В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая, А.В. Овчинников - Жорданова форма матрицы оператора (1113063)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРАВ. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников12§1. Основные понятия и теоремы1.1. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве Rn над числовым полем K. Предположим, что все корни характеристического многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим характеристический многочлен оператораf (λ) = (λ1 − λ)m1 (λ2 − λ)m2 . . . (λp − λ)mp ,где λi 6= λj при i 6= j, i, j = 1, 2, .

. . , p. Здесьm1 + m2 + · · · + mp = n.Число mi называется алгебраической кратностью собственного значения λi . Максимальное число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственномузначению λi , называется его геометрической кратностью и обозначается si .Теорема. si ≤ mi .Если mi = si , i = 1, 2, . . . , p, то количество линейно независимых собственных векторов оператора A равно размерности пространства, и из них можно составить базис впространстве Rn . В этом базисе матрица A′ оператора A имеет диагональный вид:λ1m1 строк...λ1λ2...m2 строк;A′ = λ2...λp...mp строкλpкаждое собственное значение λi встречается на диагонали этой матрицы столько раз,какова его алгебраическая кратность.

Вне диагонали все элементы матрицы равны нулю.1.2. Жорданова клетка. Рассмотрим матрицу оператора λ0 1λ0 1 0 . . . 0 0λ0 1 0 λ0 1 . . . 0 0   λ0 1 0 0 λ0 . . . 0 0  =Jk (λ0 ) =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... λ 1  λ0 1 0λ00 0 0 . . . 0 λ0(1)размера k × k. Ее характеристический многочлен (λ0 − λ)k имеет корень λ0 кратности k.Таким образом, данная матрица имеет собственное значение λ0 алгебраической кратностиЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА3k. Отвечающие ему собственные векторы — это ненулевые решения однородной системылинейных уравнений с матрицей0 1 0 ...

0 00 0 1 . . . 0 0...................B = Jk (λ0 ) − λ0 I = 0 0 0 . . . 0 10 0 0 ... 0 0Так как rang B = k − 1, так что размерность собственного подпространства равна 1,то существует лишь один линейно независимый собственный вектор. Таким образом, приk ≥ 2 не существует базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора, то естьни в одном базисе матрица оператора не может иметь диагонального вида.

Матрица Jk (λ0 )называется жордановой клеткой порядка k, соответствующей собственному значению λ0 .1.3. Присоединенные векторы. Элемент x называется присоединенным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ, если для некоторого натурального числаm ≥ 1 выполняются соотношения(A − λI)m−1 x 6= 0,(A − λI)m x = 0.При этом число m называется высотой присоединенного вектора x. Иными словами, еслиx — присоединенный вектор высоты m, то элемент (A − λI)m−1 x является собственнымвектором оператора A. Очевидно, собственные векторы — это присоединенные векторывысоты 1 (здесь (A − λI)0 = I).Рассмотрим последовательность векторов e1 , e2 , .

. . , em , для которых выполнены соотношения (e1 6= 0):Ae1 = λe1 ,Ae2 = λe2 + e1 ,Ae3 = λe3 + e2 ,...Aem = λem + em−1или, эквивалентно,(A − λI)e1 = 0=⇒ (A − λI)e1 = 0,(A − λI)e2 = e1=⇒ (A − λI)2 e2 = 0,(A − λI)e3 = e2...............=⇒ (A − λI)3 e3 = 0,...............(A − λI)em = em−1 =⇒ (A − λI)m em = 0.Таким образом, цепочка векторов e1 , e2 , . . . , em состоит из собственного вектора e1 иприсоединенных векторов e2 , . . . , em (высота присоединенного вектора ek равна k).4В. В. Колыбасова, Н.

Ч. Крутицкая, А. В. ОвчинниковВведем обозначение B = A − λI и запишем предыдущие соотношения в видеBe1 = 0=⇒ Be1 = 0,Be2 = e1=⇒ B 2 e2 = 0,Be3 = e2=⇒ B 3 e3 = 0,..................Bem = em−1 =⇒ B m em = 0.Теорема. Векторы e1 , . . . , em линейно независимы.Отметим, что в случае, когда количество векторов e1 , . . .

, em равно размерности пространства, т.е. m = n, эти векторы образуют базис в Rn , а матрица оператора A в этомбазисе имеет вид жордановой клетки порядка n с числом λ на диагонали (см. (1)).1.4. Жорданов блок. Жордановым блоком, отвечающим собственному значению λ0 , называется блочно-диагональная матрица, каждый блок которой представляет собой жорданову клетку вида (1):Ji1 (λ0 )Ji2 (λ0 ).A(λ0 ) = ...Jis (λ0 )На главной диагонали матрицы расположены s жордановых клеток Ji1 (λ0 ), Ji2 (λ0 ), .

. . ,Jis (λ0 ) порядков i1 , i2 . . . , is , где s — геометрическая кратность собственного значения λ0 .Сумма порядков этих клеток равна алгебраической кратности собственного значения λ0 ,т.е.i1 + i2 + · · · + is = m.Все элементы матрицы вне жордановых клеток равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице A(λ0 ) определен неоднозначно.Примеры жордановых блоков. Рассмотрим простой случай, когда характеристическиймногочлен матрицы имеет видf (λ) = (λ0 − λ)mи геометрическая кратность собственного значения λ0 равна s.Пример 1.

Пусть m = 2, s = 1. ТогдаA(λ0 ) =λ0 1;0 λ0имеем одну жорданову клетку порядка 2.Пример 2. Пусть m = 3, s = 1. Тогдаλ0 1 0A(λ0 ) =  0 λ0 1  ;0 0 λ0имеем одну жорданову клетку порядка 3.ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРАПример 3. Пусть m = 3, s = 2.клеток порядков 1 и 2:λ0 1A(λ0 ) =  0 λ00 05Имеем жорданов блок, состоящий из двух жордановых00 λ0либоλ0 0 0A(λ0 ) =  0 λ0 1  .0 0 λ0Пример 4. Пусть m = 4, s = 1. В этом случае имеется одна клетка:λ0 1 0 0 0 λ0 1 0 A(λ0 ) =  0 0 λ0 1  .0 0 0 λ0Пример 5. Пусть m = 4, s = 2.

Этой ситуации отвечает жорданов блок, состоящий из двухклеток, но порядки клеток однозначно не определяются: либо имеем две клетки порядка2 каждая, либо две клетки, одна из которых имеет порядок 1, а вторая — порядок 3:λ0 1 0 0λ0 1 0 0 0 λ0 0 0  , либо A(λ0 ) =  0 λ0 1 0  , либоA(λ0 ) =  0 0 λ0 1  0 0 λ0 0 0 0 0 λ00 0 0 λ0λ0 0 0 0 0 λ0 1 0 A(λ0 ) =  0 0 λ0 1  .0 0 0 λ0Пример 6. Пусть m = 4,λ0 1 0 λ0A(λ0 ) =  0 00 0s = 3.

Тогда жорданов блок состоит из0 0λ0 0 0 λ00 0  , либо A(λ0 ) =  0 0λ0 0 0 λ00 0λ0 0A(λ0 ) =  000λ00001λ00трех клеток:0 00 0  , либоλ0 1 0 λ000 .0 λ01.5. Теорема о жордановой форме матрицы оператора. Пусть линейный оператор Aдействует в линейном пространстве над полем комплексных чисел размерности n и егохарактеристический многочлен имеет видf (λ) = (λ1 − λ)m1 (λ2 − λ)m2 .

. . (λp − λ)mp ,где λj 6= λk при j 6= k,m1 + m2 + · · · + mp = n.Тогда в этом пространстве существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора A, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональную6В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинниковформу (она называется жордановой формой)A(λ1 )A(λ2 )A′ = ...A(λp ),где A(λj ) — жорданов блок, соответствующий собственному значению λj . Указанный базисназывается жордановым.Сформулированная теорема верна и в случае, когда линейный оператор действует влинейном пространстве над произвольным числовым полем K, но все корни характеристического многочлена принадлежат полю K.Рассмотрим примеры.

Обозначаем через n размерность пространства, mj и sj — алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения λj соответственно.Пример 1. Пусть n = 2, λ1 6= λ2 . Тогда матрица оператора может быть приведена кдиагональному виду:λ1 0.0 λ2Пример 2. Пусть n = 3 и оператор имеет два различных собственных значения λ1 (m1 = 2,s1 = 1) и λ2 (m2 = s2 = 1). Тогда матрица оператора может быть приведена к видуλ1 1 0A′ =  0 λ1 0  .0 0 λ2Пример 3.

Пусть n = 4 и оператор имеет два различных собственных значения λ1 (m1 = 3,s1 = 1) и λ2 (m2 = s2 = 1). Тогдаλ1 1 0 0 0 λ1 1 0 A′ =  0 0 λ1 0  .0 0 0 λ2Пример 4. Пусть n = 4 и оператор имеет дваs1 = 2) и λ2 (m2 = s2 = 2). Тогдаλ1 00 λ1A′ =  0 00 0различных собственных значения λ1 (m1 =00λ2000 .0 λ2Пример 5. Пусть n = 4 и оператор имеет два различных собственных значения λ1 (m1 = 2,s1 = 1) и λ2 (m2 = 2, s2 = 1). Тогдаλ1 1 0 0 0 λ1 0 0 A′ =  0 0 λ2 1  .0 0 0 λ2ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА7Пример 6. Пусть n = 4 и оператор имеет два различных собственных значения λ1 (m1 = 2,s1 = 1) и λ2 (m2 = 2, s2 = 2).

Тогдаλ1 1 0 0 0 λ1 0 0 A′ =  0 0 λ2 0  .0 0 0 λ2§2. Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицыПусть λ — собственное значение оператора, m и s — алгебраическая и геометрическаякратности числа λ. Опишем построение линейно независимой совокупности из m собственных и присоединенных векторов, отвечающих данному λ. Этой совокупности векторов в жордановой матрице A′ будет соответствовать жорданов блок A(λ) (см. § 1).Обозначим:B = A − λI,B k = (A − λI)k ,Nk = ker B k ,nk = dim Nk ,rk = rang B k .Ясно, что nk + rk = n.

Для удобства считаем, что B 0 = I, так что r0 = n, n0 = 0.Поскольку rang B k+1 ≤ rang B k , имеем nk+1 ≥ nk , так чтоN1 ⊂ N2 ⊂ N3 ⊂ . . . .Теорема. Существует такое натуральное число q, чтоN1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ Nq = Nq+1 = Nq+2 = . . . ,т.е. все ядра с номером, бо́льшим, чем q, совпадают с ядром Nq . При этом n1 = s,nq = m.Построим часть жорданова базиса, соответствующую данному собственному значениюλ, следующим образом.1. Возводя матрицу B в последовательные натуральные степени, найдем показатель q, начиная с которого ранг степеней матрицы B перестает уменьшаться.2.

Рассмотрим ядра Nq и Nq−1 . Пусть векторы f 1 , f 2 , · · · ∈ Nq достраивают произвольный базис пространства Nq−1 до базиса пространства Nq ; их количество равноnq − nq−1 . Эти векторы являются присоединенными векторами высоты q, и каждый из нихпорождает цепочку, состоящую из q векторов, которые войдут в состав жорданова базиса.Каждой такой цепочке будет соответствовать жорданова клетка порядка q; таким образом,в состав жордановой формы матрицы оператора A войдет nq − nq−1 жордановых клетокпорядка q.3.

Рассмотрим ядра Nq−1 и Nq−2 , а также векторы Bf 1 , Bf 2 , . . . ; их количестворавноnq − nq−1 = (n − rq ) − (n − rq−1 ) = rq−1 − rq .К этим векторам добавим векторы g 1 , g 2 , . . . из пространства Nq−1 так, чтобы система векторовBf 1 , Bf 2 , . . . , g 1 , g 2 , · · · ∈ Nq−1дополняла произвольный базис ядра Nq−2 до базиса ядра Nq−1 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги