Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (1113360), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Доказать, что если f (x) непрерывна в точке x0 , то F (x, y) = f (x) непрерывна в точке (x0 , y) для любого y ∈ R. Сформулировать и доказать соответствующее утверждение для f (y). sin xy , x 6= 0,непрерывна в любой8.9. Доказать, что функция f (x, y) =xy, x = 0,точке (x, y) ∈ R2 .8.10. Пусть ϕ (x, y) имеет предел u0 при x → x0 , y → y0 , а f (u) непрерывна вточке u0 . Доказать, что сложная функция f (ϕ (x, y)) имеет предел при x → x0 ,y → y0 , равный f (u0 ).p8.11. Показать, что функция z = x2 + y 2 не имеет производной в точке (0, 0)ни по какому направлению и не является дифференцируемой в этой точке.8.12.
Исследовать на дифференцируемость функцию f (x, y) = |x|3 y.♦ Указание. Применить теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции.8.13. Исследовать на дифференцируемость функцию f (x, y) = |x − y|3 .♦ Указание. Применить теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции.8.14. Пусть функция f (x) определена и интегрируема на [a, b]. Доказать, чтоRbфункция F (x) = f (t) dt непрерывна на [a, b].x8.15. Доказать, что если f (x) непрерывна на [a, b], то F (x) =Rbf (t) dt диффе-xренцируема на [a, b] и найти F 0 (x).8.16. Пусть f (x) непрерывна на [a, b], f (x) > 0 ∀x ∈ [a, b], f (x) 6≡ 0.
Доказать,Rbчто f (x) dx > 0.a^^8.17. Пусть AB=AC^S^^CB, где C — точка на AB, C 6= A, C 6= B. Доказать,^^что если AB спрямляема, то AC и CB спрямляемы, при этом l ^ = l ^ + l ^ .AB101ACCBРазличные задачи8.18. Доказать, что условие "f интегрируема на [a, η] для любого η > a" в задаче5.35 опустить нельзя. Привести пример.8.19. Уравнение y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f (x) с непрерывными на ha, bi коэффициентами p(x), q(x), f (x) имеет частное решение ȳ; пусть x ∈ (a, b).
Может ли этоуравнение иметь решениеа) ȳ + (x − x0 )2 ;б) ȳ + cos(x − x0 ) − 1?8.20. Пусть общее решение некоторого дифференциального уравнения имеет видy = C1 x + C2 ex + C3 (x + x2 ),−∞ < x < ∞.Может ли быть частным решением этого уравнения функцияа) y = x + 1;б) y = x2 ?8.21. Даны два различных решения y1 и y2 линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Выразить через них общее решение данного уравнения.x2 + x + 1уравнения (x2 −1)y 00 +4xy 0 +8.22. Зная частные решения y1 = x, y2 =x+1+ 2y = 6x, найти его общее решение.8.23. Зная три частных решения y1 = 1, y2 = x, y3 = x2 линейного неоднородногодифференциально уравнения второго порядка, написать его общее решение.8.24. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий:а) x2 + Cy 2 − 2y = 0;б) (x − a)2 + by 2 = 1.8.25.
Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная,равная a2 .8.26. Доказать, что кривая, все нормали к которой проходят через одну и ту жефиксированную точку, есть окружность.8.27. Найти кривую, зная, что треугольник, образованный нормалью к ней и осями координат, равновелик треугольнику, образованному осью Ox, касательной инормалью к этой кривой.102Различные задачи8.28. Найти кривую, которая имеет следующее свойство: отрезок оси Ox от начала координат до пересечения с касательной к этой кривой в любой точке пропорционален ординате этой точки.8.29. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная3a2 .8.30.
В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывноподается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором.Смесь вытекает с той же скорость. Сколько останется соли в баке через час?8.31. В воздухе комнаты объемом 200 м3 содержится 0,15% углекислого газаCO2 . Вентилятор подает в минуту 20 м3 воздуха, содержащего 0,04% CO2 . Черезкакое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?8.32. Доказать, что если∞Pan абсолютно сходится, тоn=1∞Pa2n сходится.n=1∞ x4nP.8.33. Найти сумму ряда y =n=1 (4n)!♦ Указание. y (x) удовлетворяет уравнению y IV − y = 0. Найти начальные условия и соответствующеечастное решение этого уравнения.∞ an (n + 1)P.8.34. Найти сумму рядаn!n=0♦ Указание.
Рассмотреть S =∞ xn n∞ xnPP+.n=0 n!n=0 n!∞ n2P8.35. Найти сумму рядаan .n=1 n!♦ Указание. Рассмотреть S =∞ n2Pxn .n=1 n!∞ (−1)n na2n+1P8.36. Найти сумму ряда.n=1 (2n + 1)!♦ Указание. Рассмотреть S(x) =∞ (−1)n nx2n+1P1= (x cos x − sin x).(2n + 1)!2n=18.37. Доказать, что касательные плоскости к поверхности xyz = a3 (a > 0)образуют с плоскостями координат треугольную пирамиду постоянного объема.103Различные задачиРис.
39I Пусть точка (x0 , y0 , z0 ) лежит на поверхности. Найдем уравнение касательной плоскости в этой точке:F (x, y, z) = xyz − a3 = 0,∂F∂F∂F= yz,= xz,= xy,∂x∂y∂zy0 z0 (x − x0 ) + x0 z0 (y − y0 ) + x0 y0 (z − z0 ) = 0,y0 z0 x + x0 z0 y + x0 y0 z = 3x0 y0 z0 .Заметим, что координаты точки (x0 , y0 , z0 ) удовлетворяют уравнению поверхности, а значит, x0 y0 z0 = a3 .Таким образом, окончательно уравнение касательной плоскости имеет видy0 z0 x + x0 z0 y + x0 y0 z = 3a3 .Заметим, что из уравнения поверхности следует, что x0 , y0 , z0 6= 0, и напишем для этой плоскости уравнениев отрезкахxyz+ 3+ 3= 1.3a3 /y0 z03a /x0 z03a /x0 y0Значит, треугольная пирамида, образованная касательнойплоскостью с координатными плоскостями, имеет33a33a3,0,0,B0,,0,C0,0,(см.
рис. 39). Её объем равенвершины в точках O(0, 0, 0), A y3ax0 z0x0 y00 z0V =1 27a99a99 a99=== a3 .22226 x0 y0 z02 (x0 y0 z0 )2 a62√√√√8.38. Доказать, что касательные плоскости к поверхности x + y + z = a(a > 0) отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.104Ответы9 ОтветыПоследовательности, понятие предела1.3. Не будет.
1.5. {an + bn } может оказаться возрастающей, убывающей, немонотонной. 1.6. Может возрастать, убывать или не быть монотонной. 1.7. Необязательно. 1.8. 0; 1. 1.9. -5; 7/2. 1.10. -1; 3/2. 1.17. Не существует. 1.18. Несуществует. 1.23. Может сходиться и может расходиться. 1.25. Нет. 1.26.
Нет.Функции, предел и непрерывность2.14. Нет. 2.16. а) Да; б) Нет. 2.17. а) Нет; б) Нет. 2.23. а) Нет; б) Нет. 2.24.Нет. 2.26. Да. 2.27. Да. 2.29. Да. 2.30. C = 1. 2.31. а), б) Непрерывна приx 6= 0; в) Непрерывна на [0; ∞); г) Непрерывна на [0; 1) ∪ (1; 2].Производная13.1. б) 2x0 ; в) √ . 3.2.
а) Да; б) Нет. 3.3. а) Нет; б) Нет. 3.4. а) Нет; б) Нет;2 x0в) Нет. 3.5. а) Может; б) Может. 3.6. а) Не обязательно; б) Не обязательно. 3.7.Не обязательно. 3.8. Не обязательно. 3.9. Не обязательно. 3.10. Вообще говоря,нельзя. 3.17. Да; f 0 (0) = 0. 3.18. а) Нет; б) Нет. 3.19. а) Нет; б) Нет; в) Нет.3.20. а) Да; б) Да. 3.22. f (n) (0) = 0 ∀n = 1, 2, . . . 3.25. Вообще говоря, нет.113.26. Нет. 3.27. Нет. 3.31.
Нет. 3.32. Нет. 3.37. б) a = 1; f 0 (0) = ; f 00 (0) = ;231 IV1000f (0) = ; f (0) = .45Функции многих переменных0004.7. б) a. 4.16. Недифференцируема; fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0. 4.17. а) fx не существует в точках (0; y) , y 6= 0; в остальных точках функция дифференцируема;00б) fx не существует в точках (0; y) , y 6= 0; fy не существует в точках (x; 0), x 6=6= 0; в остальных точках функция дифференцируема. 4.20. Нет. 4.22. В точках(x; 0), x > 0, нестрогий локальный минимум; в точках (x; 0), x < 0, нестрогийлокальный максимум, точка (0, 0) не является точкой локального экстремума.4.23. Нет локальных экстремумов.
4.24. Нет локальных экстремумов.Первообразная, определенный интегралx25.3. а) e + C при x > 0,+ x + 1 + C при x < 0; б) x ln x − x + C при x > 1,2x21|x|3x4− x − + C при x < 1; в)+ C; г) sign x + C. 5.9. а) Интегрируема;2234x105Ответы(точной) первообразной не имеет (см. задачу 3.18a); б)R1f (x)dx = 0; не имеет−1(см. 3.18б); в)R1f (x)dx = 0; не имеет. 5.11. 1 в рациональных точках, −1 в−11при x ∈ (0, 1), 0 при x = 0, x = 1. 5.20. 1.x (x − 1)5.23. Условие непрерывности. 5.24.
б) Минус; в) Плюс; г) Минус. 5.30. Нет.π2aπ; ж) 2. 5.39. а),5.31. Да. 5.34. а) −1; б) ; в) ; г) ln 2; д) 1; е) 2223b + a2б), в) Расходятся; г) Сходится при α > 1, расходится при α 6 1; д) Сходитсяпри α > 1, расходится при α 6 1; е) Расходится; ж) Сходится; з) Сходится; и)Сходится абсолютно; к) Расходится; л) Расходится;иррациональных.
5.18.Дифференциальные уравнения6.2. Нет. y 0 = 1 и y 0 = −1 — два разных уравнения, разрешенных относительнопроизводной. 6.6. y = tg x−sec x. 6.8. а), б) Нет; в) Да. 6.9. При n = 1 ни одной;при n = 2 одна; при n > 3 бесконечно много.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
