И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных (1113223), страница 4
Текст из файла (страница 4)
в качестве ниеиии а истинного значения физической велпчины принимают величину й = Г(х,у,...,й), (19) где х. у.... й — оценки соответствующих прямо измеренных величин (напомним, что если прямые измерения проводились в одинаковых условиях, то оценкой является среднее арифметическое, т.е. х = х н т.д.). Погрешность оценки й можно охарактеризовать с помощью выбранного а н ия би случайных и аащдщГО10Гр атиланения о„систематических ошибок, вычисляемых по формулам: где ( — )' — частная производная от функции а = у"(х. у,...,х), по суу ~0.!.„..
1 переменной х, вычисленная при соответствующих оценках прямо измеряемых величин х, у,..., й. Для оценки относительной погрешности удобно использовать 8„ относителЬНОе стаиднрхнря от1Ьдрнаниир Ьв = — ". й Доверительный интервал как для случайных, так и для систематических погрешностей, может быть рассчитан в общем случае с использованием коэффициента Чебышева у„: Псс = 7и 'Ви~ Л,„„му С„. Для оценки н " и шн и можно использовать такую же формулу, как и для прямых измерений; о,умм = ~~„+о„. (24) Для оценки относительной погрешности удобно использовать ссумм от ие бц = й Вычисление в тельн го и а для аумыщенай ногвешне'„ти ипроводится также с использованием коэффициента Чебышева у„: Пример (продолжение). Студент Петров провел серию из п=5 прямых измерений Я=50 периодов колебаний и получил следующие результаты: 1;=232.б„233.4, 232.9, 232.8, 233,2 (с). Для нахождения оценок периода колебаний он сначала вычислил среднее арифметическое (1) по всем результатам прямых 1 " 1164.9 с измерений 1 = — ~ 1; = ' = 232.98 с, его выборочное и, ' 5 по формуле косвенных измерений вида Т=1/Х студент нашел б.
Частные случаи — 1 Т = — = 4.6596с и М станда "=Г (~) г Бг ' 0.0029 с. 23 22 (аТ) 1 значение частной производной ( — ) = — (не зависит от г), и ( зг), 11 получил оценки (19) для периода колебаний ртно го отклонения для случайной погрешности (20): При оценивании систематической погрешности для г Петров получил: -для приборной погрешности секундомера Ь„~„= 0.001 1+а = 0.233 ~-0.1=0.333с н о„,„~=0.111с (формулы (11) и (4)); для других составляющих систематической погрешности полученные оценки совпадают с оценками Иванова.
Тогда для оценки суммарной систематической погрешности (15) о; = о., =0.3с, и, следовательно, для периода колебаний из ог формулы (21) следует, что о- = — '=0.006с. т В итоге для суммарной погрешности (24) получим о „= Я+ о1~ = г/0.0029 + 0.006 = 0.0067 (с), и для а=0.95 и 7 =4.47 имеем оценку (25) доверительного интервала = уа.ос = 4.47'0006? =0.030 (с). Окончательно студент Петров представил следующий результат: Т = 4.66 + 0.03 с, коэффициент доверия а=0.95.
Заметим, что результат, полученный Петровым, существенно точнее результата, полученного Ивановым, н студент Петров может надеяться на более высокую оценку своей работы, чем Иванов. Довольно часто возникает ситуация, когда косвенно измеряемая величина и является функцией других косвенно измеряемых величин у,...,~ч, т.е. и = Г(м,...п). В этом случае можно поступить одним из следующих способов. 1. Если величины у,...,и независимы, т.е. каждая из них является функцией своих прямо измеряемых величин, то для получения оценок как самой физической величины и, так и ее стандартного отклонения применяются те же формулы, что и в случае прямых измерений величин ч,...,в. Иными словами, требуемые оценки для величин у,...,в находятся, как и положено, по формулам косвенных измерений, а затем они используются для получения оценок а = У(х,..., и) как если бы они были результатами прямых измерений.
2. Если величины ч,...,в взаимозависимы, т.е. некоторые из прямо измеряемых величин х,у,...,г используются для оценивания одновременно нескольких из косвенно измеряемых х, .в', то следует свести формулу для и к уравнению косвенных измерений а = г(г(х;у" г) "- в'(х у""г)) = 'Р(» у - г) н для получения оценок использовать соответственно формулы (19)-(21). Приведем также формулы для нескольких часто встречающихся видов уравнений косвенных измерений. 1. Пусть уравнение косвенных измерений имеет вид и = 1'(х,у) = х + у и для прямо измеряемых величин х н у найдены оценки среднего арифметического х и у и стандартного отклонения Б„- и Бу (будем считать, что систематические погрешности пренебрежимо малы). Для оценки Й получаем Й = х ~- у, Так как значения частных производных ~ — ) и ~ — ) равны единице, то совсем не очевидно, что оценки, полученные при их решении, должны быть близки друг к другу. Но на практике наибольшее распространение получила именно вторая задача, и одним из широко применяемых методов ее решения является метод н нь кв в.
1. Идея метода наименьших квадратов (МНК) Пусть в ходе измерений, проведенных в соответствии с уравнением (26), получены следующие результаты: величины хпхз,...,хь...=(хД известны абсолютно точно, величины уыуз,...,уь...=(уД измеряются с известными стандартными отклонениями опон...,оь...=(оД. Пусть проведено всего и измерений упуз, ...,у„, а число неизвестных параметров ц,ч,...,в равно ш.
В качестве оценок искомых величин ц,т,...,в, полученных методом наименьших квадратов, берется совокупность значений Й, Й, ..., Й, минимизирующая функционал (27) называемый обычно Фуивижцайм "дн.-.иэадрах". Как видим, функционал 7~(ц, т, ...,ъ ) равен сумме квадратов нормированных отклонений результатов прямых измерений у; от "теоретических'* значений уц ~=у(х;; в,т,...,в), полученных в рамках выбранных модельных представлений.
Нормировка разности у; - уц„, на стандартное отклонение а; позволяет учесть вклад отдельных измерений в сумму квадратов в 1 долях стандартного отклонения. Нормировочный множитель о; часто называют «весом» отдельного слагаемого в сумме (27), а сам метод - щ т н ен их дтцв а «ваадми», Для нахождения минимума функционала обычно решается система ш уравнений < дХ (и, т, ...;в) сХ~(в, т, ...,в') дуз(в, т, ...,в) дц ' ду ' дю В ряде случаев полученная система может быть решена аналитически, тогда найденные функциональные зависимости параметров Й,т,...,Й от результатов прямых измерений уп уп,..
у„ рассматриваются как расчетные формулы, т.е. Й = Й(ум уз,...,у„) и т.д. Так как такая запись соответствует случаю косвенных измерений, то, зная стандартные отклонения (оД, можно найти стандартные отклонения и доверительные интервалы для случайных и систематических погрешностей искомых физических величин п,ч,...,%. 2. Примеры применения метода наименьших квадратов а. Объединение результатов различных измерений Пусть (у;,о;) - совокупность результатов и независимых измерений физической величины Ь, полученных при существенно разных условиях измерений, не влияющих на зту величину (например, разными методами или в разных лабораториях). Представим эти результаты как результат совместных измерений с уравнением измерений у = ('(х, Ь) = Ь = сова, (28) где Ь ' - параметр, значение которого требуется оценить по результатам и измерений.
Легко показать, что в атом случае из условия минимума 2 У~ функционала т (Ь) = ~ < — '< по параметру Ь следует а; 26 27 ! о2+ + ~~ г Х— ;=!о; г :-(Ф ог+...= —. (30) г 1 и Х 2 ;=! о; и Если значения стандартных отклонений (а!) одинаковы и равны ао, то, как нетрудно заметить, из формулы (29) для оценки Ь получается привычная формула среднего арифметического Ь = — '' —, (31) а для оценки квадрата стандартного отклонения из формулы (30) имеем: ог оо (32) т.е.
стандартное отклонение среднего арифметического в т!и раз меньше стандартного отклонения для результата отдельного измерения (сравните с формулой (2а)). Если значение стандартного отклонения оо неизвестно„то его можно оценить по результатаы измерений. В математической статистике показывается, что функционал "хи-кв хи-квадрат" имеет Ь ='= и Х вЂ”, , го; Если теперь представить оценку Ь как косвенно измеряемую величину через прямо измеряемые величины (у!) со стандартными 1 г отклонениями ошибок (о!) и учесть, что — — = — ', то оценка оу! ~х"-.
1 ; го„. дисперсии 81~ (квадрата стандартного отклонения Я-, ) для величины Ь, найденная по формуле (20), будет равна среднее значение (называемое математическим ожиданием), равное числу степеней свободы г=и-ш, где и - число измерений, а ш- число неизвестных параметров. Т.к. в данном случае ш=1, то получаем: н (у! — Ь) и ~у! — Ь) у ~Ь)=~ „2 =п — 1, ао -— ~ —, (33-34) !! 60 ! ! и-1 В итоге для квадрата стандартного отклонения среднего арифметического Б- получаем уже знакомую формулу (сравните с 2 формулой (2)) 82 . (у, — Ь) ;! (35) б.
Случай пропорциональной зависимости Пусть (х!; уг,о!)- совокупность результатов и независимых измерений (х,, у,), (х, у!), ..., (х.. у„), связанных уравнением совместных измерений вида у = !"(х,а) = а.х, (36) где а — константа, значение которой необходимо оценить. В соответствии с методом наименьших квадратов функционал х (а) будет выглядеть следующим образом Отметим, однако, что такой подход к оцениванию стандартного отклонения имеет право на применение только при условии абсолютно верной модели, т.е.
если действительно проведено и измерений одной и гной же величины Ь, если действительно для всех измерений стандартное отклонение ов одно и ого же. В случае, когда значения стандартного отклонения !! известны, то, вьигисляя значение функционала т 2 ~Ь), можно провергпь состоятельность модели (см. п.Ч.З), т.е. соответствие результатов измерений и предлагаемой модели. 28 29 упрощаются: п ,Г х;у; а= — —, Я-= —, !=! 2 ор и а и 2х2 ,') х,' !=! 2=! Если дисперсии (ар ! прямо измеряемых величин (у;) ( 21 ал"н — -:".и.л наи ~, ф р у а д ц ! остается той же (39).
Что касается оценки дисперсии 87, то она находится по приведенной выше формуле (40), где вместо дисперсии о2р используется ее оценка а~р. Эта оценка может быть найдена, как отмечалось выше в п.'!!.2.а, из условия равенства функционала Х (а) числу степеней свободы п-т, т.е. (39-40) Из условия минимума функционала х2(а) по параметру а имеем а= '=' (37) Если теперь представить оценку а как косвенно измеряемую величину, выражаемую уравнением косвенных измерений (37) через прямо измеряемые величины (у;) с дисперсиями (о; ~, то оценка дисперсии величины а находится по формуле (20) и будет равна 2 1 (38) ; !о; В случае одинадцвьж по величине дисперсий (о!~ = (о„~ для всех прямо измеряемых величин (у; ) формулы несколько 2 ) (у; — а х;) х Я=2.( ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
