О.Г. Смолянов - Курс лекций по действительному анализу (1111920)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико–математический факультетКафедра Теории функций и функционального анализаКурс лекций по действительномуанализуЛектор — Олег Георгиевич СмоляновЛетописец — Бибиков Павел Витальевич (группа 212)телефон: 137-45-97e-mail: tsdtp4u@proc.ruII курс, 3 семестр, 2 поток (2006 – 2007 гг.)Лекция 1.1. Кольца и полукольца.Определение 1.1. Пусть Ω — фиксированное множество, тогда кольцом S подмножеств Ω называется всякая непустая совокупность подмножеств Ω со следующими свойствами:(1) A, B ∈ S ⇒ A ∩ B ∈ S,(2) A, B ∈ S ⇒ A △ B ∈ S.Если положить A △ B = A + B, A ∩ B = A · B, то будут выполненывсе аксиомы кольца. Такие кольца называются булевыми.Есть другие эквивалентные условия:(3) A, B ∈ S ⇒ A ∪ B ∈ S,(4) A, B ∈ S ⇒ A \ B ∈ S.Предложение 1.1.
{(1), (2)} ⇔ {(3), (4)}.Доказательство. {(1), (2)} ⇒ {(3), (4)}:A ∪ B = (A △ B) △ (A ∩ B),A \ B = (A ∪ B) △ B.{(3), (4)} ⇒ {(1), (2)}:A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A),A ∩ B = (A ∪ B) △ (A △ B).Можно ослабить условие (3):(3′ ) A, B ∈ S, A ∩ B = ∅ ⇒ A ∪ B ∈ S.Предложение 1.2. {(3), (4)} ⇔ {(3′ ), (4)}.Доказательство. {(3), (4)} ⇒ {(3′ ), (4)} — очевидно.{(3′ ), (4)} ⇒ {(3), (4)}: A ∪ B = (A \ B) ∪ B.Определение 1.2.
Полукольцо P в Ω — это совокупность подмножествΩ со следующими свойствами:(1) ∅ ∈ P,(2) A, B ∈ P ⇒ A ∩ B ∈ P,nF(3) A, B ∈ P, B ⊂ A ⇒ ∃ n ∈ N, A1 , . . . , An ∈ P : A \ B =Aj .j=111. Если S — кольцо, то S — полукольцо.2. Пусть S — кольцо, тогда ∅ ∈ S: ∃ A ∈ S ⇒ ∅ = A \ A ∈ S.Если Ω ∈ S, то Ω играет роль 1 в том смысле, что ∀ A ∈ S A ∩ Ω = A.Определение 1.3.
Полукольцо с единицей называется полуалгеброй подмножеств, а кольцо с единицей — алгеброй.σ-кольцо— это кольцо S, обладающее свойством: A1 , A2 , . . . ∈ S ⇒S⇒Aj ∈ S.j=1Алгебра, которая является σ-кольцом, называется σ-алгеброй подмножеств.δ-кольцо— это кольцо S, обладающее свойством: A1 , A2 , . .
. ∈ S ⇒T⇒Aj ∈ S.j=1Примеры.1. Ω = R1 , P = {(a; b), [a; b), (a; b], [a; b] | a 6 b ∈ R1 } — полукольцо, ноне кольцо и не полуалгебра.2. Ω = R1 , S — множество конечных объединений элементов из P, гдеP — полукольцо.3. Если a — алгебра, являющаяся σ-кольцом, то a — σ-алгебра.4.
Всякое σ-кольцо является δ-кольцом. Обратное неверно: пусть Ω == R1 , S — множество всех ограниченных подмножеств из Ω. Тогда S —δ-кольцо, но не σ-кольцо.5. Не всякое σ-кольцо является алгеброй: пусть S — множество всехне более чем счетных подмножеств из Ω. Тогда S — σ-кольцо, но неалгебра.2. Мера и ее счетно аддитивность.Определение 2.1. Мерой ν называется функция, область определения которой является полукольцом P подмножеств некоторого множества, принимающая числовые значения и обладающая свойством: ∀ Aj ∈nF∈ P, j = 1, .
. . , n, если Ai ∩ Ak = ∅ при i 6= k иAj ∈ P, тоj=1νnGj=1n XAj =νAj .j=1Это свойство меры называется аддитивным.2Замечание. 1. n — произвольное число (его нельзя заменить на 2).2. Если P — кольцо, то достаточно потребовать, чтобы ∀ A1 , A2 ∈ P :A1 ∩ A2 = ∅ имеем ν(A1 ⊔ A2 ) = νA1 + νA2 .Определение 2.2. Мера ν называется счетно аддитивной, если∀ A1 , A2 , . .
. ∈ P :∞Gj=1Aj ∈ P ⇒ ν∞Gj=1Aj =∞XνAj .j=1Мера неотрицательна, если ее значения неотрицательны.Примеры.1. Пусть P — полукольцо подмножеств R1 (см. выше) и ν((a; b)) == ν([a; b)) = ν((a; b]) = ν([a; b]) = b−a, если b > a. Такая мера называетсямерой Лебега.2. Мера Лебега-Стильтьеса: пусть f — неубывающая на R1 функция,тогдаfνLS([a; b)) = f (b − 0) − f (a − 0),fνLS((a; b]) = f (b + 0) − f (a + 0),fνLS([a; b]) = f (b + 0) − f (a − 0),fνLS((a; b)) = f (b − 0) − f (a + 0).Лекция 2.Определение 2.3. Кольцо, порожденноеT полукольцом P — это минимальное кольцо, содержащее P: S(P) =S.S⊃PПредложение 2.1. Пусть P — полукольцо.
Тогда порожденное имnFкольцо S(P) — это множество всевозможных множеств видаAj ,j=1где n ∈ N, Aj ∈ P.3Доказательство. 1. Докажем, что семейство множествo∈ N, j = 1, . . . , n — это кольцо. Имеем:nGj=1nGAj ⊔j=1Aj \rGk=1rGk=1Bk =Bk ===mGnFnj=1Aj | n ∈Cl ,l=1nGj=1nGAj \rGk=1Bk =(((Aj \ B1 ) \ B2 ) \ . . . \ Br ) =j=1n GsGj=1p=1Ep ,Es ∈ P.2. Докажем минимальность: пусть S0 ⊃ P, тогда ∀ n, ∀ Aj ∈ P, j =nS= 1, . . . , nAj ∈ S0 ⇒ S0 ⊃ S(P).j=1Предложение 2.2. Пусть ν : P → R+ — мера на P. Тогда ∃! ν̄ : S(P) →→ R+ — мера на S(P), такая, что ν̄ |P = ν.Доказательство.
Вначале докажем, что существует не более чем одноnFпродолжение. Пусть A ∈ S(P), тогда A =Pj , Pj ∈ P. Отсюда ν̄A =j=1=nPν̄Pj =j=1nPνPj .j=1Теперь проверим, что введенная выше функция ν̄ является мерой. Вопервых, докажем, что значение ν̄A не зависит от множеств, на которыеn,mnmFFFраскладывается A. Пусть A =Pj =Bk , тогда A =Pj ∩ Bk ипоскольку Pj =nF(Pj ∩ Bk ), тоk=1mPk=1νBk =n PmPj=1 k=1j=1nPk=1n PmPνPj =j=1ν(Pj ∩ Bk ).
Поэтому4nPj=1j,kν(Pj ∩ Bk ). Аналогично,j=1 k=1mPνPj =k=1νBk .Во-вторых, докажем аддитивность. По определению,ν̄n Gj=1rnr G XXAj ⊔Bk=νAj +νBk =k=1=j=1nXν̄Aj +j=1k=1rXν̄Bk = ν̄nGj=1k=1rGAj + ν̄Bk .k=1Теорема 2.1. Если исходная мера счетно аддитивна, то ее продолжение тоже счетно аддитивно.∞FДоказательство. Пусть A ∈ S(P), A =Aj , Aj ∈ S(P). Тогда ∀ jj=1Aj =k(j)Fk=1Ajk , Ajk ∈ P.
Значит, ν̄A = ν̄ν̄A =Xj,kνAjk =Fj,kk(j)∞ XXAjk , поэтомуνAjk =j=1 k=1∞Xν̄Aj .j=1Предложение 2.3. Пусть ν — мера на кольце S. Тогда ν счетно аддитивна ⇔ для всех A, Aj ∈ S выполняется следующее свойство: если∞∞SPAj ⊃ A, тоνAj > νA.j=1j=1Доказательство. Пусть ν счетно аддитивна и∞Sj=1ТогдаAj ⊃ A, где A, Aj ∈ S.A = (A ∩ A1 ) ⊔ (A ∩ (A2 \ A1 )) ⊔ (A ∩ (A3 \ (A1 ∪ A2 ))) ⊔ . . . ,поэтомуνA = ν(A ∩ A1 ) + ν(A ∩ (A2 \ A1 )) + ν(A ∩ (A3 \ (A1 ∪ A2 ))) + .
. . 6∞X6 νA1 + νA2 + νA3 + . . . =νAj .j=15Обратно, пусть B ==∞P∞Fk=1Bk , где B, Bk ∈ S. Докажем, что νB =νBk . Заметим, что для любого n выполняется равенствоk=1B=nGk=1BknG⊔ B\Bk ,k=1поэтому в силу аддитивности мерыnn∞G XXνB =νBk + ν B \Bk>νBk .k=1В то же время νB 6ν счетно аддитивна.∞Pk=1k=1νBk . Отсюда получаем, что νB =k=1∞PνBk и мераk=1Рассмотрим полукольцо P подмножеств R1 с мерой Лебега ν. Тогдаверна следующаяТеорема 2.2. Мера Лебега счетно аддитивна.Доказательство. Вначале заметим, что если (a; b) = (a; c] ∪ (c; b), тоν((a; b)) = b − a = (c − a) + (b − c) = ν((a; c]) + ν((c; b)). Аналогичноеравенство можно записать и для произвольного конечного количестваинтервалов разбиения отрезка (a; b).∞FПусть теперь P ∋ A =Aj , где Aj ∈ P.
Зафиксируем произвольноеj=1число ε > 0. Будем считать, что A = (a; b] — полуинтервал. В таком случае ∃ [α; β] ⊂ A : ν([α; β]) > νA−ε и ∃ (αj ; βj ) ⊃ Aj : ν((αj ; βj )) < νAj + 2εj .∞nSSОтсюда [α; β] ⊂ A ⊂(αj ; βj ). Значит, ∃ n : [α; β] ⊂(αj ; βj ), поэтомуj=1ν([α; β]) 6nPj=1ν((αj ; βj )) <j=1nPj=1ενAj + 2j <∞Pj=1νAj +2ε и νA 6∞PνAj .j=1Определение 2.4.
Рассмотрим алгебру S со счетно аддитивной меройν. T (Ω) — это множество всех подмножеств Ω. Легко видеть, что T (Ω)является σ-алгеброй. Определим внешнюю меру ν ∗ : T (Ω) → R1 , ν ∗ A =∞P= infνAj , где A ∈ T (Ω).SA⊂jAj j=1Множество A ⊂ Ω называется ν-измеримым, если ∀ ε > 0 ∃ B ∈ S :ν (A △ B) < ε.∗6Лекция 3.3. Теорема Каратеодори.Теорема 3.1 (Каратеодори). Пусть ν — счетно аддитивная неотрицательная мера на алгебре S подмножеств Ω, σ(S) — σ-алгебра, порожденная S. Тогда ∃! ν̄ : σ(S) → R1 — счетно аддитивная мера на σ(S),такая, что ν̄ |S = ν.Доказательство. Пусть a — множество ν-измеримых подмножеств Ω.Докажем, что на самом деле ν̄ = ν ∗ , где ν ∗ — внешняя мера. Для этогомы докажем следующие утверждения:• S ⊂ a;• a — σ-алгебра;• сужение ν ∗ на a счетно аддитивно;• ν ∗ |S = ν;• ν ∗ — единственное продолжение, удовлетворяющее условиям теоремы.Введем на множестве T (Ω) полуметрику: ρ(A, B) = ν ∗ (A△B).
Функция ρ удовлетворяет следующим свойствам:1) ρ(A, B) = ρ(B, A) (очевидно).2) ρ(A, B) > 0, причем ρ(A, B) = 0 < A = B.3) ρ(A, C) 6 ρ(A, B) + ρ(B, C) (неравенство треугольника): действи∞Sтельно, из определения внешней меры следует, что если A ⊂Aj , тоj=1∗ν A6∞Pj=1∗ν Aj , а т.к.
A △ C ⊂ (A △ B) ∪ (B △ C), тоρ(A, C) = ν ∗ (A △ C) 6 ν ∗ (A △ B) + ν ∗ (B △ C) = ρ(A, B) + ρ(B, C).Заметим, что из свойства 3) следует, что|ρ(A, C) − ρ(A, B)| 6 ρ(C, B).7В самом деле, положим A = ∅, тогда|ρ(∅, C) − ρ(∅, B)| 6 ρ(C, B) ⇔ |ν ∗ C − ν ∗ B| 6 ν ∗ (C △ B).1. Докажем, что S ⊂ a. Действительно, A ∈ a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ C ∈ S :ρ(A, C) < ε. Если A ∈ S, то положим C = A, тогда ρ(A, C) = 0 < ε иS ⊂ a.2. Докажем, что a — алгебра. Понятно, что Ω ∈ a, т.к. Ω ∈ S.
Необходимо проверить, что если A, B ∈ a, то A \ B ∈ a и A ∪ B ∈ a. Проверим только первую импликацию (вторая проверятся аналогично). Т.к.A, B ∈ a, то ∀ ε > 0 ∃ AS , BS ∈ S : ν ∗ (A △ AS ) < ε/2 и ν ∗ (B △ BS ) < ε/2.Поскольку (A \ B) △ (AS \ BS ) ⊂ (A △ AS ) ∪ (B △ BS ), тоν ∗ ((A \ B) △ (AS \ BS )) 6 ν ∗ (A △ AS ) + ν ∗ (B △ BS ) < ε.3. Докажем1 , что ν ∗ |S = ν. Очевидно, что если A ∈ S, то ν ∗ A 6∞∞SP6 νA. Докажем обратное неравенство. Если A ⊂Cj , то νA 6νCj ,j=1поэтому νA 6inf∞A⊂Sj=1∞Pj=1νCj = ν ∗ A.
Отсюда получаем, что νA = ν ∗ A.Cj j=1Прежде чем двигаться дальше, докажем следующую лемму.Лемма 3.1. Функция µ : S → R+ является мерой тогда и только тогда, когда ∀ A1 , A2 ∈ S µ(A1 ∪ A2 ) + µ(A1 ∩ A2 ) = µA1 + µA2 и µ(∅) = 0.Доказательство. Сначала установим, что функция µ, удовлетворяющаяусловию леммы, будет мерой. Действительно, если A1 ∩A2 = ∅, то µ(A1 ∪∪ A2 ) = µA1 + µA2 .Обратно, поскольку µ(A1 ∪ A2 ) = µ(A1 \ A2 ) + µA2 , тоµ(A1 ∪ A2 ) + µ(A1 ∩ A2 ) = µ(A1 \ A2 ) + µA2 + µ(A1 ∩ A2 ) = µA1 + µA2 .4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
