В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая, А.В. Овчинников - Жорданова форма матрицы оператора (1113063), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Векторы g 1 , g 2 , . . . являются присоединенными векторами высоты q − 1, и каждому из них будет соответствовать,8В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинниковво-первых, цепочка векторов жорданова базиса, и во-вторых, жорданова клетка порядкаq − 1. Количество добавляемых векторов g 1 , g 2 , . . . равноnq−1 − nq−2 − (nq − nq−1 ) = −nq + 2nq−1 − nq−2 = rq − 2rq−1 + rq−2 ;таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 1.4.
Рассмотрим ядра Nq−2 и Nq−3 и векторы B 2 f 1 , B 2 f 2 , . . . , Bg 1 , Bg 2 , . . . . К этимвекторам (если их не хватает) добавим векторы h1 , h2 , . . . из пространства Nq−2так, чтобы совокупность векторовB 2 f 1 , B 2 f 2 , . . . , Bg 1 , Bg 2 , . . . , h1 , h2 , · · · ∈ Nq−2дополняла произвольный базис пространства Nq−3 до базиса пространства Nq−2 . Количество добавляемых векторов h1 , h2 , . . . равноnq−2 − nq−3 − (nq−1 − nq−2 ) = −nq−1 + 2nq−2 − nq−3 = rq−1 − 2rq−2 + rq−3 ;таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 2.Процесс продолжаем аналогично. Наконец, рассмотрим ядро N1 и векторыB q−1 f 1 , B q−1 f 2 , . . .
,q−2q−2B g1, B g2, . . . , ∈ N1 .B q−3 h1 , B q−3 h2 , . . . ,Bv , Bv , . . .12Если эта система не образует базис пространства N1 , то добавим собственные векторыu1 , u2 , . . . так, чтобы пополненная система являлась базисом в N1 .Итак, мы описали процесс построения жорданова базиса и выяснили, что количествожордановых клеток порядка k, входящих в состав жордановой формы матрицы оператора,может быть найдено по формулеtk = −nk+1 + 2nk − nk−1 = rk+1 − 2rk + rk−1 .Построенную часть жорданова базиса, состоящую из m векторов, соответствующих данному λ (m — алгебраическая кратность этого собственного значения), запишем в таблицу(«жорданова лестница»):NqNq−1Nq−2...f1Bf 1B2f 1...N1B q−1 f 1 B q−1 f 2 .
. .f2Bf 2B2f 2...............g1Bg 1...g2Bg 2............B q−2 g 1 B q−2 g 1 . . .h1...h2.........B q−3 h1 B q−3 h2 . . .u1 u2 . . .Все векторы таблицы линейно независимы, и их число равно m (алгебраическойкратности собственного значения λ). Каждому столбцу этой таблицы соответствует одна жорданова клетка, порядок которой равен высоте столбца. Количествостолбцов жордановой лестницы, т.е. полное количество жордановых клеток в блоке, соответствующем собственному значению λ, равно геометрической кратности sэтого собственного значения.Будем нумеровать векторы построенной части базиса по столбцам жордановой лестницы: внутри каждого столбца снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке.ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА9Например, пусть e1 , . .
. , eq — векторы первого столбца жордановой лестницы. Тогдаe1 = B q−1 f 1 ,e2 = B q−2 f 1 ,...eq−1 = Bf 1 ,eq = f 1 ,⇒Be1 = 0,Be2 = e1 ,...Beq−1 = eq−2 ,Beq = eq−1 ,⇒Ae1 = λe1 ,Ae2 = λe2 + e1 ,...Aeq−1 = λeq−1 + eq−2 ,Aeq = λeq + eq−1 .Этой группе векторов (собственный вектор e1 и присоединенные к нему векторы e2 , ...,eq ) жорданова базиса соответствуют первые q столбцов матрицы A′ , которые имеют видJq (λ),0где Jq (λ) — жорданова клетка порядка q с числом λ на главной диагонали.В следующих q столбцах матрицы A′ , определенных векторами второго столбца жордановой лестницы, расположена жорданова клетка Jq (λ) так, что числа λ стоят на главнойдиагонали матрицы A′ , а элементы вне клетки равны нулю.
Подобным образом для данного λ получаем m столбцов матрицы A′ . На этих m столбцах находится жорданов блокA(λ).Для других собственных значений эта схема повторяется, в результате чего получимжорданову матрицу A′ , указанную в § 1, и соответствующий жорданов базис.§3. Примеры решения задачДана матрица A линейного оператора в некотором базисе. Требуется найти жорданов базиси жорданову форму матрицы оператора в этом жордановом базисе.
Рассмотрим примерырешения такой задачи методом построения жорданова базиса, описанным в § 2.Пример 1.0 1 0A = −4 4 0 .−2 1 2Характеристический многочленdet(A − λI) = (2 − λ)3имеет корень λ = 2 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица B = A − λI равна−2 1 0B = −4 2 0 .−2 1 0Легко проверить, чтоr1 = rang B = 1,n1 = n − r1 = 3 − 1 = 2.10В. В.
Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. ОвчинниковСобственные векторы находим, решив однородную систему линейных уравнений BX = O;фундаментальная совокупность решений состоит из двух векторов, например, 012 , 0 .(2)10Количество этих векторов (т.е. геометрическая кратность собственного значения) равнодвум, s = 2, так что для построения жорданова базиса требуется еще один присоединенный вектор.Так как B 2 = O, то ядро N2 оператора B 2 совпадает со всем пространством, т.е. n2 = 3,и при этом q = 2.Дополним базис ядра N1 , т.е. набор векторов (2), до базиса ядра N2 , например, вектором 1/ N1 .f 1 = 0 ∈ N2 , ∈0Тогда−2Bf 1 = −4 ∈ N1 .−2Дополним вектор Bf 1 до базиса пространства N1 вектором 0g = 0 ∈ N1 .1Построим жорданову лестницу:N2N1f1Bf 1 gЖорданов базис:e1 = Bf 1e2 = f 1e3 = g⇒соответствует жорданова клетка порядка 2,⇒соответствует жорданова клетка порядка 1.При этомBe1 = 0,Be2 = e1 ,Be3 = 0,т.е. e1 — собственный вектор, e2 — его присоединенный вектор, e3 — собственный вектор.В жордановом базисе 01−2e1 = −4 , e2 = 0 , e3 = 010−2ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА11матрица оператора A′ имеет вид2 1 0A′ = 0 2 0 .0 0 2Пример 2.Характеристический многочлен1 −3 3A = −2 −6 13 .−1 −4 8 1−λ−33det(A − λI) = −2 −6 − λ 13 −1−48−λ = (1 − λ)3имеет корень λ = 1 кратности 3, т.е.
m = 3. Матрица B = A − λI равна0 −3 3B = −2 −7 13 −1 −4 7и мы имеемr1 = 2, n1 = 1.Фундаментальная совокупность решений системы BX = O состоит из одного вектора,например, 31 ∈ N1 .1Следовательно, геометрическая кратность собственного значения равна единице:s = 1.Далее, матрица B 2 равна3 9 −18B 2 = 1 3 −6 ;1 3 −6для нее имеемr2 = 1, n2 = 2,и базис ядра N2 состоит из двух векторов, например, 6−3 1 , 0 .10Поскольку B 3 = O, так чтоr3 = 0, n3 = 3,то ядро N3 оператора B совпадает со всем пространством, т.е. q = 3.Вектором f 1 = (1, 0, 0)T дополним базис ядра N2 до базиса пространства N3 . ВекторBf 1 = (0, −2, −1)T дополняет базис ядра N1 (т.е.
вектор (3, 1, 1)T ) до базиса ядра N2 .Вектор B 2 f 1 = (3, 1, 1)T образует базис пространства N1 . Жорданова лестница имеетвид212В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. ОвчинниковN3 f 1N2 Bf 1N1 B 2 f 1Жорданов базис: 32e1 = B f 1 = 1 ,10e2 = Bf 1 = −2 ,−1 1e3 = f 1 = 0 .0Здесь e1 — собственный вектор, e2 и e3 — два его присоединенных вектора.Матрица оператора A′ имеет вид жордановой клетки1 1 0A = 0 1 1 .0 0 1Пример 3.Характеристический многочлен4 −5 2A = 5 −7 3 .6 −9 4 4−λ−52−7 − λ3det(A − λI) = 5 6−94−λ = (1 − λ)λ2имеет два корня: λ1 = 0 кратности m1 = 2 и λ2 = 1 кратностиРассмотрим собственное значение λ1 = 0. Матрица4 −55 −7B = (A − λ1 I) = (A − 0 · I) =6 −9m2 = 1.23 4имеет ранг r1 = 2, так что n1 = 1, а фундаментальная совокупность решений однородной системы BX = O состоит из одного вектора, например, (1, 2, 3)T .
Следовательно,геометрическая кратность рассматриваемого собственного значения равна s = 1.Далее,3 −3 1B 2 = 3 −3 1 , B 3 = B 2 .3 −3 1Таким образом, ядра N2 и N3 совпадают, так что q = 2.Находим базис ядра N2 , который является фундаментальной совокупностью решенийсистемы B 2 X = O: −111 , 0 .30При этом r2 = 1, s2 = n2 = 2.Дополним базис в N1 до базиса в N2 вектором f 1 = (1, 1, 0)T . Тогда вектор Bf 1 =(−1, −2, −3)T уже образует базис в N1 .
Жорданова лестница имеет видЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА13N2 f1N1 Bf1Часть жорданова базиса: −1e1 = Bf 1 = −2 ,−3 1e2 = f 1 = 1 ,0где e1 — собственный вектор, e2 — его присоединенный вектор. Первый и второй столбцыматрицы оператора A′ имеют вид0 1 ...0 0 . . . .0 0 ...Теперь рассмотрим собственное значение λ2 = 1. В этом случае матрица3 −5 2B = (A − λ2 I) = (A − I) = 5 −8 3 6 −9 3имеет ранг r1 = 2, поэтому ее ядро состоит из одного вектора, например, e3 = (1, 1, 1)T ,который является собственным вектором. При этом m2 = s2 = 1.Итак, e1 , e2 , e3 — жорданов базис и0 1 0A′ = 0 0 0 .0 0 1Пример 4.1 −1A= 00Характеристический многочлен 1−λ10−1 −1 3 − λ0−1det(A − λI) = 02−λ0 0 0002−λ13000 −10 −1 .20 02 1−λ1= −1 3 − λ 2−λ0· 02−λимеет корень λ = 2 кратности 4.
т.е. m = 4. Рассмотрим матрицу−1 1 0 −1 −1 1 0 −1 ;B = A − 2I = 0 0 00 0 0 00 = (2 − λ)414В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинниковее ранг равен r1 = 1 и1ПосколькуN1 = ker B = L 10 01 , 0 0−11имеем00B2 = 00n2 = 4,000000000 0 , , 1 0 n1 = 3.00 ,0 0N2 = ker B 2 = R4 .Дополним базис пространства N1 до базиса пространства N2 ; для этого возьмем какойлибо вектор f ∈ N2 , f ∈/ N1 , например, f = (0, 0, 0, 1)T ; он является присоединеннымвектором высоты 2. Вектор Bf = (−1, −1, 0, 0)T ∈ N1 является присоединенным вектором высоты 1, т.е. собственным вектором.
Для построения базиса требуется еще двавектора g 1 , g 2 , которые выбираются из N1 . Для их правильного выбора проанализируемлинейные зависимости между столбцами матрицы01 0 −1 10 0 −1 00 10 1 −1 00(первые три столбца этой матрицы — это базис N1 , последний столбец — вектор Bf ). Приводя эту матрицу методом Гаусса к упрощенной форме,1 0 0 −1 0 1 0 −1 , 0 0 10 0 0 00видим, что вектор Bf линейно выражается через первые два столбца этой матрицы.Поэтому второй и третий столбцы можно взять в качестве g 1 и g 2 : 01 0 0 g1 = 0 , g2 = 1 .0−1Таким образом, жорданова лестница имеет видN2 fN1 Bf g 1 g 21Через L{} обозначена линейная оболочка стоящих в фигурных скобках векторов, которые образуют еебазис.ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРАЖорданов базис состоит из векторов−1 −1 , e2 = f = e1 = Bf = 0 01 0 e3 = g 1 = 0 ,−100 ,0 1150 0 e4 = g 2 = 1 .0Жорданова форма матрицы оператора:20A′ = 001200002000 .0 2Пример 5.Характеристический многочлен1 −1A= 001 9 −63 11 −7 .0 20 0 02 1−λ19−6 −1 3 − λ 11−7det(A − λI) = 002−λ0 0002−λимеет корень λ = 2 кратности 4, т.е.
mпоследовательные степени и их ядра:−1 1 9 −6 −1 1 11 −7 , r1 = 2, N1B= 0 0 00 0 0 000 0 2 −100 2 −1 ,r2 = 1, N2B2 = 0 0 00 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 r3 = 0, N3B3 = 0 0 0 0 ,0 0 0 0 = (2 − λ)4= 4. Рассмотрим матрицу B = A − λI, ее 1 1 ,=L 0 0 1 0 ,=L 0 0= R4 ,−3 0 ,1 2 00 01 , 0 120n1 = 2, , n2 = 3;n3 = 4.Возьмем какой-либо вектор f ∈ N3 , f ∈/ N2 , например, f = (0, 0, 0, 1)T . Он являетсяприсоединенным вектором высоты 3.
Вектор−6 −7 Bf = 0 ∈ N2016В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинниковявляется присоединенным вектором высоты 2, а вектор−1 −1 B2f = 0 ∈ N10— присоединенным вектором высоты 1, т.е. собственным вектором.Таким образом, мы построили три вектора жорданова базиса: e1 = B 2 f , e2 = Bf ,e3 = f . Требуется построить еще один вектор; выберем его из пространства N1 = ker Bтак, чтобы он был линейно независим с построенными ранее векторами f , Bf , B 2 f ,например,−3 0 g= 1 .2Итак, жорданова лестница имеет видN3 fN2 BfN1 B 2 f gЖорданов базис состоит из векторов−6−1 −7 −1 e1 = B 2 f = 0 , e2 = Bf = 0 ,000 0 e3 = f = 0 ,1−3 0 e4 = g = 1 ,2а матрица оператора в жордановом базисе имеет вид2 1 0 0 0 2 1 0 A′ = 0 0 2 0 .0 0 0 2Пример 6.3 −1A= 001 −4 −7159 .044 0 −10Характеристический многочлен 3−λ1−4−7 −1 1 − λ59det(A − λI) = 04−λ4 0 00−1 0 − λ = (2 − λ)4ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРАимеет корень λ = 2 кратностии их ядра:11 −4 −7 −1 −159B= 002400 −1 −20 0 0 0 0 0 0 0 B2 = 0 0 0 0 ,0 0 0 0174, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
