Главная » Просмотр файлов » Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов

Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (1113360), страница 12

Файл №1113360 Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов) 12 страницаБобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (1113360) страница 122019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Такие муравьи, если они еще не вышли из сектора OM N , также попадут вокрестность точки A, и их будет тем больше, чем больше ∆r. Таким образом, количество муравьев, вышедшихиз окрестности точки B и попавших в окрестность точки A, можно выразитьnBA = αBA n(r + ∆r) + β1 αBA n(r + ∆r)∆r.Так как мы рассматриваем стационарную модель, когда количество муравьев в окрестности каждой точкидолжно оставаться неизменным, то nAB = nBA , т. е.αAB n(r) − βαAB n(r)∆r = αBA n(r + ∆r) + β1 αBA n(r + ∆r)∆r.В силу равенства коэффициентов nAB и nBA , последнее уравнение можно переписать в видеn(r) − βn(r)∆r = n(r + ∆r) + β1 n(r + ∆r)∆r.Поскольку количество муравьев равно плотности, умноженной на площадь, то последнее равенство можнопереписать в видеp(r)SA − βp(r)SA ∆r = p(r + ∆r)SB + β1 p(r + ∆r)SB ∆r,(6.16)где SA , SB — площади окрестностей точек A и B соответственно.

Вычислив площади в полярных координатах,будем иметьSA = rδ∆ϕ, SB = (r + ∆r)δ∆ϕ.Подставляя эти выражения в (6.16), получимp(r)rδ∆ϕ − βp(r)rδ∆ϕ∆r = p(r + ∆r)(r + ∆r)δ∆ϕ − β1 p(r + ∆r)(r + ∆r)δ∆ϕ∆r.Сократим обе части равенства на δ∆ϕ и сгруппируем слагаемые:(r + ∆r)p(r + ∆r) − rp(r) = −(β1 p(r + ∆r)(r + ∆r) + βp(r)r)∆r.Разделив это равенство на ∆r, перейдем к пределу при ∆r → 0.

Получимd[rp(r)] = −(β + β1 )rp(r).drОбозначим для удобства β + β1 = ε и перепишем уравнение в виде[rp(r)]0= −ε.rp(r)Это уравнение для плотности является уравнением с разделяющимися переменными. Используя начальныеданные, получаем решениеR(6.17)p(r) = p(R)e−ε(r−R) .rЗаметим, что величины R и p(R) несложно найти экспериментальным путем. Коэффициент ε подсчитатьгораздо труднее. Это объективная характеристика взаимоотношений данного вида с данной питательной средой.

Однако можно поступить следующим образом. Если считать, что построенная модель достаточно верноотражает суть дела и, следовательно, существует некоторое ε, с которым формула (6.17) дает зависимостьплотности от расстояния, то эту константу можно вычислить исходя из самой формулы (6.17). В самом деле,если формула верна, то она верна для всех r > R и, в частности, для некоторого r = r0 > R. Подставив r = r0в (6.17), получимRp(r0 ) = p(R)e−ε(r0 −R) ,r0откуда1Rp(R)ε=ln.r0 − R r0 p(r0 )Таким образом для получения значения константы ε нам необходимо знать значение плотности p(r) ещё приодном значении r = r0 .

Это значение можно найти экспериментально так же, как и p(R).Нужно обратить внимание на ещё одну погрешность нашей модели. Из (6.17) следует, что p(r) 6= 0 длясколь угодно больших значений r. В реальных муравейниках это конечно не так. Однако при больших rвеличина p(r) становиться столь малой, что мы без особой погрешности можем ей пренебречь.75Ряды7 РядыОпределение 7.1. Числовой ряд∞Pan с общим членом an называется сходящимся, если существует конеч-n=1ный предел lim Sn = S частичных сумм Sn = a1 + a2 + . .

. + an . Число S при этом называется суммой ряда.n→∞В противном случае ряд называется расходящимся.7.1. Исследовать на сходимость бесконечную геометрическую прогрессию∞Pqn.n=0I Разберем отдельно два случая. Пусть q 6= 1, тогда преобразуем частичную суммуSn = 1 + q + q 2 + . . . + q n(7.1)следующим образом. Домножим обе части равенства 7.1 на q:qSn = q + q 2 + q 3 + . . . + q n+1и вычтем из 7.1.

Сократив соответствующие слагаемые, получим(1 − q)Sn = 1 − q n+1илиSn =q n+11−.1−q 1−qПереходя к пределу при n → ∞, заметим, что если |q| < 1, то второе слагаемое стремиться к нулю, и сумма1. Если |q| > 1, то lim Sn = ∞, и ряд расходится. Если же q = −1, то lim Sn не существует,ряда равнаn→∞n→∞1−qи ряд также расходится.Остается лишь рассмотреть случай q = 1. Но тогда Sn = n + 1 стремится к +∞ при n → ∞, и рядрасходится.1Подводя итог, можно сказать, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится к суммепри1−q|q| < 1, а в остальных случаях расходится.∞P1.7.2. Исследовать на сходимость рядln 1 +nn=17.3.

Как известно, если ряды∞P∞Pan иn=1(an ± bn ). Может ли сходится рядn=1расходится?∞Pbn сходятся, то будет сходится и рядn=1∞P∞Pn=1n=1(an ± bn ), еслиan сходится, а∞Pbnn=1♦ Указание. Доказать от противного.7.4. Пусть ряды∞P∞Pn=1an и∞Pbn расходятся. Что можно сказать о сходимости рядаn=1(an + bn )? Привести примеры.n=176Ряды7.5. Доказать, что если ряд∞P∞Pan сходится, то рядn=1An , где An =n=1pn+1P−1ak ,k=pnp1 = 1, p1 < p2 < .

. ., полученный в результате группировки членов данногоряда без нарушения порядка их следования, также сходится и имеет ту же сумму.Верно ли обратное?I Из сходимости ряда∞Pan вытекает существование предела любой подпоследовательности его частичныхn=1сумм, равного сумме ряда S. Выберем подпоследовательность частичных сумм {Spn } следующим образом:Sp1 = a1 ,Sp2 = a1 + a2 + . . .

+ ap2 −1 ,Sp3 = a1 + a2 + . . . + ap2 −1 + ap2 + . . . + ap3 −1 ,Spn = a1 + a2 + . . . + apn −1 .Тогда lim Spn = S. Но последовательность частичных сумм рядарядn→∞∞P∞PAn как раз и совпадает с {Spn }. Значит,n=1An сходится и имеет сумму S.n=1Обратное утверждение неверно, так как из сходимости некоторой подпоследовательности, вообще говоря,∞Pне следует сходимость самой последовательности. Действительно, рассмотрим расходящийся ряд(−1)n+1 .Если сгруппировать члены ряда попарно∞Pn=1(1−1), то полученный ряд, состоящий из нулей, конечно, сходится.n=1Заметим, что если дополнительно потребовать неотрицательность членов ряда, то обратное утверждениестановится верным (см.

задачу 7.10).Теорема 7.1 (критерий Коши сходимости числового ряда). Числовой ряд∞Pan сходится тогда и толькоn=1тогда, когда ∀ε > 0 существует N такое, что для всех n > N и любого m выполняется |Sn+m − Sn | < ε.7.6. Доказать, что если ряды∞Pan (A) и∞Pbn (B) сходятся, и an 6 cn 6 bn дляn=1n=1всех n начиная с некоторого номера n0 , то ряд∞Pcn (C) сходится.

Что можноn=1сказать о сходимости ряда (C), если ряды (A) и (B) расходятся?I Из условия имеем для всех n > n0 и любого pan+1 + an+2 + . . . + an+p 6 cn+1 + cn+2 + . . . + cn+p 6 bn+1 + bn+2 + . . . + bn+p ,значит,|cn+1 + cn+2 + . . . + cn+p | 6 max{|an+1 + an+2 + . . . + an+p |, |bn+1 + bn+2 + .

. . + bn+p |}.Воспользовавшись критерием Коши для сходящихся рядов (A) и (B), ∀ ε > 0 найдём такое N (выберем егобольше n0 ), что при n > N и любом p правая часть последнего неравенства будет меньше ε. А значит, покритерию Коши сходится и ряд (C).Если же ряды (A) и (B) расходятся, то о сходимости ряда (C) ничего утверждать нельзя. Действительно,111рассмотрим ряды с an = − , bn = , cn =соответственно. При выполнении неравенств an 6 cn 6 bn ,nnn ln nвсе ряды расходятся (см. задачи 7.7 и 7.21). Но, при выполнении тех же неравенств, в качестве ряда (C) можновзять сходящийся ряд, состоящий из нулей.7.7. Используя критерий Коши сходимости числового ряда доказать расходи∞ 1Pмость рядапри 0 < p 6 1.pn=1 n77Ряды1I Воспользуемся отрицанием условия Коши: ∃ ε > 0 ∀ N ∃ n > N ∃ m: |Sn+m − Sn | > ε.

Выберем ε = ,2m = n, тогда|S2n − Sn | =11111111++ ... +>++ ... +> n== ε.(n + 1)p(n + 2)p(2n)pn+1n+22n2n2Таким образом, условие Коши не выполняется, и ряд расходится.Если в критерии Коши положить m = 1, то |Sn+m − Sn | = |an+1 |, и условие Коши превращается в необходимое∞Pусловие сходимости числового ряда: если рядan сходится, то lim an = 0. Это утверждение дает возможn→∞n=1ность доказывать расходимость рядов, т. е.

если lim an 6= 0 или lim an не существует, то ряд расходится.n→∞n→∞7.8. Является ли условие lim an = 0 достаточным для сходимости рядаn→∞∞Pan , an > 0, сходится, то рядn=1Обратное утверждение неверно. Привести примеры.I Так как ряд∞Pn=1an ?n=1Привести примеры.7.9. Доказать, что если ряд∞P∞Pa2n также сходится.n=1an сходится, то lim an = 0 и начиная с некоторого номера an < 1. Тем самымn→∞a2n + a2n+1 + . .

. + a2n+m < an + an+1 + . . . + an+m .Применяя критерий Коши, убеждаемся, что ряд∞Pn=1Заметим, что обратное неверно. Например, рядa2n сходится.∞ 1∞ 1PPсходится, но рядрасходится.2n=1 nn=1 nПриведем задачи на исследование сходимости знакопостоянных рядов.Теорема 7.2 (критерий сходимости ряда с неотрицательными членами). Если частичные суммы Sn∞Pчислового рядаan с неотрицательными членами an > 0 ограничены, то ряд сходится. В противном случаеn=1lim Sn = +∞, и ряд расходится (к бесконечности).n→∞На основании данного утверждения обычно решается вопрос о сходимости обобщенного гармонического ряда∞X111= 1 + p + ... + p + ...,pn2nn=1(7.2)где p — любое действительное число, а при p = 1 получается собственно гармонический ряд∞X111= 1 + + ...

+ + ... .n2nn=1(7.3)При p < 0 общий член ряда не стремится к нулю, т. е. не выполняется необходимое условие сходимости, иряд (7.2) расходится. Расходимость таких рядов (в том числе и гармонического ряда) при 0 < p 6 1 былаисследована в задаче 7.7. Как мы увидим в дальнейшем (см.

задача 7.21), при p > 1 ряд (7.2) сходится.Иногда возникает заблуждение, что между сходящимися при p > 1 рядами (7.2) и расходящимся гармоническим рядом (7.3) не существует "промежуточных" сходящихся или расходящихся рядов, однако, это нетак. Соответствующие примеры будут предъявлены позднее (см. задачи 7.29 и 7.30).78Ряды7.10. Доказать, что если члены ряда∞P∞Pan неотрицательны, и рядn=1An , полу-n=1ченный в результате группировки членов исходного ряда, сходится, то данныйряд также сходится и к той же сумме.I Обозначим частичные суммы рядов∞Pan иn=1∞PAn через Sn и Spk соответственно. Здесь {pk } — некотораяn=1последовательность натуральных чисел p1 = 1, p1 < p2 < . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,18 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее