К. Хамахер, З. Вранешич, С. Заки - Организация ЭВМ - 5-е издание (2003) (1114649), страница 101
Текст из файла (страница 101)
В.23. Пример деления без восстановпения 6.7. Обработка чисел с плавающей запятой До сих пор речь шла только о числах с фиксированной запятой и целочисленных значениях, то есть таких, при обработке которых предполагается, что двоичная запятая находится справа от числа. Можно также считать, что двоичная запятая располагается справа от знакового разряда, определяя дробное значение. В системе дополнения до двух значение числа со знаком Г, представленного н-разрядной двоичной дробью В - Ь,,Ь,Ь,...Ь <„О определяется функцией Г(В) - — Ьс х 2 + Ь ! х 2 ' + Ь з х 2 +...+ Ь 1„0 х 2 ~" В Первоначально О 0 0 1 Сдвиг Сложение Установка ов Сдвиг Сложение Установка ов 0 О 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 О!! 6.7.
Обработка чисел с плавающей запятой 433 где значение Р лежит в диапазоне -1 < г" ь 1 — 2 ~" Рассмотрим диапазон значений, которые можно представить в 32-разрядном формате с фиксированной запятой. Если интерпретировать их как целые числа, получается диапазон от 0 до +2,15 х 10з, а если как дроби — диапазон от ч-4,55 х 10 'с до х1.
Ни одного из этих диапазонов не достаточно для научных вычислений, в которых могут использоваться такие параметры, как число Авогадро (6,0247 к 10гз моль ') и константа Планка (6,6254 к 10 гг эрг с). Необходим такой формат, который подходил бы и для очень больших целых, и для очень маленьких дробных чисел. Для этого компьютер должен уметь представлять числа и оперировать ими таким образом, чтобы позиция двоичной запятой была переменной и автоматически изменялась в процессе вычислений. Такие числа называют числами с плавающей заияягой. Напомним, что в числах с фиксированной запятой двоичная запятая всегда располагается в одной и той же позиции. Поскольку в числе с плавающей запятой позиция двоичной запятой переменная, она должна быть явно задана в представлении числа. Так, в хорошо знакомом вам научном десятичном формате числа могут записываться как 6,0247 х 10гз, 6,6254 х 10 гг, -1,0341 к 10г, -7,3000 к 10 ы и т, д.
Говорят, что в этих числах по пять значащих цифр. Масштабные множители (10гз, 10 гг и т. д.) указывают позицию десятичной запятой по отношению к значащим цифрам. Числа, в которых десятичная запятая расположена справа от первой (ненулевой) значащей цифры, называют нормализованными. Основание масштабного множителя (10), которое является фиксированным, в машинном представлении чисел с плавающей запятой можно не задавать. Итак, число с плавающей запятой должно содержать знак, значащие цифры и показатель степени 10 в масштабном множителе.
Теперь можно дать точное определение машинного представления числа с плавающей запятой: оно состоит из знака, строки значащих цифр, называемой мантиссой, и показателя степени (фиксированного основания), называемого порядком. 6.7.1. Стандарт!ЕЕЕ для чисел с плавающей запятой Сначала рассмотрим в общих чертах представление чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления, а затем соотнесем это представление с двоичным. Итак, числа с плавающей запятой удобно записывать следующим образом: ч Хг Хг Хз Хг Хз Хе Хг к 10 ' ' Здесь Х; и à — это десятичные цифры. Такого количества значащих цифр (7) и диапазона значений порядка (т99) достаточно для научных расчетов. Мантиссу и порядок из этих диапазонов можно перевести в двоичное представление, умещающееся в 32 разряда, то есть в стандартное компьютерное слово.
Мантисса длиной 24 бита может представлять десятичное число из 7 цифр, а 8-битовый порядок подразумеваемого основания 2 позволяет представить достаточно широкий диапазон значений масштабных множителей. Для знака числа необходим 434 Глава 6. Арифметика один бит. Поскольку ведущий бит нормализованной мантиссы обязательно должен быть равен 1, его можно не включать в представление, за счет чего и освобождается один бит для знака. Таким образом, 32 бита позволяют представить достаточно широкий диапазон чисел с плавающей запятой. Описанный стандарт представления чисел с плавающей запятой в 32-разрядном формате разработан и детально специфицирован Институтом инженеров по электротехнике и электронике (1пзт11пГе о1 Е1есгпса1 апй Е1естгоп1сз Епй1пеегк 1ЕЕЕ).
В нем определены и представление чисел, и правила выполнения четырех базовых арифметических операций. На рис. 6.24, а продемонстрировано 32-разрядное представление чисел с плавающей запятой. Знак числа задается в первом разряде, за ним следует представление порядка (по основанию 2). Вместо числа со знаком в поле порядка Е хранится целое число без знака Е' =- Е + 127. Этот формат называется форматом с избытком 127.
Таким образом, Е'входит в диапазон 0 < Е'< 255. Граничные значения указанного диапазона, 0 и 255, употребляются для представления описанных ниже специальных значений. Для обычных (нормальных) значений Е'лежит в пределах 1 < Е' < 254. Это означает, что реальный порядок, Е, находится в диапазоне — 126 < Е < 127. Представление порядка в формате с избытком х упрощает сравнение относительного размера двух чисел с плавающей запятой (см.
упражнение 6.27). Последние 23 разряда числа представляют мантиссу. Поскольку числа задаются в нормализованном виде, старший бит мантиссы всегда равен 1. Этот бит не указывается явно; подразумевается, что он располагается слева от двоичной запятой. Таким образом, 23 бита в поле М соответствуют дробной части мантиссы, то есть разрядам справа от двоичной запятой.
Пример числа с плавающей запятой одинарной точности приведен на рис, 6.24, б. Стандартное 32-разрядное представление (рис. 6.24, а) называется представлением с одинарной точностью, поскольку занимает одно 32-разрядное слово. Оно позволяет представлять масштабные множители в диапазоне от 2 '~в до 2'~~~, что приблизительно равно 10ьзз. Значение 24-разрядной мантиссы обеспечивает примерно ту же точность, что и семизначное десятичное значение. Для достижения большей точности и увеличения диапазона чисел с плавающей запятой стандарт 1ЕЕЕ определяет формат двойной точности (рис. 6.24, в). В нем расширены диапазоны значений мантиссы и порядка.
Так, 11-разрядный порядок в формате с избытком 1023 Е' лежит в диапазоне 1 < Е' < 2046 для обычных значений, а значения 0 и 2047 употребляются для представления специальных символов. Следовательно, действительный порядок Е лежит в диапазоне -1022 ~ Е < 1023, позволяющем представить масштабные множители от 2 '~~~ до 2'~~~ (то есть приблизительно 10зез). Значения 53-разрядной мантиссы обеспечивают практически ту же точность, что и 16 десятичных цифр. Чтобы компьютер соответствовал стандарту 1ЕЕЕ, он должен поддерживать как минимум представление чисел с плавающей запятой одинарной точности.
Представление двойной точности необязательно. Этот стандарт определяет еще несколько необязательных расширенных версий обоих форматов. Онн предназначены для повышения точности и порядка представления промежуточных результатов последовательных вычислений. Например, внутреннее произведение 6.7.
Обработка чисел с плавающей запятой 435 двух векторов можно вычислить путем накопления суммы произведений с расширенной точностью. Входные значения имеют стандартную точность, одинарную или двойную; результат округляется до той же точности. Благодаря расширенным форматам можно сократить погрешность округления, которая накапливается при многократных однотипных вычислениях. Кроме того, расширенные форматы повышают точность вычисления таких элементарных функций, как синус, косинус и т.
п. Наряду с четырьмя базовыми арифметическими операциями стандарт (ЕЕЕ определяет операции вычисления остатка от деления, квадратного корня, преобразования из двоичного кода в десятичный и наоборот. 32 разряда Е Е 8-разрядный порядок со знаком в формате с избытком 127 23-разрядная дробная часть мантиссы Знак числа Е'- 127 Представленное значение - И.М х 2 0 00101000 001010... -87 Представленное значение - 1,001010 ... 0 х 2 64 разряда Знак 11-разрядный 52-разрядная порядок в формате дробная часть мантиссы с избытком 1023 Е' — 1022 Представленное значение - 21,М х 2 Рис. 6.24.
Представления чисел с плавающей запятой, определенные в стандарте (ЕЕЕ: формат числа с одинарной точностью (а); пример числа с одинарной точностью (б); формат числа с двойной точностью (в) Существует два момента, касающихся чисел с плавающей запятой, которые заслуживают особого внимания. Во-первых, если число не нормализовано, его 436 Глава Е.
Арифметика всегда можно привести к нормальной форме, сдвинув дробную часть и соответствующим образом изменив порядок. На рис. 6.25 вы видите ненормализованное значение 0,0010110... х 2в и его нормализованное представление 1,0110... х 2з. Поскольку масштабный множитель представлен в формате 2', сдвиг мантиссы иа один разряд вправо или влево компенсируется увеличением или уменьшением порядка на единицу. Во-вторых, в ходе вычислений может быть сгенерировано число, выходящее за рамки диапазона нормальных чисел. Если точность одинарная, это означает, что для представления нормализованного числа требуется порядок менее — 126 или более ч-127. В первом случае говорят о потере значимостли или отрицательном переполнении (ппбегйотч), а во втором — о переполнения 1очег))отч).
И потеря значимости, и переполнение являются арифметическими исключениями, о которых мы поговорим чуть позже. Порядок в формате с избытком 127 0 10001000 0010110... (Слева ст двоичной ззпятой иет явно заданной 1) 9 Представленное значение - +0,0010110...х 2 0 10000101 0110... 6 Представленное значение = +1,0110... х 2 Рис. 6.26. Число с плавающей запятой в формате )ЕЕЕ одинарной точности: ненормализованное (е); нормализованное (б) СПЕЦИаЛЪН(МЕ ЗНаЧЕНИЯ Граничные значения 0 и 255 порядка Е' в формате с избытком 127 используются для представления специальных значений. Ясли Е'- 0 и дробная часть мантиссы М равна нулю, значит, представлено точное значение О.
Порядок Е'- 255 и мантисса М - 0 представляют значение с, где о — результат деления нормального числа на нуль. Для представления этих значений обычно применяется и знаковый разряд, например: хО и хо. Значения Е'- 0 и Ми 0 соответствуют представлению анормальных чисел. Зто числа чО,М х 2 '~~, которые меньше самого маленького числа. У них отсутствует подразумеваемая единица слева от двоичной запятой, а М представляет собой любую ненулевую 23-разрядную дробную часть числа. Анормальные числа предназначены для случаев, когда возможна постепенная потеря значимостли; ови расширяют диапазон представляемых чисел и могут быть полезны при работе 6.7. Обработка чисел с плавающей запятой 437 с очень маленькими числами. Когда Е'- 255 и М ~ О, представленное значение называется №Г а Жив6ег (ЖаЖ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
