн (ь~ /А . Аца. логично получаем В=Р(НО! НД = )'" ,Рес(Х»л) ~ 4о ~ РЕО(ХОО) = л=! л =! = Ао (1 — Р (Н! ! Но)) = Ао (! — и), поскольку в точках множества Я'ол выполняется неравенство игл~Аз(чл.
Тем самым неравенства (4.23) доказайы. Рассмотрим тепедь критерий Вальда с границами А; к А;, определеннымн в (4.23). и пусть и и й' — его ошибки. Тогда на основзйпи первой части теоремы должны выполняться неравенства В/(! — со) ~(1'/(! — сс'), (1 — (3)/сс( ~(! — В')/й. Из первого н еторого неравенств соответственно ямеем 3'~ .=(! — а') й/(! — а) ~(Ц1 — а), а ~(! — 3') а/(1 — 3) ~ аЯ! — (3). Складывая неравенстве (3 — ~Ь.' ~ (3' — а(3' и — и'-г-сс'В ~ — а+ и!3', полу чаем, что (3 — а'~В' — и нли а'-1-(3'-=а+(3. ° На пракпше теорему 4.4 используют следующим образом.
Если требуется построить критерий Вальда силы (щ (3), то границы в (4.20) полагают равными соответственно А, 'и А, '(см. (4.23)). В этом случае последнее неравенство (4.24) гарантирует, что суыма действвтельных ошибок й н В' такого критерия не превосходит суммы а+(3 заданных ошибок; далее, обычно а н В ие превышают 0,1, поэта»!у иэ остальных неравенств (4.24) следует, что разность между действнтельньшн и эаданпымн ошнбкзмв в этих случаях незначительна. Таким образом, можно утверждать, что такой специальный выбор гралиц е крптерпи Вальда приводит к более сильному крвгерню.
Отметим в этой связи интересную особенность последовательного критерия по сравнению с обычными критернямн. В обычном критерии для определенна критической области прн выбранном уровне значимости н вычисления веронтностк ошибки второго рода (нли мощности) надо знать рзспределеине статистики критерия и прн нулевой гипотезе н прн альтернативе, при расчете же критерия Вальда не возникает проблемы отыскании распределений. Действительно, границы А,' и А,' зависят только от заданных ошибок и и й н отношение игл/ьол мажйо вычислить иа основании данных задачи без отыскания каких-либо распределений. Необходимость имать информацию о распределениях прн использовании последовательного критерия возникает только при нахождении закона распределения числа наблюдений ч до принятая решения. 4.
О среднем числе наблюдений в критерии Вельда. Рассмотрим вопрос о вычислении среднего числа наблюдений ч в критерии Вальда, Предварительно установим одно интересное равенство, ноторое называется тождеством Вальда. Пусть В„=Ос+...+Оч — ОРДнната блуждающей частицы в момент пре. крашения блуждания (см. й, 2), Тогда имеет место шаэгдггаип Вагода Ее(ЗО) Еэ(2) Ее(ч).
(4,25) () Введем случайные величины У„уе, ..., где ( 1, если решение не принято до л-го шага, ). 0 в противном случае. Тогда 3«л, очевидно, есть функция толька 2„..., Ял ! и, следовательно, не СО зависит от Ул, Нетрудно показать, что Во ,'~~ ~3«ОБО, откуда л 1 Ев (Зч) = ~~'., 'Ее (УОЕО) = Ез (2) ~3~ Ез (Кл) =Еэ (2) ~ Ре (1'л = 1) ° (4.26) »=1 л=! Событие (!'л= !) зквнвалентяо событию (ч)н), а так как для любой пелочнсленной положительной случайной величины х Ех=Р (х=1)+2Р(х=г/+ -1- ЗР (и =3)+...= ~ Р(х/ й)+ ~ ', Р (м=й)+ ~~~~ Р(и=а)-!."- а=! э=э э=з Р (и ~ я), то из (4.28) следует тождество (4.25).
ш о=! Пусть теперь заданы значения ошиоок а и (). Ках показано в и, 'г, г!шктическн при малых а и р границы в (4,21) можно заменить соотэсгс! шпио па 1 — 8 о„'= !и А,'=1п — и о',=!и А, '=.1п —. о ~,„~ — !— (4.27) При малых а и р длина интервала (о,', а',) велика, а величина Еа (2) от а и р ие зависит и, по предположению (см, п, 2), конечна, Поэтому можно пренебречь эффектом превышения суммой 5„границы в момент остановки, т. е. положить 5о о'., если принимается гипотеза Н (!=О, 1). Другими словами, можно считать среднее значение суммы 5 равным приближенно соответствукчцей границе о,' или о,'.
Из этих рассуждений и тшкдества Вальда (4 25) имеем Еэ» (т) Еэ, (2) = Еа„(5 ) — о Р (Но ! Но) -! а(Р (Н! ! Но) =- (! — а) а,' 1- по,'. л оо ! — () Ы ~ к! — — (Бо+ г) — — 6 ( — !и —; Бг — эо 1 — ц г=! еслк нарушаетсв левое (правое) неравенство. р ство. то п инимается гипотеза Но(Нт). Вычислим среднее число наблюдений до принятия решения. з (, ) имеем 6 +6 т ( — (0 — эо)г/(2ог) при !=О Еа (2) — — (6/ — 2 / = ( (6 6 уг/(2ог) прн !=1. Аналогично получаем Еа! (т) ЕЭ, (2) = Еа! (5т) оор (Но ! Н!)+о(Р (Нт, Нъ) =()оо+ (1 — В) о!.
Таким образом, Е/(ч)=Е6 (т) можно вычислять по следукицнм приближенным формулам: (! — а) о,',+иэ', ( ) рог+(! — р) о', (4.28) где о,' н о,' определены в (4.27). Для проязвольного последоаателыюго критерия такой же сизы (а, ()) можно показать, что среднее число наблюдений до момента остановки при гипотезе Н.
оценивается снизу правой частью соответствующего равенства (4.эо). Таким образом. среднее число наблюдений для критерии Вальда близко к наименьшему значению, т. е. этот иритернй является (с принятой вышестепеиыо приближения) оптимальным. Ь. Иример «эковомичностио последовательного критерия. Рассмотрим на примере, насколько оэкономичнаг аоследовательная процедура. Пусть дтя различения двух простых гипотез о среднем нормальной случайной величины Го сформулированных в примере 4.1, прнмеияетси последовательный критерий отношения вероятностей.
Тогда /г(с!) (к! — 6) (к! — О) 6! 6о ! 0 ' 6!) (429) и критерий Вальда силы (а, р) определяется в данном случае следующим образом. Наблюдения продолжают до тех пор, пока впервые не нарушится кайсе-нибудь из неравенств Ео(т) —,, ~(1 — а) 1п — -(-а!ив 2ог à — в (0! — Бо)г ! ! — и а Е (т) = (БР ! — + (1 — Р) ! — 1. 2сд Г 1 — Рч (0„— 6,)г г( И !Для критерия Неймана-Пирсона с теми же ошибками а и 8 необходимое ,,число исяытаннй я* определяется формулой (4.17). Отношение среднего объема выборки в последовательном критерии Вальда, когда истинной является гипотеза Нм к объему п' равно Ео (т) 2 5 1 -0 л* ('„+Ба)г ! 1 — а !(1-и) !п — + а 1п — ) ц (4.30) и не зависит ни от о', нн от О! — йь (Напомним, что !;г определяется уравнением Ф((о)=сг.) В том случае, когда справедлива гйпотсза Йт, это отношение равно — — (р !ч — + (! — 5) !п — ~.
(и) 2 / ! — в (Б.+Бди'( -1-а х (4.31) Если задаться ошибками сс=8, то ~. =рр. 1п — = — )п — н иэ соот- 1 — Р 1 — а а ношений (4.30) — (4.31) следует, что Ео (ч) Е! (т) 1 — 2ц 1 — а и " 2 ' уп ф(а)' (4.32) !й При а=0,05 имеем Бо=),6449 и, вычисляя по формуле (4.32), получаем гр(а)=0,4897; это свидетельствует, что экономия наблюдений составляет приблизительно 50 '4. Если воспользоваться известной асимптотической формулой йля нормальной фунхцин распределения Ф (к) (2(У, с. 183) — мгз 1 — Ф(к)= (1+о(1)), к-ьоз. (4,33) к)' 2гг то можно показать, что при ц-ьо 1 / 1п1п (1/а)+!п 4х+о(1)г 4 ! 2!п(1/а) ) (4,34) Действительно.
так как Ф(Ь )=и то Бо-ь — сгз прн о-ьо. Но Ф(Бч)= = 1 — Ф( — ьо), поэтоыу иа основании (4.33) можно записать асимптотическое равенство !+о (1) -(г/з (62 — ' Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что этому соотношению удовлетворяет величина Г„, определяемая равенством (~о=2 1п (1/ц) — 1п !п (!/а) — 1п 4м-)-о(1). Отсюда н из (4.32) получаем представление (4.34), из которого следует, что прн ошибках а=8- 0 последовательная процедура в среднем приблизительно в четыре раза экономнее оптимальной процедуры с фиксированным объемом выборки, 9 4.4.
Сложные гипотезы Случай, когда основная и альтернативная гипотезы являются простыми, встречается в приложениях сравнительно редко. На практике чаще имеют место ситуации, когда 152 обе гипотезы (нли по крайней мере одна из них) сложные. В этих случаях равномерно наиболее мощные (р. н. м.) критерии существуют только если допустимые распределения (статистическая модель) удовлетворяют определенным ограничениям. Рассмотрим некоторые наиболее типичные случаи. 1. Р. н. м. критерии против сложных альтернатив.
Модели с монотонным отношением правдоподобия. Пусть проверяется простая гипотеза Не. О= Во против сложной альтернативной гипотезы Нг ! 9 ~ 6,=6' «Ое). Построим для каждой фиксированной альтернативы О, еи 6! критерий Неймана — Пирсона Х!„ =. = Х!„(Во, 0,), как это описано в 9 4.2. Если Хг„(бе, 8,) зависит от альтернативы бз, то это означает, что не существует критической области, которая была бы наилучшей для всех О, ы 6,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
