В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая, А.В. Овчинников - Жорданова форма матрицы оператора (1113063), страница 3
Текст из файла (страница 3)
m = 4. Рассмотрим матрицу B = A − λI, ее степени,r1 = 2,r2 = 0, −1−110, , n1 = 2,N1 = L 0 −2 01 N2 = R4 ,Выберем два вектора f 1 , f 2 ∈ N2 , f 1 , f 2 ∈/ N1 : 00 0 0f1 = 1 , f2 = 001n2 = 4..Они являются присоединенными векторами высоты 2; соответствующие собственные векторы−4−7 5 9 Bf 1 = 2 , Bf 2 = 4 −1−2лежат в пространстве N1 . Жорданова лестница имеет видN2 f 1f2N1 Bf 1 Bf 2Построенные четыре вектора образуют жорданов базис: −70−4 9 0 5 e1 = Bf 1 = 2 , e2 = f 1 = 1 , e3 = Bf 2 = 4 ,−20−1Матрица оператора в жордановом базисе20A′ = 001200002000 .1 2Пример 7.1 −1A= 0013 −234 −2 .011 0 −130 0 e4 = f 2 = 0 .118В.
В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. ОвчинниковХарактеристический многочлен 1−λ13−2 −1 3 − λ4−2det(A − λI) = 01−λ1 0 00−1 3 − λимеет корень λ = 2 кратности 4, т.е.последовательные степени и их ядра:−1 13 −2 −1 14 −2 , r1 = 3,B= 0 0 −11 0 0 −110 00 10 0 −1 2 ,r2 = 2,B2 = 0 00 0 0 00 00 0 −1 1 0 0 −1 1 ,r3 = 1,B3 = 0 00 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 r4 = 0,B4 = 0 0 0 0 ,0 0 0 0 = (2 − λ)4m = 4.
Рассмотрим матрицу B = A − λI, ееN1 = L N2 = L N3 = L N4 = R4 ,1 1 ,0 0 0 10 1 ,,0 0 00 010 0 10 , ,1 0 0001n1 = 1,n2 = 2, ,n3 = 3,n4 = 4.Выберем вектор f ∈ N4 , f ∈/ N3 , например,0 0 f = 0 .1Он является присоединенным вектором высоты 4 и порождает цепочку векторов 11−2 −2 ∈ N3 , B 2 f = 2 ∈ N2 , B 3 f = 1 ∈ N1 ;Bf = 0 0 1 001Bf , B 2 f — присоединенные векторы высоты 3 и 2 соответственно, B 3 f — собственныйвектор.
Таким образом, жорданова лестница имеет видN4N3N2N1fBfB2fB3fЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРАЖорданов базис состоит из векторов e1 =оператора имеет вид20A′ = 0019B 3 f , e2 = B 2 f , e3 = Bf , e4 = f ; матрица1200012000 .1 2Пример 8.0 −6 −7 −9 1534 .A= 0042 00 −11Характеристический многочлен 0 − λ −6−7−9 15−λ34det(A − λI) = 004−λ2 00−1 1 − λ = (2 − λ)2 (3 − λ)2имеет два корня: λ1 = 2 кратности m1 = 2 и λ2 = 3 кратности m2 = 2.Рассмотрим собственное значение λ1 = 2. Рассмотрим матрицу B1 = A − λ1 I = A − 2I,ее последовательные степени и их ядра2: −3 −1−2 −6 −7 −9 1 10334 , n1 = 2,, , r1 = 2, N1 = L B= 0022 −1 0 0 100 −1 −1 −2 −6 −9 −11−3−11345102,r=2,N=LB =,22 −1 0 , n2 = 2.0022 00 −1 −10 1Таким образом, q = 1, и мы выбираем два вектора f 1 , f 2 ∈ N2 , которые являются собственными векторами:−1−3 0 1 f1 = −1 , f 2 = 0 .10Эти векторы образуют часть жорданова базиса, которой отвечают две жордановых клеткипорядка 1 каждая:2 0.0 22Для краткости будем обозначать эту матрицу просто через B.20В.
В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. ОвчинниковТеперь рассмотрим собственное значение λ2 = 3, соответствующую матрицуλ2 I = A − 3I, ее последовательные степени и их ядра3:−2−3 −6 −7 −9 11234,, r1 = 3,N1 = L B=0 0012 0 00 −1 −2 1 −23657 0 −1 −2 −2 −3 12 , r2 = 2,N2 = L B = 0 , −2 , 00 −1 −2 1 00012−3 −6 −5 −7 1223 , r3 = r2 = 2,B3 = 0012 00 −1 −2B2 = A −n1 = 1,n2 = 2,n3 = 2.Таким образом, q = 2.Выберем вектор g ∈ N2 , g ∈/ N1 , например,1 0 g= −2 ;1он является присоединенным вектором высоты 2 и порождает вектор2 −1 Bg = 0 ,0который является присоединенным вектором высоты 1, т.е.
собственным вектором.Жорданов базис состоит из векторов−1−321 0 1 −1 0e1 = f 1 = −1 , e2 = f 2 = 0 , e3 = Bg = 0 , e4 = g = −21001Матрица оператора в жордановом базисе имеет вид2 0 0 00 2 0 0A′ = 0 0 3 10 0 0 33.Как и ранее, для краткости будем обозначать эту матрицу просто через B..ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА21§4. Другой способ построения жорданова базисаМожно строить жорданов базис, начиная с собственных векторов, решая систему(A − λI)X = O(3)для нахождения собственных векторов, систему(A − λI)Y = X(4)для нахождения присоединенных векторов высоты 1 и т. д. Трудность заключается втом, что система (4) может оказаться разрешимой не при любом собственном вектореX (если собственное подпространство не одномерно), так что приходится заботиться онадлежащем выборе этого собственного вектора, что приводит к решению систем линейных уравнений с параметром. Эта трудность усугубляется в случае, когда собственномувектору отвечает длинная цепочка присоединенных векторов.Пример 1.
Дана матрица оператора в некотором базисе:3 0 0A = 0 3 0 .3 0 3Характеристическое уравнение 3−λ003−λ0det(A − λE) = 0 303−λ = (3 − λ)3 = 0имеет корень λ = 3 кратности m = 3. Система (3) принимает вид 1 00 0 0x 0 0 0 x2 = 0 .0x33 0 0Отсюда x1 = 0, а x2 , x3 произвольны. Значит, собственные векторы имеют вид 00X = C1 1 + C2 0 ,10(5)где C1 и C2 — произвольные числа, не равные нулю одновременно. Линейно независимыхсобственных векторов два, так что геометрическая кратность данного собственного значения s = 2.
Остается найти m − s = 1 присоединенный вектор. Он должен удовлетворятьуравнению (4). Подставляя в (4) λ = 3 и найденный X из (5), получим систему 1 0 0 0y0 0 0 0 y 2 = C1 .(6)33 0 0yC2Эта система совместна, если выполнены условия теоремы Кронекера—Капелли:0 0 0 00 0 0rang 0 0 0 = rang 0 0 0 C1 ,3 0 0 C23 0 022В. В. Колыбасова, Н.
Ч. Крутицкая, А. В. Овчинниковоткуда C1 = 0, C2 6= 0. Достаточно найти одно из решений системы (6), например,C2 /3Y = 0 ;0это и будет вектор, присоединенный к собственному вектору0 0 .C2Выберем C2 = 3. Жорданов базис будет состоять из собственного вектора 0e1 = 0 ,3присоединенного к нему вектора 1e2 = 0 0и еще одного собственного вектора, линейно независимого с e1 , например, 01 .e3 =0В этом базисе матрица оператора имеет жорданову форму3 1 0J1 0Ae == 0 3 0 .0 J20 0 3Жорданова клетка3 1J1 =0 3соответствует собственному вектору e1 и присоединенному к нему вектору e2 , жордановаклеткаJ2 = (3)соответствует собственному вектору e3 .Пример 2.
Матрица оператора в некотором базисе имеет вид2510 .A = −1 −3−2 −3 −2Оператор имеет собственное значение λ = −1 алгебраической кратности m = 3 и геометрической кратности s = 1. Собственные векторы:2X = C −1 , C 6= 0.−1ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА23Остается найти m − s = 2 присоединенных к X вектора из условий(A − λI)Y = X,(7)(A − λI)Z = Y.(8)Система (7) совместна при всех C. Из (7) определяем0Y = C/2 .−C/2Система (8) также совместна при всех C. Из (8) находим0Z = −C/4 .5C/4Выбрав C = 4, построим жорданов базис:08e1 = −4 , e2 = 2 ,−2−4Жорданова форма матрицы оператора0e3 = −1 .5−1101 A′ = 0 −100 −1состоит из одной жордановой клетки.Пример 3.
Матрица оператора в некотором базисе:3 −402 4 −5 −24A= 003 −2002 −1.Характеристическое уравнение имеет корни λ1 = 1 кратности m1 = 2 и λ2 = −1 кратности m2 = 2. Собственному значению λ1 = 1 отвечают собственные векторы 1 1 X1 = C1 1 , C1 6= 0,1т.е. геометрическая кратность собственного значения λ1 = 1 равна 1.
Присоединенный кX1 вектор Y1 находится из системы(A − λ1 I)Y1 = X1 ,которая совместна при всех C1 . Например,C1 /2 0 Y1 = C1 /2 .024В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. ОвчинниковУдобно положить C1 = 2.Корню λ2 = −1 отвечают собственные векторы 1 1 X2 = C2 0 , C2 6= 0,0т.е. геометрическая кратность собственного значения λ2 = 1 равна 1. Присоединенный кX2 вектор Y2 находится из системы(A − λ2 I)Y2 = X2 ,совместной при всех C2 . Например,0 −C2 /4 .Y2 = 00Удобно положить C2 = 4.Теперь строим жорданов базис: 12 0 2 e1 = X1 = 2 , e2 = Y1 = 1 ,02Жорданова форма матрицы оператора:10A′ = 004 4 e3 = X2 = 0 ,00 −1 e4 = Y2 = 0 .0100100 .0 −11 00 −1Пример 4.
Матрица оператора в некотором базисе:3 −11 −7 9 −3 −7 −1A= 004 −8002 −4.Характеристическое уравнение имеет корень λ = 0 кратности m = 4. Собственные векторыимеют вид: 15 3 0 22 X = C1 0 + C2 6 , C1 + C2 6= 0,03т.е. геометрическая кратность собственного значения s = 2. Остается найти m − s = 2присоединенных векторов. При этом возможны два случая: оба присоединенных вектораЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА25относятся к одному и тому же собственному вектору либо разным собственным векторам.Жорданова форма матрицы может иметь один из следующих видов:0 10 10 10 либо A′ = .A′ = (9)00 1 00Будем искать присоединенный вектор Y из уравнения (4).
В отличие от системы (6) изпримера 1, для системы (4) в данном примере условие совместности выполнено при всехзначениях C1 и C2 . Это значит, что присоединенные векторы существуют для всех собственных векторов, в частности, для каждого из двух линейно независимых собственныхвекторов будет существовать присоединенный вектор.
Значит, в данном примере реализуется жорданова форма с двумя клетками порядка 2 каждая. Частное решение системы (4)имеет видC1 /3 + 7C2 /60.Y =3C2 /20Построим жорданов базис. Положив C1 = 3, C2 = 0, получим собственный вектор 3 9 e1 = 0 0и присоединенный к нему вектор1 0 e2 = 0 .0Положив C1 = 0, C2 = 6, получим собственный вектор30 0 e3 = 36 18и присоединенный к нему вектор7 0 e4 = 9 .0Векторы e1 , e2 , e3 , e4 образуют жорданов базис, в котором матрица оператора0 1 0 0 0 0 0 0 A′ = 0 0 0 1 .0 0 0 026В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А.
В. Овчинников§5. Задачи для самостоятельного решенияПривести матрицу линейного оператора к жордановой форме. Построить каноническийбазис. Для контроля правильности построения канонического базиса воспользоваться соотношением P A′ = AP , где A — данная матрица, A′ — жорданова форма матрицы, P —матрица перехода к каноническому базису.4 1 −11 4 −8 4 −1 5 −6 4 5 .1. −2 48. 0 0 −1 4 .1 010 0 −1 34 −1 −34121−256 .2. −1 2 −6 −4 1 −10.9. 0 051 0 0 −132 −1 −155 .3. −10 4 −1 −10 −11 −1 40 −1 .10. 0 020 0 4 −5 70 002 −1 4 −3 5 .4. 0 00 4 1 4 5 −13 −1 5 4 −9 0 0 −1 411.
0 0 5 −4 .4 1110 0 2 −1 −1 20−1.5. 14−20 0 041 −1 5 −1 0 0 0 −12.12. 0 03 0 0 00 30 4 −6 8 −1 4 −4 6 .14−686. 0 00 4 −2 7 −5 6 .13. 0 0 −1 4 0 01 4 0 0 −1 54 132 −1 2 −4 −3 −16−610.7. −3 8 −5 7 0 041 .14. 0 00 0 −121 4 0 0 −1 5ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРАОтветы301.0302.0203.02 04. 003 05.
002 06. 003 07. 00130030030120013001200130001 .301 .301 .30 01 0 .2 1 0 20 01 0 .3 1 0 30 00 0 .2 1 0 20 00 0 .3 1 0 33 08. 003 09. 002 010. 003 011. 003 012. 003 013. 002 014. 001300130012001300130005000500001000400120013000300030003000 .1 100 .1 400 .0 200 .0 100 .0 300 .1 300 .1 327.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
