Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так как ( D ) – ограниченное замкнутое множество, то по теореме Кантора f ( x , y ) равномерно непрерывна в ( D ) . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что дляεодноFвременно для всех k = 1, n (см. следствие из теоремы Кантора; здесь F – площадь области ( D ) ). Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk )( k = 1, n ), у которого λ < δ . Будем иметь для такого способа разбиения ( D )любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , будет ω k <nnnk =1k =1k =1∑ ω k Fk < ∑ Fε ⋅ Fk = Fε ∑ Fk = Fε ⋅ F = ε .nНеравенство∑ ω k Fk < εk =1получено нами лишь в предположении, что λ < δ .Последнее означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) .28Теорема 3.
Пусть ограниченная функция f ( x , y ) задана в области ( D ) инепрерывна там всюду, за исключением множества точек, лежащих на конечном числе простых кривых. Тогда f ( x , y ) ∈ R( D ) .Пусть для определенности(K )у функции f ( x , y ) в ( D ) имеется лишь одна линия разрыва ( L ) .Возьмем ε > 0 – любое.
По тео( D* )реме о простой кривой линию( L ) можно заключить внутрь( L)многоугольной области ( D* ) ,( K* )площадь которой меньше ε .Контур ( K* ) области ( D* )есть замкнутая ломаная, звеньяРис. 2.3. К доказательству теоремы 3которой параллельны координатным осям. ( L ) и ( K* ) не пересекаются.yxПусть ( D ) \ ( D* ) – область, остающаяся после удаления ( D* ) из ( D ) .(Контур ( K* ) причисляем к области ( D ) \ ( D* ) ). Ясно, что f ( x , y ) – непрерывна в ( D ) \ ( D* ) .Так как ( D ) \ ( D* ) – ограниченное замкнутое множество, то f ( x , y ) равно-мерно непрерывна в ( D ) \ ( D* ) . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает числоδ1 > 0 такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) ; ( x ′′, y ′′ ) из ( D ) \ ( D* ) , для которых ρ (( x ′, y ′ ); ( x ′′, y ′′ )) < δ будет f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < ε .Контур ( K* ) есть простая кривая.
По обобщенной теореме о простой кривой, взятому ε > 0 отвечает δ 2 > 0 такое, что для любого способа дробления, укоторого λ < δ 2 , сумма площадей тех частичных областей, которые задевают( K* ) , будет меньше ε .Положим δ = min{δ1, δ 2 } . Разобьем область ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, n , так, чтобы оказалось λ < δ и составимразность сумм Дарбу S − s =n∑ ω k ⋅ Fk .k =1Из областей ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) образуем три группы.В группу I отнесем те из ( Dk ) , k = 1, n , которые лежат в ( D ) \ ( D* ) и не задевают контура ( K* ) .29В группу II отнесем те из ( Dk ) , k = 1, n , которые лежат в ( D* ) и не задевают контура ( K* ) .В группу III отнесем те ( Dk ) , которые задевают контур ( K* ) .nТогда и сумма∑I∑ ω k Fkразобьется на три суммыk =1будет ω k < ε и поэтому∑I, ∑II, ∑III .
В сумме∑I ω k Fk < ε ⋅ F . В суммах ∑IIи∑IIIбудетω k ≤ Ω , где Ω – колебание функции f ( x , y ) в ( D ) (число Ω существует, ибоf ( x , y ) – ограниченная в ( D ) ). Так как суммы площадей областей ( Dk ) , попавших в группу II и в группу III меньше ε , то будем иметь:∑II ω k Fk ≤ Ω ⋅ ∑II Fk < Ω ⋅ ε ,∑III ω k Fk ≤ Ω ⋅ ∑III Fk < Ω ⋅ ε .А тогдаnS − s = ∑ ω k Fk < ε( F + 2Ω )(5)k =1(число ε( F + 2Ω ) сколь угодно мало вместе с ε ).Так как для достижения неравенства (5) нам потребовалось лишь чтобы было λ < δ , то заключаем, что lim ( S − s ) = 0 , а это означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) .λ→ 0§4 Свойства двойных интегралов1°.∫∫ dF = F ( F– площадь области ( D ) ).(D )В самом деле, здесь f ( x , y ) ≡ 1 всюду в ( D ) . Поэтому, взяв любое разбиение области ( D ) на части ( Dk ) , k = 1, n , и выбрав произвольно точки( x k , y k ) в ( Dk ) , будем иметь f ( x1, y1 ) = 1 ; f ( x2 , y2 ) = 1 , f ( x3 , y3 ) = 1 , K ,f ( x n , y n ) = 1 .
Следовательно,nnnσ = ∑ f ( x k , yk ) ⋅ Fk = ∑1 ⋅ Fk = ∑ Fk = F ⇒k =1k =1k =1lim σ = F .λ→02°. Если f ( x , y ) ∈ R( D ) и α – произвольное число, то α f ( x , y ) ∈ R( D ) ,причем∫∫ α f ( x, y ) dF = α ⋅ ∫∫ f ( x, y ) dF .(D )30(D )Возьмем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) начасти ( Dk ) и составим интегральную сумму Римана для функции α f ( x , y ) .Будем иметьnnk =1k =1σ( α f ) = ∑ α f ( x k , yk ) Fk = α ∑ f ( x k , yk ) Fk = α ⋅ σ( F ) .По условию, f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒∫∫ f ( x, y ) dF .Нотогда(D )lim σ ( f ) существует, конечный и равныйλ→0lim σ( α f ) = α lim σ( f ) = α ∫∫ f ( x , y ) dF ,λ→0λ→0lim σ( α f ) существует, конечный ⇒λ→0т.
е.(D )∫∫ α f ( x, y ) dF существует, причем(D )∫∫ α f ( x, y ) dF = α ∫∫ f ( x, y ) dF .(D )(D )3°. Если f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) , топричем( f ( x, y ) ± g( x, y )) ∈ R( D ) ,∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF ± ∫∫ g( x, y ) dF .(D )(D )(D )Берем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) начасти ( Dk ) и составляем интегральную сумму Римана для функцииf ( x , y ) ± g( x , y ) .
Будем иметьnnnk =1k =1k =1σ( f ± g ) = ∑ ( f ( x k , y k ) ± g( xk , yk )) Fk = ∑ f ( xk , yk ) Fk ± ∑ g( xk , yk ) Fk == σ( f ) ± σ( g ) .По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) ⇒ существуют конечныеlim σ( f ) и lim σ( g ) . Но тогда существует конечный lim σ( f ± g ) , причемλ→0λ→0λ→0lim σ( f ± g ) = lim σ( f ) ± lim σ( g ) ⇒λ→0причемλ→0λ→0∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dFсуществует,(D )∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF ± ∫∫ g( x, y ) dF .(D )(D )(D )4°.
Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) . Если изменить значения функции f ( x , y ) вдолькакой-нибудь простой кривой ( L ) (с тем лишь условием, чтобы и измененная31функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в ( D ) и ее двойной интеграл по области ( D ) равен∫∫ f ( x, y ) dF .(D )Если составить интегральные суммы Римана для измененной и исходнойфункций, то они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся кобластям ( Dk ) , задевающим кривую ( L ) .
Но, по обобщенной теореме о простой кривой, общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 , откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу, т. е. к I =∫∫ f ( x, y ) dF .(D )Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят отзначений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числапростых кривых.5°. Если область ( D ) , в которой задана функция f ( x , y ) , разложена простой кривой ( L ) на две области ( D1 ) и ( D2 ) , то из интегрируемости функцииf ( x , y ) во всей области ( D ) следует ее интегрируемость в областях ( D1 ) и( D2 ) , и обратно – из интегрируемости функции f ( x , y ) в обеих областях ( D1 )и ( D2 ) вытекает ее интегрируемость в области ( D ) .
При этом∫∫ f ( x, y ) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF + ∫∫ f ( x, y ) dF .(D )( D1 )(1)( D2 )Разложим области ( D1 ) и ( D2 ) произвольными сетями простых кривыхна части; тем самым и ( D ) разложится на части ( D1 ), ( D2 ), K , ( Dn ) . Еслизначком k ′ отметить частичные области, содержащиеся в ( D1 ) , а значком k ′′ –частичные области, содержащиеся в ( D2 ) , тоn∑ ω k Fk = ∑ ω k ′ Fk ′ + ∑ ω k ′′ Fk ′′ .k =11) Пусть функция f ( x , y ) ∈ R( D ) .
Но тогда limλ→0тельно, и подавно limλ→0n∑ ω k Fk = 0 , а, следоваk =1∑ ω k ′ Fk ′ = 0 и λlim∑ ω k ′′ Fk ′′ = 0 . Последнее означает,→0что f ( x , y ) ∈ R( D1 ) и f ( x , y ) ∈ R( D2 ) .2) Пусть теперь дано, что функция f ( x , y ) ∈ R( D1 ) и f ( x , y ) ∈ R( D2 ) . Нотогдаlim ∑ ω k ′ Fk ′ = 0λ→0иlim ∑ ω k ′′ Fk ′′ = 0 ,λ→0lim ∑ ω k Fk = 0 ⇒ f ( x , y ) ∈ R( D ) .λ→032а,следовательно,иnОднако нужно помнить, что∑ ω k Fkпостроена не для произвольного раз-k =1биения области ( D ) на части: ведь мы исходим из разложения порознь областей ( D1 ) и ( D2 ) . Чтобы от произвольного разложения области ( D ) перейти кразложению рассмотренного частного вида, нужно присоединить к линиям деления кривую ( L ) .
Тогда соответствующие суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем частичным областям, которые задевают кривую( L ) . Но по обобщенной теореме о простой кривой общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 и, следовательно, соответствующие суммыбудут разниться на бесконечно малую величину. Значит, условие интегрируемости функции f ( x , y ) в ( D ) будет выполнено.Доказываемая формула (1) получается из равенства:n∑ f ( xk , yk ) Fk = ∑ f ( xk ′ , yk ′ ) Fk ′ + ∑ f ( xk ′′ , yk ′′ ) Fk ′′k =1переходом в нем к пределу при λ → 0 .6°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) , и пусть всюду в ( D ) выполняется неравенство f ( x , y ) ≤ g( x , y ) .
Тогда∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫ g( x, y ) dF .(D )(D )Произвольной сетью простых кривых разобьем ( D ) на части ( Dk ) . В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( x k , y k ) . Ясно, чтоf ( x k , y k ) ≤ g ( x k , yk ) , k = 1, n . Умножим обе части этого неравенства на Fk( Fk > 0 ). Получим f ( x k , y k ) Fk ≤ g( x k , yk ) Fk . Просуммируем полученные неkот1доn.Будемиметьравенствапозначкуnnk =1k =1∑ f ( xk , yk ) Fk ≤ ∑ g( xk , yk ) Fk . Переходя здесь к пределу при λ → 0 , получим∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫ g( x, y ) dF .(D )(D )7°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и пусть всюду в ( D ) : m ≤ f ( x , y ) ≤ M . Тогдаm⋅ F ≤∫∫ f ( x, y ) dF ≤ M ⋅ F .(D )Это следует из свойств 6°, 2°, 1°.338°.
Теорема о среднем значении. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и пусть всюду в( D ) : m ≤ f ( x , y ) ≤ M . Тогда: существует число µ, удовлетворяющее условию∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F .m ≤ µ ≤ M , такое, что будет(D )Выше (см. 7°) установлено, что в этом случае выполняется неравенствоmF ≤∫∫ f ( x, y ) dF ≤ MF .Разделим все части этого неравенства на F(D )( F > 0 ): m ≤1F∫∫ f ( x, y ) dF ≤ M . Обозначим(D )m ≤ µ ≤ M ).
Тогда1F∫∫ f ( x, y ) dF = µ(ясно, что(D )∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F , а это и требовалось установить.(D )9°. Частный случай теоремы о среднем значении. Если функцияf ( x , y ) ∈ C( D ) , то в ( D ) обязательно найдется хотя бы одна точка ( ξ, η) такая, что будет:∫∫ f ( x, y ) dF = f ( ξ, η) ⋅ F .(D )По условию f ( x , y ) ∈ C( D ) ⇒ по теореме Вейерштрасса f ( x , y ) достигает в ( D ) своего наименьшего m и наибольшего M значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
