Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 17
Текст из файла (страница 17)
и = Ке у, п = 1гп 1', у(г) = и(х, р) Е (н(х, у). Таким образом, изучение функций 1': С -ь С сводится к рассмотрению свойств двух числовых функций и и и двух независимых переменных х и у. В теории функций комплексного переменного биективное отображение области 6 С С на область Р С С С Р г принято называть одночастной функцией. Зго означает, что (х1 Е С, гг Е б д г~ Ф зг) ю ~(х~) Ф У(хг). Определение 1. Пусть э': С С и хь — пргдгльнал точка множества Рг. Число а Е С называется частичным пределам функции 1' а точке гь, если существует такал паглгдааательнасть (х„) точек множества РР чта (х„зо) гь (ьуп Е М г ф хо) Л ( Йп Г(х„) = о). (1) Множество всех частичных пределов функции У в точке, обозначим через Ег(хь).
Определение 2. Если множества ЕГ(хь) содержит лишь числа о, та ана называется пределам функции У в точке хь и обозначается сильаалам бга У( ). 'и Определение 3. Функция У называетсл непрерывной в точке зь Е Рю если !нп у(г„) = Э(зь) всякий раз, нак только х„ха д гн Е гч х„Е Р1. Если гр Е Р) и ЯвляетсЯ предельной точкой множества Рг, то 1 непрерыВна в точке х, тогда и только тогда, когда 1цп У(х) = э'(го). -ь В изолированной точке зь Е Рг каждая функция ( непрерывна.
Функция У, не являющаяся непрерывной в точке хь С Рг, называется разрывной в ней. Пусть гь Е Рг — предеяьная точка множества Р,. Она называется точкой устранимога разрыва щья функции У, если существует 1цп У(з) = о, о Е С и о х Г(зь). В этом случае ь функция (ь, определенная условиями Э(х), если "Е РГ)(га), )ь(х) = а при г= ь, непрерывна в точке хь. Иногда говорят: "функция э называется непрерывной в точке хю Е Рг, если ее приращение в этой точке бесконечно мало всякий раз, как только бесконечно мало приращение аргумента" В этой формулировке под бесконечно малым приращением аргумента понимают бесконечно малуиз последовательность (Ьз„) = ( „— хь), хь Е РР х„Е Рг тгп Е р(, а под приращением функции г подразумевают последовательность (гху(х„ д .)) = (Т(х + г1х.) - П ь)) = (Их.) - Т( )). в 2.
Топология комплексной плоскости 49 2.б. Арифметические операции нвд пределамн и непрерывными функциями. Теорема В Пусть функции У и д непрерывны в точке го б Ву и Во = ВГ. Тогда непрерывны в этой точке функции у 4 д, )' — д, Уд. Если дополнительно д(го) ф О, то функция г непрерывна а тачке го. и Пусть г„-о го и )гп б М г„б ВГ = Во. Тогда 1(г„) -+ у(го), д(г„) ч д(го) и, согласно теоремам о пределах последоватеяьностей, имеем йгп (г'(г„) кд(г„)) = г(го) ~ д(го), 1!пз !(г„)д(г„) = г (го)д(го) !нп 1(г ) г (го) д(г ) ' д(го) Согласно определению 3, и.
2.5, функции у т д, уд, с непрерывны в точке г,. > Теорема 2. Пусть г, — предельная тачка множества РГ Гз Во. Есои 1пп У(г) = а, )пп д(г) = )), та 1пп(у~д)(г) =атД !пп(!'д)(г) = а)). Если !) Ф О, та Ощ — (г) = —. ° Ф пусть (г„) — такая произвольная последовательность комплексных чисел, что г„- г, гч г, б Рг г! Р, ((го). тогда, согласно теоРемам о пРеделах последоватеаьностей, имеем Г' 1'Ч! а 1пп (Т( „) ад( „)) = ат 15, 1!гп (Уд)( „) = аД 11щ — (г„) = —.
!) Согласно определению 2, п. 2.5, указанные свойства равносильны утверждению, содержащемуся в теореме. и 2.7. Предел и непрерывность композиции функций. Теорема 2 (о непрерывности композиции функций). Пусть функция ! непрерывна в точке го б Ву, а фУнкЦил Зо непРеРывна а тачке (о б Р .
Если Зо((о) = го, та кампазиаиа У о Уо непрерывно в точке (о. и Утверждение является частным случаем теоремы 1, и.6.1, гл. 1. 1ь Справедливо ли аналогичное утверждение для композиции функций ) о уо, имеющих пределы в точках го и (о? Приводимый ниже пример лает отрицательный ответ на этот вопрос. Теоремы о пределе композиции, которые будут доказаны, требуют дополнительных ограничений, накладываемых на функции / и чо. Пример. Пусть у; С вЂ” + С, (о: С С, где ~ ~ г ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ и ! ~ ~ ~ ~ и ! и~ ! ~~ ! 1, если а=О, 2 если (= — '(пбЩ з'(г) = ' , ' (а(() = О, есяи г б Сч(0), ( О, если ( (2 ( „-') и б (ц) .
( О, если (=-(пбЩ Тогда (лп Т(г) = О, )пп зо© = О. Вместе с тем (1 о зо) (() = 1 и о с о ) 1, если Ь'к(-'(нб(ц), Е,. ч (О) = (О, 1), т. е. Ощ (Т о уо) (() не существует. с-о Теорема 2 (о пределе композиции функций). Пусть (о — предельная точка множе- ства ВВ .
Если 11ш у(г) = а, Ищ р(й) = го и суи(естаует такая окрестность ОП тачки (о, *о с и чта У( б (Ог П РВ Й(~о) Зо(() ф го, та Игп (у о)о)(() = а. м пУсть ((„) — такая последовательность, что („(о и кп б и („б Вг, '1((о). тогла = )о(Й) го Л г б ВУ'ч(го) Поэтому у(г„) = (у о р) К„) ч а при и оо. Согласно определению, !!щ (у о зо) (С) = а с со Гл. 2.
комплексные числа н фуивзваи комплексного переменного 50 Теорема 3. Пусть (ь — предельная тачка мнозкества Вг, . Есеи йш (о(б) = хь и Функция 1 с са непрерывна в точке зь, то Вш (1 о (о) (О = 1(зь). с-с. ч Полагаем / )о((), если Г б Вв'!(ьь), "© 1 зь при С=Се. Функция уз* непрерывна в точке бь. Согласно теореме 1, функция 1 ь ы* непрерывная в этой точке. Поэтому йш (у ь !о) (() = йп! (у ь ы ) (() — (1 ь )ь*)(гь) = 1(вь)' с о с-сь 2,8.
Свойства фупкппй, непрерывных на компаате. Теорема 1(о непрерывном образе компакта). Пусть 1: С вЂ” С вЂ” непрерывная функ- ция и Ру — компакт. Тогда многкество Ег компактное в себе, т. е, непрерывный образ компакта есть компакт. Ч Утверждение является частным случаем теоремы п. 6.1, гл. 1. И Определение. Функция 1; С -ь С называется ограниченной на мноэсестве Рг„есеи существует такое число М б 1х, что Уг б Рг !1(с)~ ( М. уеарема 2 (Вейерштрасса).
Пусть 1: С -ь С вЂ” непрерывная функция и Ру — компакт. Тогда функция 1 ограниченная, а ее модуль дктигает на мнонсестве Рг своих наибольшего и наи- меньшего значении. ч Согласно теореме 1, мнозкество Ег яющется компактом, т.е. замкнутым ограниченным множеством. По определению 5 (см. п. 3.2, гл. 1) его диаметр д(Е1) = зцр р( п, сез) ~елг, генг есп конечное число, т. е.
д(Е1) б В. Согласно следствию из теоремы и. 3.2, гл. 1, Уюь б С мнозке- СТВО Еу СОДЕРжИтСЯ В ЗаМКНУтОМ ШаРЕ 0„(шь), ГДЕ Г = ПК Р(твь, Ьв) Ьд(Е1). ВЗЯВ Шь = О, ПОЛУ- ее! чнм, по множество Ег содержится в некотором замю!)том шаре конечною радиуса 12 с центром в начале координат. Поэтому )гх б Вг !ю~ = !1(г)~ < Е, т. е. функция 1 ограничена. Отожле- ствим комплексную плоскость С с плоскостью К'. Тогда непрерывная ограниченная функция Щ принимает на замкнутом ограниченном множестве Вг С К' свои наибольшее и наименьшее зна- чения, согласно теореме Вейерштрасса для непрерывной функции (о: К К.
Следовательно, существуют такие точки з! б Ву, гз б Рг что '!у(х!)~ = '"1 11(хП, !1(гз)! = з"Р !1(хН " *епг епг Чг б Вг выполняются неРавенства )1(х!)( ч ~1(зИ ч )1(хзй, и Звмечавве. при определении непрерывной функции у в точке хь предполагали, что у(гь) гь сс, при изучении отображений множеств с помощью аналитических функций целесообразно огкьзьться ог этого ограничения и считать функцию у непрерывной е точке хь, где у(хь) = сс, если !ип у(х) = со.
В этом *ь — )в случае функцию У называют обобщенно-ненрерыеноа например, функция С С, где если г б Сг(0, сс), 1(х)= 0 лри х =со, со лрн с=О, обобщенно-непрерывная в плоскости С. дья нее йщ у(х) = 0 = у(сс), йщ у(г) = со = у(0). 9 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области В курсе математического анализа рассматривается понатие проитодной вектор ягуикции у: К-+В, Вг =(а, Ц, где 1=(уп уз, ", у ) — упорялоченный набор функций 11 (у = 1, пь).
53. Непрерывные н гладкие кривые. Односвязные и многосвюиые области 5( Вектор-функция у ди<6<йеренцируема на сегменте [а, Ь[ тогда и только тогда, когда на нем диффеРенциРУемы фУнкции У<, и пРи этом ч1 Е [а, Ь] У'(1) = (У'<(1), Уз~(1),, У~ (1)) (в точках а и Ь гчп<+Ьг< речь идет об односторонних производных). Отображение [а, Ь[ — + С можно рассматривать как вектор-Функцию )р = ((р<, урэ) С м~.
Тогда, если функции ур< и (оэ дифференцируемы на сегменте [а, Ь], фУнкциЯ (о также диффеРенциРУема и ч1 Е [а, Ь[ УР (1) = УР, < Ц Ч-(УР<(1) = (УР <(1), Уэз(1)). Определение Е Множеапео у С С (ияи т С м~) называется непрерывной кривой (т раенторией), если существует непрерывное отображение [а, Ц т. ]Три этом отображение ур на называется параметрическим представлением кривой у. Из курса математического анализа известно, что отобрюкение ур = (уч, урэ) непрерывно тогда и только тогда, когда функции р< и (рз непрерывны. Для каждой непрерывной кривой у фиксируется одно из двух взаимно противоположных направлений движения подвижной точки 1 Е [а, Ь], соответствуюшее возрастанию или убыванию параметра. В первом слГ<ае ур(а) есть начало, у<(6) — конец кривой, а во втором случае зти точки меняются местами. Кривая, начальная и конечная точки которой совпадают, называется замкнутой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
