И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных (1113223), страница 5
Текст из файла (страница 5)
) в-т Приведем формулу для расчета дисперсии величины а в этом случае: (41) проверить состоятельность модели. в. Случай линейной зависимости Пусть (х;; уьа;)- совокупность результатов и независимых измерений (х,, у,), (хр. у!), ..., (х;, у;), связанных уравнением совместных измерений вида у = 2(х, а, Ь) = а х !- Ь, (42) где а и Ь вЂ” константы, значения которых необходимо оценить. В соответствии с методом наименьших квадратов функционал х (а, Ь) будет выглядеть следующим образом Х'(а,Ь) Ч~;~У -' '- ~ (43) !=! Из условия минимума функционала Х2(а, Ь) запишем систему уравнений для нахождения двух неизвестных а и Ь: дХ2(а, Ь) дХ2(а, Ь) да ' СЪ После простых преобразований эта система превращается в систему линейных уравнений: Как и в п.У.2.а, отметим, по, зная значения стандартного отклонения (о;) и вычисляя значение функционала х2(а), можно ! ЗО п 2 'Х вЂ” '~ ; !о; Введя обозначения х; ; !а; -Ь ,') —, ; 1о; п х; у, о; ,)о,' может быль найдена из условия у~(а,Ь)= , '„=и — 2 (48) и, следовательно, и .
2 6 ---) о ор = и — 2 (49) (45) х = '=' и л ,Г, (х; — х) Й(" -"и '- )1 и л ",)".(у - у)' Вг 1=1 и-1 Й(" -") ( — )! (50) (и — 1) 8, . Яа ,Г хг 82 2 1=1 ь и Ва = "р ' — ° Л (47) 32 33 п 1,1 о;; 1о,;.!о; 1,ог 1,1о! 1!о;;1а; 1! аг запишем результат решения зтои системы '~а аа а= — ', Ь ь (44) Для оценок дисперсий найденных величин можно полу 1 л 2 ь — — — дисперсий ~ор) для всех прямо измеРяемых величин (у1) формулы несколько упроща я; = '"-Ф~ п и п Ла =- И-~~~ Х! У; — ~ Хг "> У,, 1=! 1=! ! 1 и и л и еЬ = ~, Х; ~~' Уг — ~ Х; ) Х; У1, 1--! 1=1 1=1 ~-'~а - Ь„ а= — ', Ь= —" (4б) Если дисперсии (ор) прямо измеряемых величин одинаковы гг н нензв!гстны, то формулы для нахождения параметров а и Ь остаются теми же (4б), так как от величины дисперсии ор в этом случае они не зависят.
Что же касается оценок дисперсий 8; н 8-, то они находятся по приведенным выше формулам (47), где вместо дисперсии ор берется ее оценка о~р. Эта оценка, как и в пЛ!.2.а,б, Для последнего случая приведем также часто встречающиеся в литературе формулы (отличные по форме записи, но дающие те же результаты) для расчета параметров и их дисперсий. Если ввести обозначения (обратим внимание, что введенные обозначения х, у и 8~, Бт никакого отношения к оценкам значений и дисперсий величин х и у не имеют), то формулы для расчета оценок будут иметь следующий вид: Яг а=г.— '-, Ь=у — а х, (51,52) За г (1 — г ) ~,' г ((и 1)' В + " '(х) ) а ' ' з = за ' ° (53,54) (и — 2) чг ' ь а ' и Коэффициент г, называемый кодффициантом,взвитой кпрредннни между величинами х и у, позволяет проверить соответствие результатов эксперимента и предлагаемой линейной модели.
Можно показать, что г лежит в диапазоне от -1 до +1, причем )г1=1 в случае, когда все экспериментальныс точки (хь у,) лежат строго на одной прямой, т.е. выполнено условие у~(а, Ь~ = 0 . Если значение коэффициента корреляции ф = 0.9 — 0.95, то можно считать, что линейная модель достаточно хорошо согласуется с результатами эксперимента. В противном случае следует либо уточнить модель, либо более тщательно провести измерения. у = 1п(~.7) =- 1п(1.)а) — 1/с= Ь + ах, где а = -1/т, Ь = 1ПЖо).
Казалось бы, схема измерений сведена к зависимости, рассмотренной выше. Однако возникает каковы величины дисперсий для (у,)? Так как уравнение по форме является уравнением косвенных измерений, то, формулу (20), получим: линейной вопрос: а у = 1п(1.1) используя Запишем уравнение, описываюшее исследуемую зависимостьс П = Г(ц П,а т) = ()а ехр(-!/т), Пусть моменты времени (Ь) известны абсолютно точно, а для г напряжений ((1,) величины дисперсий одинаковы и равны оп,. Логарифмируя уравнение и вводя привычные обозначения, получим г. Случай нелинейной зависимости, допускающей линеаризацию Достаточно часто уравненис совместных измерений у=К(х; а,...Ь) является нелинейным, но простое преобразование позволяет его линеаризовать.
К таким зависимостям относятся, например, уравнения вида у=Ь1п(ах), у=Ь ехр(ах), у=ах', уг=ах' и т.д. Метод наименьших квадратов может быть применен и в этом случае, однако здесь следует внимательно отнестись к изменению погрешности отдельного измерения, возникающему при линеаризации. Рассмотрим конкретный пример, поясняющий особенности такого подхода. Пусть изучается процесс разряда конденсатора С через активное сопротивление й. при этом проводятся измерения напряжения на обкладках конденсатора (3, в определенные моменты времени ьа Требуется по результатам измерений оценить постоянную времени т для КС-цепочки. Таким образом, квадраты стандартного отклонения (дисперсии) для у, уже не одинаковы, а обратно пропорциональны квадратам измеренных значений Е а Следовательно, зная (у,) н можно с помощью МНК получить оценки для а и Ь, а затем ог по формуле косвенных измерений получить искомую оценку для т.
Полученный рсзультат можно обобщить на случай произвольной зависимости, допускающей линеаризацию. Так как в ур' авнении совместных измерений нелинейность возможна как по параметрам а,...,Ь, так и по измеряемым величинам х и у, то рассмотрим различные случаи.
1. Нелинейность только по измеряемой величине х (например, у=ах или у=аеа). Так как величины х; считаются известными абсолютно точно, г =ех то простой заменой переменных (в указанных примерах г=х- и г=е задача сводится к линейной зависимости у=-ац после чего применяются обычные формулы МНК. 2. Нелинепность только по параметру (например, у=-с х). =. 3 35 Заменой переменных а=-сз уравнение сводится к линейной схеме у=ах, для параметра а находятся оценки а и $1, после этого в соответствии с уравнением «косвенных измерений» с = чу г находятся оценки с =.
~~/а и Зг = ( — ~ -Б1 = 3. Нелинейность только по измеряемой величине у (например, ег=ах + Ь). делая замену переменных г=ег и пересчитывая по формулам (19)-(20) результаты «измерений» г; = г(у1) = еп и «погрешность» ~г о,, = о, — —, вновь приходим к линейной схеме. 2 2 дг(У) ду 4.
Нелинейность одновременно и по измеряемой величине х и по параметрам (пример, приведенный в начале настоящего п. 'Ч.2.г). Пусть для нелинейной схемы измерений у = Г(х; а,...,Ь), известны результаты измерений (х,) и (у;,о~ ~, и преобразование г=у(у) линеаризует задачу (в рассмотренном выше примере таким преобразованием было логарифмирование у(у)=1п(у)). Тогда для новой «измеряемой» величины г будут справедливы следующие соотношения: В итоге получаем линейную задачу, к которой можно применить МНК. 3. Заклгочительпьге замечапия о методе паимепьгиик квадратов 1.
Требование абсолютно точных значений физических величин (х1) накладывает существенные ограничения на применение метода наименьших квадратов, т.к. в результате измерений мы не можем получить истинных значений (см. разд.Ш). Однако, можно дать следующую рекомендацию. Пусть пРоведена сеРиЯ совместных измеРений (1н г,), (гп гг), ... величин 1 и г, связанных уравнением совместных измерений, допускающих применение МНК. Сначала необходимо посчитать отношения наибольших стандартных отклонений суммарных погрешностей о, и о, при измерении величин 1 и г к соответствующим диапазонам изменений этих величин Л1=1„эх-1ь, и Лг=г„»««-га;„в данной серии совместных измерений.
Затем в качестве переменной х ды6вать ту из величин, для которой это отношение будет существенно меньшим. Если эти отношения оказались примерно одинаковыми, то можно получить требуемые оценки для двух противоположных случаев выбора переменных и сравнить их. Если полученные результаты близки друг к другу, то можно рассчитывать, что они будут близки и к истинным значениям. 2. При применении МНК необходима проверка полученных результатов на соответствие экспериментальных данных используемой модели (уравнению совместных измерений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
