О.Г. Смолянов - Курс лекций по действительному анализу (1111920), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для этого нужно доказать, что еслиB1 , B2 ∈ Q, то B1 ∩ B2 ∈ Q.Пусть Q1 = {A ∈ D(P) | ∀ B ∈ P A∩B ∈ D(P)} и Q2 = {A ∈ D(P) |∀ B ∈ D(P) A ∩ B ∈ D(P)}. Легко видеть, что Q1 и Q2 — D-системы,причем P ⊂ Q1 , Q2 . Но Q1 ⊂ D(P), поэтому Q1 = D(P) и Q2 = D(P).Отсюда получаем, что D(P) — это σ-алгебра и D(P) = a1 ⊗ a2 .41Лекция 14.Теорема 11.2 (Хан-Жордан). Пусть (Ω, a) — измеримое пространство, ν — возможно знакопеременная9 мера.1. ∃ Ω+ , Ω− : Ω+ ⊔ Ω− = Ω, причем ∀ A ⊂ Ω+ : A ∈ a νA > 0 и∀ A ⊂ Ω− : A ∈ a νA 6 0.2.
ν = ν + − ν − , где меры ν + и ν − неотрицательны.Определение 11.3. Разложение пространства Ω, указанное в п.1, называется разложением Хана.Определение 11.4. Мера ν + называется положительной, а мера ν − —отрицательной вариацией меры ν. Величина kνk = ν + + ν − называетсявариацией меры ν 10 .Доказательство. Вначале докажем п.2, исходя из п.1. Положим ν + A == ν(A ∩ Ω+ ) и ν − A = −ν(A ∩ Ω− ).
Как легко видеть, что ν + и ν − ,определенные таким образом, дают искомое разложение.Замечание. Разложение меры в п.2 не является единственным. Однако,если ν = µ+ − µ− , то µ+ A > ν + A и µ− A > ν − A.Докажем теперь п.1. Назовем множество C ∈ a отрицательным, если∀ A ∈ a ν(A ∩ C) 6 0, и положительным, если ∀ A ∈ a ν(A ∩ C) > 0.Пусть α = inf{νC | C— отрицательно} и {Cn } — последовательность∞Sизмеримых множеств, таких, что νCn ց α. Положим A0 =Cn . Очеn=1видно, что A0 отрицательно. Докажем, что множество Ω+ = Ω \ A0 является положительным (тогда можно взять Ω− = A0 ).Предположим противное: пусть найдется такое Ā ∈ Ω+ , что ν Ā < 0.Выберем последовательность {εj }, такую, что εj > 0 и εj ց 0.
Тогдамножество Ā не может быть отрицательным, иначе его можно присоединить к A0 , и тогда получится, что νA0 < α. Поэтому ∃ A1 ⊂ Ā : νA1 > εj1 .Рассмотрим множество Ā \ A1 . Проводя аналогичные рассуждения, получаем, что ∃ A2 ⊂ Ā \ A1 : νA2 > εj2 .9Обратите внимание!Иногда вариацией называется величина kνkΩ. В таком случае отображение ν 7→7 kνkΩ является нормой.→1042В результате мы получим последовательность попарно непересекаю F P∞∞щихся множеств {Ak }, где νAk > εjk . Кроме того, νAk =νAk <k=1k=1< ∞, поэтому νAk → 0 и εjk → 0.∞∞FFИмеем: ν Ā \Ak < 0.
Докажем, что множество Ā \Ak отk=1k=1рицательно. Действительно, если бы это было не так, то нашлось бы∞Fмножество D ⊂ Ā \Ak , такое, что νD = ε > 0, а значит, нашлосьk=1бы такое k, что εjk < ε — противоречие с выбором Ak (тогда надо быловыбрать D).∞FЗначит, множество Ā\ Ak отрицательно, и его можно присоединитьk=1к A0 , в результате чего получится, что νA0 < α — противоречие.Таким образом, можно выбрать Ω− = A0 и Ω+ = Ω \ A0 .Пусть f — интегрируемая функция, F (t) =Rt−∞λ — стандартная мера Лебега.Теорема 11.3 (Лебег). Функция F (t) =Rtf (τ ) dτ и µ = f · λ, гдеf (τ ) dτ дифференцируема по-−∞чти всюду по t и F ′ (t) = f (t).Доказательство. Для доказательства нам понадобятся следующие двелеммы.SЛемма 11.1.
Если {Iα } — семейство интервалов, G = Iα и λG < ∞,αто можно выбрать подсемейство попарно непересекающихся интерваnPлов {Iαk }, таких, чтоλIαk > 41 λG.k=1Доказательство. Вначале докажем, что существует такой компакт K ⊂∞S⊂ G, что λK > 34 λG. Поскольку G =((−n; n) ∩ G), то можно считать,n=1что множество G ограничено. Положим Kα = {x ∈ G | ρ(x, R1 \ G) > α}.∞SТогда все Kα — компакты, иK1/n = G.
Значит, ∃ K = Kn0 : λK >n=1> 43 λG.Из любого покрытия компакта K можно выбрать конечное подпокрытие J1 ,. . . , Jn . Пусть Iα1 — это то из множеств {Jk }, у которого мера43Лебега максимальна, Iα2 — множество с наибольшей мерой Лебега изтех, что не пересекаются с Iα1 , и т.д.Докажем, что подпокрытие {Iαk } — искомое. Заменим множества IαiинтерваламиIˆαi с той же серединой, но втрое большей длиной.
ТогдаSˆIαr ⊃ K, поэтомуrλK 6XλIˆαr = 3rоткуда 14 λG 6PXλIαr ,rλIαr , что и требовалось.rЛемма 11.2. Если A ∈ B(R1 ) и µA = 0, то F ′ (t) = 0 для почти всехt ∈ A.Доказательство. Пусть δ, ε > 0. Т.к. A ∈ B(R1 ), то ∃ Gδ ⊃ A : µGδ < δ.Положим Ih = (x − h; x + h) и Aε = {x ∈ A | lim sup µIhh > ε}. Тогдаh→0λIh∀ x ∈ Aε ∃ h : Ih ⊂S Gδ и µIh > εh = ε 2 , т.е. 2µIh > ελIh . По лемме 11.1объединение V = Ih содержит Aε и содержится в Gδ , причемhλAε 6 λV 6 4XλIhk <k8X88δµIhk 6 µGδ < .ε kεεОтсюда получаем, что λAε = 0, а значит, для почти всех ε функция(x−h)F (t) дифференцируема, причем F ′ (x) = lim sup F (x+h)−F= 0, что и2hh→0требовалось.(t)Теперь докажем теорему Лебега. Пусть F̂ (t) = lim sup F (t+h)−Fиhh→0F̌ (t) = lim infh→0F (t+h)−F (t).hСогласно лемме 11.2, F̂ (t) = 0 для почти всехt ∈ {x | f (x) = 0}.Для каждого r ∈ R1 положим Fr (t) =Rt(f (τ )−r)+ dτ , тогда F̂r (t) = 0−∞почти всюду на множестве {x | f (x) 6 r}.Т.к.
f 6 (f − r)+ + r, то F̂ (t) 6 r на множестве {x | f (x) 6 r}. Но[λ{x | f (x) < F̂ (x)} = λ {x | f (x) 6 r < F̂ (x)} 6r6Xrλ{{x | f (x) 6 r} ∩ {x | r < F̂ (x)}} = 0,44откуда F̂ (t) 6 f (t) почти всюду. Аналогично, F̌ (t) > f (t) почти всюду. Таким образом, F̌ (t) > f (t) > F̂ (t) > F̌ (t), а значит, почти всюду∃ F ′ (t) = f (t), что и требовалось.12.
Интеграл Лебега-Стильтьеса.Пусть (R1 , B(R1 )) — измеримое пространство.Определение 12.1. Функция F имеет ограниченную вариацию, если∃ ν : B(R1 ) → R1 : ∀ t F (t) = ν(−∞; t]. Тогда ν(a; b] = F (b) − F (a) — этомера Лебега-Стильтьеса. Функция F называется абсолютно непрерывRtной, если ∃ f ∈ L1 : ∀ t F (t) =f (τ ) dτ .−∞Замечание. Абсолютно непрерывнаяфункция всегда имеет ограниченRную вариацию: положим νA = f (x) dx и F (t) = ν(−∞; t].AИз теоремы Лебега следует, что если мы знаем производную F ′ (t)абсолютно непрерывной функции F (t), то сама функция F (t) однозначноRt ′восстанавливается: F (t) =F (τ ) dτ .−∞Определение 12.2.
Пусть f, g : R1 → R1 . Интегралом СтильтьесаnRbPg(ξk )(f (xk+1 ) − f (xk )), гденазывается величина g(x) df (x) = limn→∞ k=1a{(xk , ξk )} — отмеченное разбиение отрезка [a; b].Теорема 12.1 (без доказательства). Пусть f — функция ограниченнойвариации (т.е. f (t) = νf (−∞; t]), а g — ограниченная функция. ТогдаRbинтеграл Стильтьеса g(t) df (t) существует тогда и только тогда,aкогда значение меры νf на множестве точек разрыва функции g равноRbRb0.
В этом случае g(t) df (t) = g(t) νf (dt).aa45RbRbТеорема 12.2 (без доказательства). Интегралы f (t) dg(t) и g(t) df (t)aaсуществуют или не существуют одновременно, причем если они существуют, то верна формула интегрирования по частям:Zbag(t) df (t) = f (b)g(b) − f (a)g(a) −Zbf (t) dg(t).aТеорема 12.3. Пусть f и g — функции ограниченной вариации, а также µf (a; b] = f (b) − f (a) и νg (a; b] = g(b) − g(a).
Тогда верна формулаинтегрирования по частям:ZZf (t) νg (dt) = g(b)f (b) − g(a)f (a) −g(t − 0) µf (dt).(a;b](a;b]Доказательство. Теорема верна в силу следующей цепочки равенств:Zf (t) νg (dt) =(a;b]Z(f (a) + µf (a; t]) νg (dt) =(a;b]f (a)g(t)|ba+Zµf (a; t] νg (dt) =(a;b]ZbZb= f (a)(g(b) − g(a)) +γE (t1 , t2 ) (νg ⊗ µf )(dt1 × dt2 ) = 11a a= f (a)(g(b) − g(a)) −Zg(t − 0) µf (dt) + g(t)f (t)|ba =(a;b]= g(b)f (b) − g(a)f (a) −Zg(t − 0) µf (dt),(a;b]что и требовалось.11Здесь E — это треугольник на координатной плоскости t1 Ot2 с вершинами вточках (a; a), (b; b) и (b; a).46Замечание.
Если функции f и g абсолютно непрерывны, то формулаинтегрирования по частям записывается в следующем виде:Zb′f (t)g(t) dt = f (b)g(b) − f (a)g(a) −aZbg ′(t)f (t) dt.aИз этой формулы, в частности, следует, что функция f g также абсолютно непрерывна.47Приложение.Экзаменационные вопросы.1. Продолжение конечно аддитивной меры с полукольца на порожденноекольцо.2. Доказательство неравенства |ν ∗ A − ν ∗ B| 6 ν ∗ (A △ B).3. Совпадение ν ∗ и ν на области определения меры ν.4. Доказательство того, что множество ν-измеримых подмножеств является σ-алгеброй.5. Доказательство того, что внешняя мера ν ∗ счетно аддитивна на σалгебре ν-измеримых подмножеств.6. Доказательство единственности продолжения счетно аддитивной меры с алгебры на порожденную σ-алгебру.7.
Счетная аддитивность меры Лебега (на полукольце полуинтерваловвещественной прямой).8. Два определения измеримости вещественной функции на измеримомпространстве и их эквивалентность.9. Доказательство того, что всякая измеримая функция является пределом последовательности простых функций.10. Доказательство измеримости функции, являющейся пределом сходящейся последовательности измеримых функций.11. Доказательство существования неизмеримого по Лебегу подмножества вещественной прямой.12. Связь между сходимостью почти всюду и сходимостью по мере.13. Критерий счетно аддитивной конечной меры на кольце множеств.14. Определение интеграла Лебега для измеримых функций.15.
Неравенство Чебышева.16. Теорема Беппо Леви.17. Теорема Фату-Лебега.18. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.19. Теорема Фату.20. Доказательство того, что интегрируемая по Риману функция интегрируема по Лебегу и интегралы совпадают.21. Связь между интегралом Лебега и несобственным интегралом Римана.22. Замена переменной в интеграле Лебега.23. Равносильность двух определений абсолютной непрерывности одноймеры относительно другой.4824.
Счетная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега.25. Теорема Радона-Никодима.26. Теорема Хана-Жордана.27. Неравенство Гельдера.28. Неравенство Минковского.29. Полнота пространства Lp при p > 1.30. Счетная аддитивность произведения двух счетно аддитивных мер.31. Теорема Фубини.32. Дифференцирование интеграла Лебега с переменным верхним пределом.33. Восстановление абсолютно непрерывной функции по ее производной.34. Связь между интегралами Римана-Стильтьеса и Лебега-Стильтьеса(без доказательства).49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
