В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Ьс л 0 Р Х Р -«ъгфо»ИЪ«о ® ~й Ф а О -а Р о Ф х Е х Сб о х 0 Р с ~ «»! « ой,бай ХРФ;,Ъ ОХ„ х ' «ъ ОООФОПоа„ Ф«Иааф х 0«о Р ,ъ Ъ« Ф б«. а х Х Р О ' Х»5 ЕНР" СП аа Рс нен х~ .ааоа ~'с Ъ«х с Х Н «Ъ Р ...Иох«О~С хйх сх а "1 О Я И а И о с х И хан Ха Х "О Р Х Об О ". «Ъ а С Х «н Р Ф Р х х а ах» о.. х х а '~ о х х Оу а а 'с а К »б ~ о сб а ххаас Дф но х йх~ оо а ъьсх он ах ф Р"ИЕРЕ ОХПФЛ хфф 2 «! х «ьх х ф Офа«аба ь О "Л .СР с й х а х "оа О й О «ъ Х Х о х Еь Р а « х -!'- $ о «ъ х «х'с О Хни Р а хф Фь «ъ х Ф б,«Ж ха ф «ъ б Р аь 6 х 'О х й х а х а О И бо х с «ХЕ И Р 'н Р Ъб «ъ х О х,~ х а а Х О а нхснсх ОФООР "О 'с! Р ъ;! «, Ра Хах ЮР х х сО ФНХЬФа ! Н Ф Х Р а х Ф Ф Х о ха а0« Ф О Ь О х аха а ' Сб Р Х'ьаоф х й Р ФЬь а Ф ~ Р фа Ь Р ХЬ Ф а ' О а Оь Ф ф с Х Е ххохх Оафафр афхахь х еС>„В'н х' а х о! х х НХОФ х хо х Хсох х о а хь ХФ« а ааа 9ох" х И ьа х х ' х а а Ф «Ъ Ь Ф о х Ф о х Н Ф .О Ф Р х х Е а х Ф о о о 'О РЬ О! Р й ~ Ф О Р Р аъ 'О Е о ь х Е 2 ь ь Ь Д О! х х И к х х« ж Е о 5 о 'ь ж Е 'С 'Е» х й 314 315 его решение го, что (111.4) (111.5) 'ОАг~ — и)ф = ГпГ йА» — ™йл.

гак (111.3) Глава Х1Х. Линейные нормированные пространства Пругими словами, нормальное решение — это решение наименьшей длины. Корректность определения вытекает из следующей теоремы. Теорема 111.3. Ялн любого разрешимого уравнениг (111.1) нормальное решение сущестпвуетп и единственно. Показательство. Сушествование.

Пусть г — решение уравнения (111.1). Совокупность Н всех решений этого уравнения является линейным многообразием Н = г + кегА, так как для множеств Н и з + кегА, как легко показать, имеет место двустороннее вложение. Из свойств линейного многообразия в евклидовом (унитарном) пространстве (теорема 73.1) следует сушествование и единственность нормального вектора сдвига го, ортогонального направляюшему подпространству кегА.

Причем вектор го имеет наименьшую длину среди всех решений уравнения (111.1). Таким образом, го— нормальное решение уравнения (111.1). Единственность. Пусть гт — нормальное решение (111.1). Тогда гт б Н, т.е. гт = го + ш, где ш б кегА, (ш, го) = О, и Оетр = ~~го4+ ((ш4. Так как )~го(~д = 1~гт(!д, то то = д и зт — — го ° 3 ам е ч а и и е 2. Показательство теоремы дает правило для отыскания нормального решения (теорема 73.2): го — перпендикуляр, опушенный из любого решении г уравнения (111.1) на хег А. Псевдорешение.

Рассматривается уравнение (111.1), не обязательно разрешимое. Вектор т = Аг — и называется иевнэкод вектора ,, г, функция Е'(г) = ОАи — г))д~ — дтункииоиалом иевгзки. Очевидно, вектор г является решением (111.1) тогда и только тогда, когда его невязка г = д, т.е. когда Огйд = О. Поскольку нулевое значение нормы является наименьшим, то решение з можно рассматривать как вектор, невязка которого имеет наименьшую норму, или, как принято говорить, минимизирующий дтуикиионал невязка. Задача отыскания векторов, минимизируюших функционал невязки, имеет смысл и тогда, когда уравнение (111.1) неразрешимо (например, вследствие погрешностей измерения А и и).

В этом случае, если г минимизирует функционал невязки, то расстояние р(Аг, и) = 'ОАг — и~~и минимально и, следовательно, при таком г левая часть уравнения Аг "ближе" всего к правой части и. Пля многих задач вычислительной математики это свойство служит оценкой качества приближенного решения г. Вектор г+ б Гт называется псевдорешеиием уравнения (111.1), если Пругими словами, псевдорешение — это вектор пространства тт, ми- нимизируюший функционал невязки. з7 11.

Линейные операторные уравнения чевидно, если УРавнение (111 1) разрешимо совпадает с Решением в обычном смысле, Т е о Р е м а 111.4. Псевдорешение существуе д бое операторного уравнеиин (111.1). Показательство. Согласно определению (111.3), ~~Аз+ — ийл = тпГ (~Аг — и~~в = тпГ ~Аг — и~ = тпГ р(Аз, и) = тпГ р(у, и).

теь' теу тяи геиол Это означает, что вектор Аг+ — это вектор из ппА, который ближе всего расположен к вектору и. В силу теоремы 74.2 о кратчайшем сстоянии отсюда следует, что Аг+ — ортогональная проекция векра и на ппА. Пусть и = д + Ь, где д б 'ппА, Ь .1 ппА. Тогда г+ ляется решением в обычном смысле уравнения евидно, оно имеет решение, так как у к ттп„4), ° Уравнение А"Аг = А'и ывается нормальным уравнением для уравнения (111 ц Теорема 111.5. Вектпор г+ простраистпва Гт нвлнетсг псевдорешеиием уравиенин (111.1) тогда и птолько тогда, когда в+в решение нормального уравиеиин (111.5).

Показательство. Выше было показано, что г+ — псевдорешение (111.1) тогда и только тогда, когда з+ — решение в обычном смысле уравнения (111.4). Покажем, что уравнения (111.4) и (111.5) равносильны. Пействительно, А'и = А"у, так как и = у + Ь где Ь б пп~ А = йегА". При этом если з — рещение (111.4), то Аг = у, поэтому А Аг = А'и и г является решением (111.5). Если же г— решение (111.5), то А"Аг = А'д или А"(Аг — у) = д. Значит х Аг — д б 1сегА' = пп А. По Аг б ппА, у б ппА, следовательно, Аг — д б ппА. Отсюда с учетом соотношения Аг — д б 'пп А, полученного выше, следует, что Аз — д = д, т.е.

г является решением (1 1 1.4) . ° Псевдорешение наименьшей длины называется нормальным псевдорешенаем. Иэ теорем 111.3, 111.4 следует, что нормальное псевдорешение сушествует и единственно для любого уравнения (111.1). ПРелметный ухлэа тель Предметный уиазатель Аксвамы группы 125 — кольца 133 — лввейвого пространства 56, 188 — нормы 303 — расстояния 215 — скалярного праиэведеввм 203 Алгебраиад полем Р 228 — лввейных операторов 228 Алгебраическая операция 43 — коммутативнам 44 — ассоциативнам 44 Алгебраическое пополнение 27 Арифметическое простренство 57, 188 База системы векторов 189 Базис 69, 190 — естественный 192 — иорданов 251, 253 — кановвческнй 251, 253 — артанормироваввый 79, 207 — Шура 260 Базисные строки (столбпы) 65 Базисный минор 65 Безу теорема 151 Билинейная форма 274 — — выра:кденная 276 - — от переменных 275 — — полмрнах 276 — — симметрвчвам 274 Билинейной формы матрица 275 - — ранг 276 Биортогональнак пара базисов 257 Биортогональные системы векторов 257 Ведуший элемент 18 Вехтор Ы, 57 — единичный 17 - корневой 248 — направляхцций 107 — яормали 111 — присоединенныв 248 — свободный 51 — собственный 233, 240 Вектор-столбец 12 Вектор-строка 12 Вектора длина 51, 205 — величина 51 — координаты 71, 76 — проекции 79, 81, 212 — разложение по подпространствам 195 Векторное произведение 85 Векторы холлинеарные 51 — компланарвые 51 - ортогональвые 206 Виста формулы 157 Вращений метод 177 Высота корневого вектора 248 Гамильтона — Кэпи теорема 254 Гаусса метод 31, 68, 101 Гаусса — Жордана метод 35 Гипербола 164 Гвперболаид 291, 296, 297 Гиперболы асвмптоты 166 †вет 165 — директрисы 167 — каноняческое уравнение 165 †полуо 165 — фокальныв параметр 172 — фокусы 164 — эксцентриситет 166 Гиперплоскость 75 Гвперповерхяость второго пермяка 288 Гомоморфкзм групп 133 Грама-Шмидтапроцесс ортогонализации 209 гру 1гб — абелева 115 — конечнак 129 Декартово провзведение 37 Деление отрезка в данном отванжнив 78 Делителинулк 135 Дополнение множества 37 Дополнительное надпространство 198 Дополнительный минор 27 Евхлида алгоритм 150 Евклидова пространство 203 Елиннчные строки (столбцы) 17 гКордана метод 35 Жорданова клетка 241 — форма 253, 254 Задача а перпсндякулмре 212 Закон инерции 281 Закон композиции внутренний 43 — — внешний 45 Изометрим 216 Изоморфизм групп 132 — евклвдовых (унитарных) пространств 216 †линейн пространств 192 Инвариантное полпространства 231 Инварианты гизырпоаерхности второго порядка 290 — линий второго порядка 174 Инверсиа 21 Индекс инерции квадратичной формы 281 Индекс нильпотентности 243 Каноняческая пара базисов 226 Квадратячная форма 276 — — вырожденная 277 — — знакоопределенная 281 — — положктельно определенная 281 — — эрматова 284 Квадраткчной формы канонический вил 277 — закан нверции 281 — — матрипа 276 — — привеление к глышыы осдэм 286 — Ранг 277 — — снгнатура 281 Класс вычетов 40 — смежный 128 — эквивалентности 38 Кольцо 133 — вычетов 135 — коммутативнае 134 Комплекснел плоскость 140 Комплексные числа 138 Комплексного числа алгебраическая форма 139 — †аргуме 142 — †моду 141 — †тригонометрическ форма 142 Конические сечения 299 Конус 291, 298 Координатным столбец 71 Координаты вектора 71, 76 — точки 77 — — полярные 91 — — сферические 93 — — цилиндрические 93 Корень п-й степени из комплексного числа 144 — из оператора 270 Корень многочлена 151 Корневое надпространство 248 Корневой вектор 248 Коши — Бунюсовского неравенство 205 Крамера правило 96 Кратность корни мвогочлена 157 — собственного значения алгебравческам 238 — — — геометрическая 238 Кронекера-Капелли теорема 96 Кронекера символ 206 Куранта-Фишера теорема 312 Лагранжа метод 185, 279 — теорема 130 Лапласа теорема 27 Линейная зависимость 59 — комбинация 59 — оболочка 194 — форма 226 Линеиное надпространство 73, 193 — — инвариантное 231 — — корневое 248 — — собственное 237 Линейное пространство вещественное 56 — — арифметическое 57 — — бесконечномерное 70 — — геометрическое 57 — — комплексное 188 — — монечномерное 70 — — над произвольным полем 188 Линейное многообразие 74, 199 Линейного многообразия вектор слвига 74 — — направляхзшее надпространство 74 — — нормальвмй вектор 214 — — размерность 75 Лввейного оператора дефект 225 — — матраца 220 — — «анонвческий базис 251, 253 — †обр 224 — — определитель 229 — — разло:кение полярное 272 — — разложение эрмитово 271 — — ранг 225 — — сингулярные числа 272 — — след 235 — — характерястический многочлен 235 — — млр гг4 Линейный оператор 218 — — вырожденный 1невырожденный) 230 — — дифференцирования 218 — — индуцироаанный 233 — — касосимметрический 270 — — косоэрмитов 270 — — неотрицательно определенный 268 — — нильпотентный 243 — — нормальный 259 — — обратный 229 — — огранкченвый 308 — — ортогональный 262 — — отражения 219 — — положительно оцределеввыв 268 — — проектирования 219 — — простой структуры 238 самосопряженныи 266 симметрический 266 — — сопряженныи 256 — — унитарный 262 — — эрмитов 266 Линейный функционал 218 Линейных полпространств пересечение 195 — — сумма 195 — — †драм 197 Линия алгебраическая 106 Л Линии алгебраической порядок 106 инни второго порядка на плоскости обздее уравнение 173 — — — — — канонические уравнения 184 — — — — — приведенные уравнения 180 Матриц произаедсзцге 15 — Равенство 14 — сумма 14 Матрица 11 — блочная 13 вырожденная 32 — Грама 209 — еливичнам 12 — квадратнак 11 — квазидиагоналыим 14 — «аазитреугольная 14 — кососимметрическая 270 — косоэрмитоаа 270 — нормальная 259 — нулевая 11 — обратная 32 Предметный указатель 319 Предметный указатель 318 Шаля лемма 50 Шар 304 Шура базис 260 — теорема 260 — ортогональная 89, 209 — перехола к другому базвсу 72 — првсоединеыная 32 †простой структу 240 — самосопралсеныая 266 - симметрическая 210, 266 — скалярная 12 — сапряясенная 141 — столбсювая (строчная) 12 — ступеычатая 12 — трансцонированная 16 †трапециевидн 13 - треугольная 12 — унитарная 209 — зрмитова 210, 266 Матрюзы главная диагональ 11 — карданова форма 253 — норма 304, 310 — определитель 23 — побочная диагональ 11 — ранг 65 — след 12 — собственное значение 240 — собственный вектор 240 — эквивалентные 68 Матрицы характеристический много- член 174, 233 Матрицы ортогональна (унктарво) подобные 261 — ыерестановочные (коммутирующие) 15 — подобные 175 — элементарных преобразований 20 Метрика 215 Метрическое пространство 215 Минор 26 — базисный 65 - главный 174 — дополнительный 27 — угловой 278 Многочлен «-й степени 146 — от оператора 228 — характеристический 174, 234 Многочлена делитель 150 — каноническое разложение 156, 159 — корень 151 Многочленов делеюае 149, 150 — ыаиболъший обший делитель 150 — ело:кеыие 147 — умножение 147 Мно:кеств декартово произведеюге 37 — объединение 36 — пересечение 36 — равенство Зб — разность 37 Муавра формула 143 Направленный отрезок 48 Неизвестные главные 97 — свободные 97 Нейтральный элемент 44 Неравенства треугольника в евклидовом (унитарном пространстве) 206 — — на комплексной плоскости 143 Нильпотеытыык оператор 243 Норм эквввалевтность 305 Норма вектора 304 — матрицы 304, 310 — евклидова 303, 311 — оператора 308 — подчиненная 308 — согласоваыная 307 — спектральная 309 Нормальное решение 313 Нормальным лелитель 130 — оператор 259 Нормированное пространство 304 Обратнал операция 45 Обшее решение 98, 104, 105 Однородная система 99 Операторное уравненке 313 Операторов алгебра 228 — кольцо 228 †линейное пространст 222 — произведение 223 — сумма 222 — — прямая 244 Определитель 23 — Граца 209 Определителя разложение по строке (столбцу) 29 †чл 23 Ориенташю в вешественном прострвн.

Характеристики

Список файлов книги