Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (1113360), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

31), что исходный ряд сходится на − ;aaa1 1условно, а на − ;— абсолютно (см задачи 7.43 и 7.36).a a1 1При 0 < a < b получаем (см. рис. 32), что исходный ряд сходится абсолютно при x ∈ − ;(см задачиb b7.43 и 7.36).∞ an (n + 1)P1 1nПри a = b > 0 получаем рядx , сходящийся абсолютно при x ∈ − ;и условно приn2a an=11x=− .a1 1Учитывая все выше изложенное, получаем ответ: при a > b > 0 ряд сходится абсолютно на − ;,вa a=90Ряды11 1точке x = − сходится условно; при 0 < a < b ряд сходится на x ∈ − ;абсолютно; при a = b > 0 сходитсяb ba11 1, причем в точке x = − сходится условно.на − ;a aaРис.

327.46. Найти область сходимости ряда∞Xn=1(2n)!!xn .(2n + 1)!!I Радиус сходимости ряда равен (2n)!! (2n + 3)!! = lim 2n + 3 = 1.R = lim n→∞ (2n + 1)!! (2n + 2)!! n→∞ 2n + 2При x = 1 получаем ряд∞ (−1)n (2n)!!P(2n)!!, который расходится, а при x = −1 ряд, сходящийсяn=1 (2n + 1)!!n=1 (2n + 1)!!∞Pусловно (см. задачу 7.35).Тем самым, мы получили ответ: сходится абсолютно при |x| < 1, сходится условно при x = −1.∞ 3n + (−2)nP7.47. Исследовать сходимость степенного ряда(x + 1)n .nn=12∞ xnP7.48. Исследовать сходимость степенного ряда.n2n=0I При исследовании этого ряда легко допустить ошибку в вычислении радиуса сходимости.

Действительно,неправильно применяя формулу (7.6), получаем2n+1= 2.n→∞ 2nR = lim91РядыТаким образом, ряд должен быть абсолютно сходящимся на интервале (−2; 2). Однако, в точке x =получим ряд2∞P3nn=12n2 +n3мы2. Применяя к этому ряду признак Коши, получаемslimn→∞3nn2n2 +n2= limn→∞3n2n+1= ∞,т. е. ряд расходится.Приведем верные рассуждения. Обращая внимание на степени переменной x, выпишем коэффициенты an изпредставления (7.4):(1, n = k 2 , k = 0, 1, 2, . .

. ,an =2k0, в противном случае.Применить к такой последовательности формулу (7.6) невозможно, и нужно проводить вычисления по (7.5),вычисляя именно верхний предел.Однако, можно поступить иначе. Пусть x — фиксировано. Исследуем ряд на абсолютную сходимость, используяпризнак Кошиs2 0, |x| < 1,nnn |x||x|1lim= lim=, x = ±1,n→∞n→∞ 2 22n∞, |x| > 1.Таким образом, при |x| 6 1 ряд сходится абсолютно, а при |x| > 1 — расходится.Теорема 7.11 (о почленном дифференцировании степенного ряда).

Степенной ряд (7.4) внутри егоинтервала сходимости можно почленно дифференцировать, т. е. при x ∈ (x0 − R; x0 + R) существует∞X!0nan (x − x0 )n=0=∞Xnan (x − x0 )n−1 = a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + . . .n=1Это утверждение справедливо и для концов интервала сходимости при условии, что ряд, составленный изпроизводных сходится в концевых точках.7.49. Показать, что ряд∞ x4nPудовлетворяет уравнению y IV − y = 0.n=1 (4n)!∞Pxn0007.50. Показать, что ряд2 удовлетворяет уравнению xy − y − y = 0.n=1 (n!)С помощью почленного дифференцирования найти суммы рядов:7.51.∞ xnP.nn=1 n3♦ Указание. Ввести новую переменную t =x.3∞ (−1)n 2nx2nP7.52..n=1 n (2n − 1)92РядыI Обозначим сумму ряда S(x).

ТогдаS 0 (x) =∞∞n−1n−1 2n−1XX(−1)2nx2n−1(−1)x=2;n(2n−1)(2n−1)n=1n=1S 00 (x) = 2∞X(−1)n−1x2n−2 = 2 ·n=11.1 + x2Так как последний ряд есть сумма геометрической прогрессии со знаменателем −x2 , то радиусы сходимостиS(x), S 0 (x) , S 00 (x) равны 1, т.е. ряды сходятся при |x| < 1. Заметим, что при x = ±1 ряд S(x) также сходится.Интегрируя, находим, так как S 0 (0) = 0, S(0) = 0,Zx0S (x) = 2dt+ C = 2 arctg x1 + t2(C = 0) ,0ZxS(x) = 2arctg tdt + C = 2 arctg x · x + ln 1 + x2(|x| 6 1) .07.53.∞ x4n+1P.n=0 4n + 1Теорема 7.12 (о почленном интегрировании степенного ряда). Степенной ряд (7.4) на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости, можно интегрировать почленно, т.

е. на отрезке [x0 ; x], где|x − x0 | < R, верноZx0∞X!an (x − x0 )nn=0dx =∞Xan n+1a1a2x= a 0 x + x2 + x3 + . . . .n+123n=0C помощью почленного интегрирования найти суммы рядов:7.54.∞ 2n + 1Px2n .n!n=0I Обозначим сумму ряда S(x). ТогдаZx0n∞∞XXx22x2n+1S(x)dx ==x= xex ,n!n!n=0n=0 2 0 2S(x) = xex= 1 + 2x2 ex ,∀x ∈ R.7.55.∞Pn2 xn−1 .n=193РядыI Для суммы ряда S(x) имеемZxS(x)dx =∞Xn=10∞Xnxn = xn=1ZxS1 (x)dx =∞Xxn =n=10S1 (x) =x1−xx,1−x0=(1 − x)2|x| < 1;12,(1 − x)!0x0S(x) = (x · S1 (x)) =nxn−1 = x · S1 (x),=1+x3,(1 − x)|x| < 1.7.56.∞Pn (n + 2) xn .n=1Найти суммы рядов:∞ 2n (n + 1)P.7.57.n!n=0I Для суммы S ряда имеем:S=∞∞X2n n X 2n+= S1 + S2 ,n!n!n=0n=0S2 =∞X2n= e2 .n!n=0Для S1 имеем S1 = S1 (2), гдеS1 (x) =∞∞∞∞XXXXnxnxnxn−1xn==x=x= xex .n!(n−1)!(n−1)!n!n=1n=1n=1n=0Таким образомS = e2 + S1 (2) = e2 + 2e2 = 3e2 .∞ n2P7.58..n=1 n!♦ Указание.

Рассмотреть S(x) =∞ n2Pxn .n=1 n!∞ (−1)n nP7.59..n=1 (2n + 1)!♦ Указание. Рассмотреть S(x) =∞ (−1)n nx2n+1P.(2n + 1)!n=194Ряды7.60. Найти сумму ряда∞ 3n (n + 1)∞ n2∞ (−1)n n22n+1PPPа); б); в).nn!(2n + 1)!n=0n=1 n!2n=1Определение 7.4. Последовательность функций {fn (x)} называется равномерно сходящейся на множествеX, если при каждом x ∈ X существует предельная функция f (x) = lim fn (x), и ∀ ε > 0 можно указать такоеn→∞натуральное число N , что при n > N неравенство |f (x) − fn (x)| < ε выполняется для всех x ∈ X.В случае равномерной сходимости последовательности {fn (x)} к f (x) используют обозначениеfn (x) ⇒ f (x).7.61.

Доказать, что для равномерной сходимости на множестве X последовательности {fn (x)} к предельной функции f (x) необходимо и достаточно, чтобыlim {sup |f (x) − fn (x)|} = 0.n→∞ x∈X7.62. Доказать, что если fn (x) — непрерывны на отрезке [a; b] и fn (x) ⇒ f (x) наэтом отрезке, то функция f (x) также непрерывна на [a; b]7.63. Исследовать последовательность функций fn (x) = xn на равномерную сходимость в указанных промежутках:1а) 0 6 x 6 ;2б) 0 6 x 6 1.1I а) Очевидно, что lim fn (x) = 0 для всех x ∈ 0; .

Из монотонности функции fn (x) = xn следует, чтоn→∞2 11maxfn (x) = fn= n →0122[0; 2 ]1при n → ∞. Используя результаты задачи 7.61, получаем, что fn (x) ⇒ f (x) на 0; .2б) Все функции fn (x) = xn — непрерывны на отрезке [0; 1]. Заметим, что предельная функция0, 0 6 x < 1,f (x) =1, x = 1,имеет разрыв в точке x = 1. Предположим, что fn (x) ⇒ f (x) на [0; 1], тогда из результатов задачи 7.62следует, что предельная функция f (x) должна быть также непрерывна на [0; 1]. Это противоречие доказывает,что последовательность {xn } сходится на [0; 1] неравномерно.7.64.

Исследовать последовательности функций на равномерную сходимость вуказанных промежутках:а) fn (x) = x2n − x3n , 0 6 x 6 1, n ∈ N (см. рис. 33);95РядыРис. 33I Очевидно, lim fn (x) = 0 для любого x ∈ [0; 1]. Найдем экстремум функции fn (x): fn0 (x) =n→∞r242n−13n−12n−1n= 2nx− 3nx= nx(2 − 3x ); (xn )max = n → 1 (n → ∞); (fn )max =. Таким образом,3274для ε =выполняется условие:27∀N∃n = N∃x = (xn )max :|fn (x)| > ε =т.е. последовательность не является равномерно сходящейся.Рис. 341, 0 < x < +∞, n ∈ N (см. рис. 34);x+nx xв) fn (x) = ln , 0 < x < 1, n ∈ N (см.

рис. 35).n nб) fn (x) =964,27РядыРис. 35∞PОпределение 7.5. Функциональный рядun (x) называется равномерно сходящимся на множестве X, еслиn=1равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных суммSn (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x).Теорема 7.13 (о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда). Сумма равномерно сходящегося на множестве X ряда непрерывных функций также непрерывна на X.7.65. Является ли равномерно сходящимся на (−∞; +∞) рядРис. 3697x2?2 nn=0 (1 + x )∞PРядыI Сумма рядаS (x) =x2= 1 + x2 ,11 − 1+x2x 6= 0,0,x = 0,является разрывной в точке x = 0 функцией (см.

рис. 36), и, следовательно, ряд не может быть равномерносходящимся.Рис. 377.66. Пусть n ∈ N (см. рис. 37)110,x∈,,n+ 1 n 11112n + 1un (x) =,x=+=,n2 n + 1 n 2n (n + 1) 12n + 12n + 1 1,и,. линейна на отрезкахn + 1 2n (n + 1)2n (n + 1) nНайти сумму ряда∞Pun (x) . Является ли ряд равномерно сходящимся? Имеетn=1ли ряд сходящуюся мажоранту?♦ Указание. Ряд сходится равномерно кS (x) =0,1, nлинейна при и приx = 0, x = 1/n,2n + 1x=,2n (n + 1)12n + 1x∈,, n + 1 2n (n + 1)2n + 11x∈,.2n (n + 1) n98РядыПроверить!Сходящаяся мажоранта не существует, так как если |un (x)| 6 an ∀x ∈ [0; 1], то an >расходится по первому признаку сравнения (теорема 7.3), так как∞ 1Pрасходится.n=1 n∞P1, но тогдаannn=1Рис. 387.67. Ряд∞Pun (x), где (см. рис.

38)n=111 1, x∈;,un (x) =n2n+1 n0, в остальных точках отрезка [0; 1] ,равномерно сходится на [0; 1] (доказать!). Сумма ряда не является непрерывнойфункцией. Какое условие теоремы о непрерывности суммы функциональногоряда, имеющего сходящуюся мажоранту, и теоремы 7.13 нарушено?99Различные задачи8 Различные задачиn= e.8.1. Доказать, что lim √n→∞ n n!♦ Указание. Применить утверждение задачи 1.30 к последовательности {an }, an =8.2.

Вычислить limn→∞2n n!a) an = n ;nг) an =√nnn.n!an , если4n n!б) an = n ;n√в) an =n!;3n(2n − 1)!! 1 · 3 · . . . · (2n − 1)2 · 5 · 8 · . . . · (3n − 1)=;д)a=.n3n n!3n n!2 · 7 · 12 · . . . · (5n − 3)♦ Указания.√Применить утверждение задачи 1.30 в случаях а), б), г), д). В случае в) применить формулуСтирлинга n! = 2πnnn e−n qn , где lim qn = 1.n→∞8.3. Пусть f (−x) = −f (x), x ∈ [−1; 1] и111, x∈,,n+1 nf (x) = n + 10, x = 0.Дифференцируема ли f (x) в точке x = 0?8.4. Пусть f (−x) = −f (x), x ∈ [−1; 1] и111, x∈,,2n+1 2nf (x) = 2n+10, x = 0.Дифференцируема ли f (x) в точке x = 0?◦8.5. Пусть x→xlim f (x, y) = a, lim xn = x0 , lim yn = y0 , (xn , yn ) ∈U (x0 , y0 ).

Дока0n→∞y→y0n→∞зать, что lim f (xn , yn ) = a.n→∞8.6. Доказать, что x→xlim f (x, y) = a ⇔ lim f (xn , yn ) = a существует для всякойn→∞0y→y0◦последовательности (xn , yn ) ∈U (x0 , y0 ), для которой lim xn = x0 , lim yn = y0 .n→∞100n→∞Различные задачи8.7. Доказать, что если ϕ (x) имеет предел lim ϕ (x) = a, то f (x, y) = ϕ (x)x→x0имеет x→xlim f (x, y) = a в любой точке (x0 , y0 ), y0 ∈ R.0y→y08.8.

Характеристики

Список файлов книги