Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Из системы уравнений < — 1 — а 1 на -1 — Ь 1+ Ь' в-а 1+»=— в-Ь' находим: а = -в — 2, Ь = в — 2. Таким образом, »+»+2 ав = » †в 2) С помощью таблицы б 6. Тригонометрические н гиперболические функции я -1 со з в со з 1 115 находим: а = -1+ 2!. Следовательно, 2 + $(я 4 1) в= я+1 3) Суля по таблице искомая функция имеет вид в = аз+ Ь. Из условий 0 = -а+ Ь, 1 = за+ Ь, получаем: а = Ь, а = =,'. Таким образом, $-4 1 — з в = — (в+ 1), р 2 Заметим.
что составлять таблицы соответствия точек полезна, но не обязательна. 48. Найти дробно-линейные функции по следуюшим условиям: 1) точки 1 и з неподвихсны, а точка 0 переходит в точку — 1; 2) точки - и 2 неподвижны, а точка „- 4 $4 переходит в со; $ 5 3 3) точка $ является двойной неподвижной точкой, а точка 1 переходит в со. м 1) Ишем дробно-линейную функцию в в виде — ", = й — ''. Поскольку 0 — 1, то ' = —,', = — ", откуда й =,$',. Следовательно, в — 1 2$ $ — 1 — — в((1+ $)(в — $) + 2$(1 — в)) = 2(в — 1) + (1 4 $)(в — $), в — $1+3 в — з (3+ $)я — 1 — 3 в(в(1 — $) + $ + 1) = з(3+ $) — 1 — 3, в = (1 — $)в + $ + 1 $ 2) Определяем функцию в из условий ---23 = й — '.
Тогда з(1 — 4й) + 2)с — 2 2в(1 — й) 4 й — 4 поскольку 5+ ,—'$ $ оо. Из этого 2в — 1 2в — 1 = й, (2в — 1)(з — 2) = й(2я — 1)(в — 2), в — 2 я — 2' При в = 4+1$ знаменатель послепней дроби обрашается в нуль 5 3 условия определяем й: 5 3$55 -+ — ( (!-Л)+й-4=0. 2 2( Решив это уравнение, получим й = з. Окончательно имеем я(1 — 4з) -1- 2( — 1 + $) Рз = 2в(1 — () 4 3 — 4 3) Определим функцию ти условиями — ',. = —,',. ч-Л = —;4 — ',.
$!. Тогда я-з = (тя-$)(1+Ля — зй), в = ЯЯ"-~-. Так как 1 $ со, то Л+ 1 — зй = О„Л =,$4 = — 0$0. Окончательно находим я(3 — з) — (1 4 з) в= . в (1 -1- з)(1 — я) определяем, что искомое дробно-линейное отображение имеет вид в = з — *,, Тогда — 1 оо, озз С Осталось найти а. Для этого воспользуемся условием, что $ 1. Йз уравнения относи- тельно неизвестного а $ — а 1=$ —, $+1 Гл.
3. Элементарные функции в комплексной плоскости 116 49. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки -1, О, 1 соответственно в точки 1, з, — 1 и выяснить, во что при этом отображении переходит верхняя полуплоскость. м Для наглядности воспользуемся таблицей д -1 0 1 в 1 з -! Согласно теореме 1, и.1.3, какими бы ни были три разные точки з~ Е С, зз Е С, хз б С и три разные точки ю, Е С. из Е С, вз б С, существует, и притом единственное, такое дробно- линейное отображение Ь, по Дгь) = иь (й = 1, 2, 3). Его можно найти из соотношения — з, — дз и — вз вз — вз — 2 зз — з! в вз из в! Поскольку =,'х."д = -', — '' = 'з*, то соотношение (1) принимает вид — '+' = (1+()~ '~, откуда !) в(0) = 1, зи(!) = 2, ю(2) = со; 2) в(0) = 1, в(з) = 2з.
м 1) По теореме 1, и. 1.3, имеем з и — ! 2(а — 1) ю — 2' 2 и =— 2 — л 2) Составляем таблицу в 1 2з' -2з Точка -( переходит в точку -2(, так как 1 переходит в 2( (симметричные точки переходят в симметричные). Снова применяем теорему 1, п.
1.3: 2д 4з в — 1 2з+ 1 в=-2 —. в а — з 2з+ 1 зе — 2з' л — 2 52. Найти функцию в = в(а), отображающую круг Кл —— (з б С: )а( < 22) на правую полуплоскость Р = (в б С ( йе и > 0) так, по в(22) = О, и(-22) = оо, в(0) = 1. Каков при этом отобралсении образ верхнего полукруга? м Функция в имеет вид в=(з*,~н, поскольку в = 0 при з = 22 и в- оо при а — -2!. Из * — л условия в(0) = 1 получаем, по В = -1.
Таким образом, зв = ~=';. д — з зз — 1 Функция и отобрюкает верхнюю полуплоскость Р = (з Е С (!из х > О) на единичный круг К = (в б С: (в~ < 1). При этом точка ( переводится в точку в = 0 — центр круга К. в 50. Найти общий вид дробно-линейного преобразования, переводящего: 1) верхнюю полуплоскость на себя; 2) верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскостзп 3) верхнюю полуплоскость на правую полуплоскость. м Согласно теореме 1, п.
1,1, любая дробно-линейная функция в = — ", осуществляет гомеоморфное отображение С на С. Поскольку ю' =..., то в случае !) должно выполняться а-ь ь *эо'' условие аа — Ьс > О, в случае 2) — условие аз(-Ьс < О. Б случае 3) дробно-линейное преобразование имеет вид в = з — а Л аз( — Ьс < 0 (умножением на з нижняя полуплоскость поворачивается в полохсительном направлении на угол —,, т.е.
переходит в правую полуплоскость). Согласно общему определению дробно-линейной функции, числа а, Ь, с, з( — действительные. в 51. Найти отображение верхней полуплоскости на себя при указанной нормировке: б 6. Тригонометрические и ппюрболические функции и Согласно формуле (3), и. 1.2, имеем )(г г =го-Ь го где ео — центр окружности,  — ее радиус. В случае 1) го — — О, В = 1, следовательно, г* = у — — — —— * Ь ! гв В случае 2) хо — — г', Л = 3, о* = г 4 = о 4 г. М 54. Найти симметричный образ опюсительно единичной след!пошил линий: — ', = !(24. г). окр)жности 7 = (г Е С: 1г( = 1) 1) 7! = (я Е С: Ф = г ); 2) тг — — (г Е С: )г — 1( = 1); 3) у = 2. и Воспользуемся формулой (1) из примера 53. .* 1 В 1) Очевидно, что "= — ', . Тогда г* = — = 2е' — точки окружности радиуса 2, с центром в начале координа~. 2) Поскольку - = 1+ е'в, то з* =, ',„= —,'+ -',гя-"г.
Симметричным образом является прямая, уравнение которой х = -'. 3) Прямую, заданную на плоскости уравнением у = 2, представим в виде 7 = (х Е С ) — со < Ке г < +ос, !гп г = 2), т. е. г = х 4 г 2. Тогда 1 хьг2 х 2 . х . 2 г' = х -1- гу -1- о х г х — 12 х'+ 4 х' 44 хо+ 4' хг -Ь 4' х' 44 Поскольку х = — *„, то, подставив это значение в правую часть равенства х" = Д-, после несложных преобразований получим: 1 (х) 4(у — -) = —, те. г —— 4 ~ 16' 4 16 В данном случае симметричным образом является окружность радиуса; с центром в точке 1 г — 33 55. Функция го = е' = (33 = а+ гЬ, Ь > О) отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг.
!) Найти агбяг(х) ое р(х); 2) найти гв'(~3); 3) выяснить, какая часть верхней полуплоскости при этом отображении сжимается и какая растягивается. М 1) Очевидно, что агб гв(х) = а -1- 2 агб(х — 33), так как агб(х — 33) = — агб(х — )3); 2) Дифференцируя го(х), получим: з — Д вЂ” х + 13, 33 — 33, г2Ь и»(з) = е =есо =с* (х 33)г (х вд)г (х Р)г' Подставив в полученную формулу з = )3, имеем '2Ь т Т) гв ()3) = е'"— (г2Ь)г 2Ь Функция ги отображает действительную ось Ох на действительную ось О'и.
Следовательно, интерват — В < х < В переходит в луч — положительную действительную полуось, а полуокружность 7 = (г б С: 4 < Я л !аз > О) отображается в луч, выходящий из начала координат под углом — г . Пользуясь правилом обхода и свойством сохранения углов по величине и направлению при конформном отображении, приходим к выводу, что образом верхнего полукруга является четвертый квадрант 27 = ((и, с) б )к': и > О, с < О). 1ь 53.
Найти точки, симметричные с точкой 2 4 г относительно окружностей; 1) 7> — — (з Е С; (г) = 1); 2) 7г — — (г б С: 1г — г( = 3). Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости 118 3) Поскольку )ш (»)~ = --~ут, то при з/26 < 1» -)3~ происходит севка»не, анри ь/26 6> 1» -Д— растяжение. Из равенства 1» — Д = а(в — а) + а(у — Ь)~ следует, что ( (* - В( - /( — ( + (а (в 1 .„.
= (. ея,в)в 1 в=а Из неравенства з/26 6( Ь получаем, что при Ь ) 2 вся полуплоскость сжимается. Если Ь < 2, то область, лежащая внутри круга к = (» б с: 1» — Д < ч'2ь), растягивается, ш 56. Отобразить верхнюю полуплоскость Р = (» б С ~ 1т» > О) на единичный круг К = (ш б С: ~и~ < 1) так, чтобы: 1) ш(а) = О, агйш'(з) = — —; 2) ш(2з) = О, агйш (2з) = 0; 2' 3) ш(а+аЬ) = О, агйав(а-1-»Ь) = В (6 > 0). ~ 1) Согласно формуле (4), и.!.3, отображение верхней полуплоскости на единичный круг осушествяяется функцией ш = е(в — ,*, Из условия ш(а) = 0 следует, что а = а. Таким образом, ш = е' — ** . Дифференцируя функцию ш, получаем в *-* е', а,в 1 /хв- -) .в ш(»)=2а, аи(а) = — — е' = — е 1 а/.
(»ша)а' 2 2 Из условия агйш'(а) = — — =  — —, следует, что В = О. Окончательно имеем 2) В обшей формуле ав = с*в — *,," полагаем а = 2а, тогда ш = е'в — *а,*. Поскольку ,в 41, е х а), я. ш'(») = е' , , ш'(2() = , агйш'(2а) =  — — = О, (» Ш 2а)а ' 4 2 то В = -" и - — 2а аю = а » 42( 3) По аналогии с 1) и 2) записываем функцию ш в вице ш = е*в' ' ("+з*,(. Тогда ш (а+ Ьа) = — — еа ' = 2Ь 2Ь в, 26а ш(») =е (» — (а — Ьа))' агй ш (а -1- Ьа) = В, — — = В, 2 откуда В, = а + В.
Окончательно получаем ;( зв) — (а+ба) ш=е,а ). » — (а — Ьз) ,» а ш = Ла —, + шв. Ш »+а 57. Отобразить верхнюю полуплоскость Р = (» б С ~ 1ш» ) О) на круг К = (ш б С: 1ш — ш,~ ( )Ц так„чтобы точка а перешла в центр круга, а производная в этой точке бьша положительной. м Сначала отобразим полуплоскосп, Р на единичный круг К, = (ш б С: ~и) ( 1) так, чтобы точка а перешла в его центр и = О. Согласно решению примера 56, 1), ш, = е'в — '„,'., причем и'(а) = -'е'( а ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
