Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 37
Текст из файла (страница 37)
1) Отобразить кольцо К = (» Е С ( 2 < !4 < 5) на кольцо К~ — — (в Е С ~ 4 < !ш~ < 10) так, чтобы в(5) = — 4. 2) Отобразить кольцо К = (» Е С ! ! < )» — 2с~ < 2) на кольцо К, = (в Е С ~ 2 < !в-3+2с~ < 4) так, чтобы в(0) = — 1 — 2с. м Воспользуемся теоремой: для того чтобы существовало конформное отображение кольца К' = (» Е С ~ г, < !4 < гс) на кольцо К" = (в Е С ~ Яс < !ш) < Щ, необходимо и достаточно выполнения условия -„л = .'„з. При этом отображающая функция может быль только двух аидов: а в=а» или в=-, аЕС. Отображение однозначно определяется заданием одной пары соответствующих друг другу гра- ничных точек. 1) Очевидно, что в данном случае отображающая функция имеет аид в = '-, так как по условию внутренняя окружность кольца К доюкна перейти во внешнюю окружность кольца К,.
Из соответствия точек находим: -4 = -„а = -20. Следовательно, 20 » 2) Полагаем в, = » — 2с, вс —— в — 3+ 2с. Тогда 1 < !шс! < 2 и 2 < )вз) < 4. Задача свелась к отображению одного концентрического кольца на другое, причем - = -,. При этом 4 с ш~ — — -2с ~-~ -4. Здесь внешняя окружность одного кольца переходит во внешнюю окружность другого кольца, поэтому вз —— ав,, т. е. в — 3+ 2с = а(» — 2с). Постоянную а находим из условия -4 = -2!а, откуда а = -2с.
Окончательно получаем: в = 3 — 2с — 2с(» — 2с) = 3 — 2с — 2с» — 4 = -2!» — 1 — 2с = -(2с» + 1 + 2с). ш 68. Полуплоскость Р = (» Е С: ке» > О) с выкинутым кругом К = (» Е С; !» — Л! < )2) (Л > )!) отобразить на кольцо К' = (ш Е С: р < )в/ < 1) так, чтобы мнимая ось перешла в окрулсность т = (ш Е С: )в/ = 1) . На()ти р.
и Найдем точки ша, симметричные одновременно относительно окрулсности дК = (» Е С: !» — 61 = )2 и мнимой оси. Они удовлетворяют условию (Л вЂ” а)(Л+ а) = )с', т.е. Л' — а = )2, а,, = шт/Л' — Я». Отображение в ищем в виде и» вЂ” т/Лт — Ф шше, дб!й. »+ Я+)2~ 124 1л. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости При» = гу имеем .в (у — х/йз — 22з,в (у — /йТ™ и = е' ,, ~зе~ = ~е' ) = 1.
(у ч.;/Д вЂ” Яз (у 4.,Д2 222 Следовательно, мнимая ось отображается в окружность Т. Поскольку точка й 4 22 лежит на окружности ВК (см. рис.42), н эта окружность переходит в окружность радиуса р с центром в точке в = О, то й+К- цГ:Ку,йч-)2-,/~ ~ Р= й -Ь й-Ь/йз — 2(з % + Л(+ й:К Л х/аз Кз й Ь з Рае 47 69. Полуплоскость Р = (» е С ~ Ке» > О) с выкинутым кругом К = (» е С: !» — Л~ < 1) (й > 1) отобразить на кольцо К' = (ге 6 С ~ ! < !в~ < 2). Найти й. м Воспользуемся решением предыдущего примера. Поскольку должно выполняться условие (ге( = 2, то ю = е' 2, В 6 !К.
(1) »~Л2 — 1 Полагая в формуле для определения р в предыдущем примере р = 1, Л = 1, находим: 1 = 2 (й — ХГ/йз — 1), й =— 5 4 (предварительно умножив правую часть формулы на 2, принимая во внимание (!)). Подставив в (1) й = -,, окончательно получим; 2 *в 2» »+ 24 окружность радиуса р, то 2. 12 24 2 12+ 24 36 3 Так как точка » = 12 б у, отображается на р= е' 2) Точку а = О отображаем в и = со, перейдет в окружность Т'. Имеем »+ 24 м=й, 1 » а точку а* = -24 — в и = О. Тогда окружность Т~ е*е й= —, Вбйх. 3 ' 36 = !й) —, 12' 4» — 3 и.= е'е2 . ° .
4»-ь3 70. Эксцентрическое кольцо, ограниченное окружностями у, = (» 6 С: ~» — 3~ = 9), уз —— (» 6 С: ~» — 8~ =!6) отобразить на кольцо К' = (зе 6 С ~ р < !ге( < 1). Найти р, и Находим точки а и а", симметричные относительно у, и тз. (3 — а)(3 — а*) = 81, (8 — а)(8 — а*) = 256. Решив эту систему, получаем а = О, а* = -24.
Дальше можно решать задачу лвумя способами. 1) Отображаем а = О ~-~ ге = О, а = — 24 ~-~ и = оо. Тогда окружность уз перейдет в окружность тз = (в Е С: !ге! = 1). Следовательно, » зе=й —. » ф 24 Поскольку точка» = 24 б уз отображается на окружность у'„то 1 = ~й~ф, ~й~ = 2, !с = 2е', В = Рх. Функция гл = зи(») принимает вид 123 бб.
Тригонометрические н гиперболические функции Окончательно имеем в»124 24+24 2 ш=е", р= Зг ' 3 24 3 (точка г = 24 Е уз отображается на окружность радиуса р с центром ш = О). )ь При решении некоторых задач, связанных с применением дробно-линейных функций, целесообразно пользоваться так называемой нормальной формой дробно-линейного отображения с двумя неподвижными точками. Всякая дробно-линейная функция Ь .: -"=-хч, отяичная от тожлестаенного отображения и = г, *за имеет не более двух неподввкных точек, т.е.
точек, которые при отображении Ь переходят саьти а себя. Действительно. уравнение -4Ь «=в с« 4т) имеет корни .— *,тт -с 'м гт, з 2с Они совпалают неллу собой, если (а — 4] + 4ьс = О, а в противном случае имеем две неподвюкные 2 точки. Если неподвюкной точкой будет со, то зто возможна лишь в сяучае, когда с = О, т.е.
когда Ь— целая линейная функция. Если жс обе неподвижные точки сливаются с бесконечна удаленной точкой, то с = О и 4 = а, что соответствует параллельному переносу. Пусть Ь вЂ” дробно-линейная функция с двумя различными неподвижными точками г, н гз. Для удобства будем изображать - и ш = А(г) точками водной плоскости. Рассмотрим также вспомогательную плоскость, в которой будем изображать переменные е и (. Полагаем ю — гт г "гт е = — = 3(ш) С = — „= 3(г).
вт — гт -" — «г В случае гз = оо е = тэ — »т = В(тэ), ( = г — «т = Я(г) Из формул е = Я(ш), ти = Ь(г), г = 5 т(О получаем: е = (5 о б о Я )(О. Для дробно-линейной функции Всбсб ', устанавливающей зависимость между е н О неподвижными точками являются О и со, в силу чего зта зависимость имеет вид е = ОО где й — некоторая комплексная постоянная. Следовательно, данное линейное преобразование Ь можно задать в виле ш — г, г — гт — й ш — гт г — гг или, в случае г» = со, ц — гт = й(» — гт).
Формулу (1) нюывают лормальяой формой дробно-линеиного отображения с двумя неподвижными точками. Поскольку я=в ш — гт г 2 (2) и — гз г — гт не зависит от г, то, полагал г = О, ш = а, получим: ь (3) й= - +тт -с' ° * Если г = оо, то й = -'„. Различают три случая: 1) й > О; 2) й = етв (й ф О); 3) й = тете (д ф О, т и 1).
В случае 1) отображение (1) называется гялербсиическци, в случае 2) — элшптитескии, в случае 3) — локссдромяческци. 71. 1) Отобразить внутренность угла 0 < агб » < тг а (О < а < 2) на верхнюю полуплоскость. 2) Отобразить угол — — < агйг < — на верхнюю полуплоскость так, чтобы ш(1 — т) = 2, 4 2 ш(з) = -1, ш(0) = О.
т и 1) Очевидно, что ш = г 2) Отображение шт = (гет «) = «з ег з переводит внутренность угла на верхнюю полуплоскость. Рассмотрим условия нормировки, которые удобно записать в виде таблицы 126 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости Отображение ю = ю(ю,) имеет две неподвижные точки: -1 и О.
Применим формулу (1), полученную выше: ю+! ю,+! юс — = й, откуда ю = ю се с (1с — 1)юс+ й Осталось найти й. Воспользуемся тем, что ю, = ъг4 к ю = 2. Имеем 2+ 1 ъУ4+ 1 3~/4 Зъ 4 — 2 — =й 4, т.е. й=,, 14-1= 2 ч'4 2(ъ'4 + 1) 2(ъ'4 + 1) Подставив ю, = сзе'з в формулу для ю, получим: 2(ъ 4+ 1)е з х 3 ю= к 4 (ъс(4 4— 2)е' з зу + ЗъГ4 72. Найти функцию ю, отображающую полукруг К = (з Е С: ф < 1 л йпз > О) на верхнюю полуплоскость прн условиях: 1) ю( — 1) =О, ю(0) = 1, ю(1) = со; 2) ю(л1) = И1, ю(0) = со; 3) ю (2) = с, агам (1) < Из свойств функции Жуковского следует, что функция юс — — --' (х + -') отображает полукруг К на верхнюю полуплоскость.
В каждом случае будем находить требуемое отображение ю по условиям нормировки. 1) Запишем условия нормировки в виде таблицы Ясно, что функция ю = ю(з) имеет вид 2) Условия нормировки имеют вил Отобрюкение си = ю(ю,) имеет две неподвижные точки: ю, = 1 и ю, = сс. Как показано выше, в этом случае ю = 1+ й(юс — 1). Коэффициент й находим из условия -1 = 1+ й( — 1 — 1), откуда й = 1. Окончательно имеем ю=1 — 1+ — х+- =- — х+- 3) Поскольку х — -1 ю, — -с ю = с, то, согласно решению задачи 60, с.щ--',1 Л (Зз() С+ 4 б б. Тригонометрические в гиперболические функции !27 Дифференцируя ю как сложнукз функцию, получим: ~ (1) б (- ) 4 (1) з(и йи~ з(х з(ш зйи зйиз з(и йи! а'з откуда з(ю (Гз), з зг зг ага = агбш (з) — агдш, (!) = — — я х = —. 2 2 2 Таким образом з ш — з звз — зз' 3 ° з ш-~-з шз+ -'з 73.
Найти функцию ю(з), отображающую полукруг К = (з Е С; 1з ~ < 1 л (т з > О) на круг К = (ю Е С: ~ш~ < 1) при условиях: 2) зи (-') = О, агбю (-',) =' —. 1) ю(ж1) = ж1, ю(О) = -з; Искомая функция ю имеет стандартный вил: ,в юз зз ю=е* —, ВЕН. ю,— а Из условий нормировки получаем: 1-з а;в 1 — а !=е* —, — 1=е —, — з=е'. 1аа 1 — а Постоянную а находим из системы уравнений , 1+а 1 = -з —, 1+а 1 — а — 1=-з —, 1 — а с 1+ а = -з(!+ а) 1 — а = з(1 — а).
Ее решения: а = з, а = — з. Искомая функция ю имеет вид — з (и + †,' ) — з з + †' + 2з а' + 2зх + 1 и' + 2зх + ! — 3 — — '(и+ 2)+з -и — з +2! -хз+2зи — 1 зиз+2и+з 3( .) 2) Поскольку и = -', з-з ю, = 1з з-з ю = О, то ю '"' гз зв 4шз — Зз' ш = е* — = е юз+ зз 4юз+ Зз Дифференцируя функцию ш по переменной ю„получим: з(ю 24(ез Йи (з() 24зе 2, зв = — = -- зе', з(шз (4юз + Зз)з ', з(ю, — Зб 3 бш (зз) агб = --+д з(шз 2 М Сначала отобразим полукруг К посредством функции юз — — -- (и+ — „) на верхнюю по! l Зз лупвоскость плоскости юз, а затем построим отображение верхней полуйлоскости на единичный круг при выполнении условий нормировки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
