1 (1111244)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция №1

Числовые ряды.

Определение:

Возьмём последовательность и построим по ней ещё одну последовательность

Пара последовательностей ( , ) называется числовым рядом и обозначается

– общий член ряда, n-й член ряда

– k-я частичная сумма ряда

Определение:

Число S называется суммой ряда:

Утверждение:

Пусть Тогда:

Доказательство:

Для конечных сумм верно тождество:

При предельном переходе k получаем:

Утверждение:

Доказательство:

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

Доказательство:

Примеры:

Утверждение:

Доказательство:

следующее равенство:

При предельном переходе по k получаем:

откуда и получаем утверждение, так как первое слагаемое в правой части – число.

Теорема (критерий Коши сходимости числового ряда):

Доказательство:

Знакопостоянные ряды.

Определение:

Утверждение:

Доказательство:

Теорема (признак сравнения, признак Вейерштрасса):

Доказательство:

Следствие (признак сравнения в предельной форме):

Доказательство:

Примеры:

Лекция №2

Теорема (признак Д’Аламбера):

Доказательство:

Следствие (признак Д’Аламбера в предельной форме):

Доказательство:

Теорема (признак Коши):

Доказательство:

Следствие (признак Коши в предельной форме):

Доказательство:

Теорема (интегральный признак Коши):

Доказательство:

Примеры:

Теорема (признак Куммера):

Доказательство:

Теорема (признак Гаусса):

Доказательство:

Комментарий к признаку Куммера:

Лекция №3

Знакопеременные ряды.

Определение:

Определение:

Теорема:

Доказательство:

Определение:

Теорема:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Определение:

Теорема (признак Лейбница):

Доказательство:

Утверждение:

Доказательство:

Лекция №4

Определение:

Теорема:

Доказательство:

Замечание:

Теорема (Римана):

Доказательство:

Теорема (признаки Абеля и Дирихле):

Доказательство:

Признак Абеля:

Признак Дирихле:

Суммирование расходящихся рядов.

Теорема (Чезаро):

Доказательство:

Обозначение:

Пример:

Лекция №5

Функциональные последовательности.

Определение:

Примеры:

Определение:

Теорема:

Доказательство:

Теорема (критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности):

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Следствие:

Теорема:

Доказательство:

Теорема (признак Вейерштрасса для последовательностей):

Доказательство:

Лекция №6

Функциональные ряды.

Определение:

Определение:

Определение:

Теорема (критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов):

Доказательство:

Следствие (необходимый признак Коши):

Доказательство:

Теорема (признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов):

Доказательство:

Теорема (признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов):

Доказательство:

Признак Абеля:

Признак Дирихле:

Теорема:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Лекция №7

Степенные ряды.

Определение:

Замечание:

Утверждение:

Доказательство:

Следствие:

Определение:

Теорема (формула Коши-Адамара):

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Замечание:

Теорема (ряд Тейлора):

Доказательство:

Определение:

Замечание:

Теорема (Абеля):

Доказательство:

Замечание:

Определение:

Пример:

Лекция №8

Бесконечные произведения.

Определение:

Утверждение:

Доказательство:

Комментарий:

Теорема:

Доказательство:

Замечание:

Теорема:

Доказательство:

Определение:

Теорема:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Определение:

Определение:

Теорема:

Доказательство:

Лекция №9

Разложение синуса в бесконечное произведение.

Лемма 1:

Доказательство:

Лемма 2:

Доказательство:

Теорема (о разложении синуса в бесконечное произведение):

Доказательство:

Следствие (формула Валлиса):

Доказательство:

Лекция №10

Интегралы, зависящие от параметра. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Определение:

Теорема:

Доказательство:

Пример интеграла с параметром:

Теорема:

Доказательство:

Лекция №11

Теорема (об интегрировании с параметром):

Доказательство:

Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

Определение:

Определение:

Замечание:

Теорема (критерий Коши):

Доказательство:

Примеры:

Теорема (признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов с параметром):

Доказательство:

Пример:

Лекция №12

Теорема (признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов с параметром):

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Лекция №13

Теорема (Дини о последовательности):

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Следствие:

Доказательство:

Теорема (интеграл Дирихле):

Доказательство:

Лекция №14

Эйлеровы интегралы.

Определение:

Теорема (основное функциональное равенство для гамма-функции):

Доказательство:

Замечание:

Теорема (первый интеграл Эйлера):

Доказательство:

Теорема (формула дополнения для гамма-функции):

Доказательство:

Следствие (интеграл Эйлера-Пуассона):

Доказательство:

Лекция №15

Определение (второй интеграл Эйлера):

Утверждение:

Доказательство:

Теорема (связь бета и гамма-функций):

Доказательство:

Пример:

Теорема (формула Стирлинга):

Доказательство:

Лекция №16

Ряды Фурье.

Определение:

Лемма (ортогональность тригонометрической системы):

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Определение:

Замечание:

Доказательство:

Теорема (минимальное свойство коэффициентов Фурье):

Доказательство:

Следствие 1 (неравенство Бесселя):

Доказательство:

Следствие 2:

Доказательство:

Определение:

Лемма:

Доказательство:

Лекция №17

Рассуждение:

Утверждение:

Доказательство:

Теорема (принцип локализации Римана):

Доказательство:

Теорема (признак Дини):

Доказательство:

Следствие:

Доказательство:

Лекция №18

Теорема (достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке):

Доказательство:

Следствие (достаточное условие дифференцируемости ряда Фурье):

Теорема (об интегрировании рядов Фурье):

Доказательство:

Лекция №19

Примеры:

Лекция №20

Суммирование ряда Фурье методом средних арифметических.

Определение:

Лемма (свойства ядра Фейера):

Доказательство:

Теорема (Фейера):

Доказательство:

.

Дополнительные сведения о показательной и тригонометрических функциях.

Приближение непрерывных функций многочленами.

Теорема (Вейерштрасса):

Доказательство:

Лекция №21

Теорема:

Доказательство:

Пример:

Доказательство:

Теорема (Римана):

Доказательство:

Лекция №22

Преобразование Фурье.

Определение:

Лемма:

Доказательство:

Теорема:

Доказательство:

Следствие:

Доказательство:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций