Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть I =∫∫ f ( x, y ) dxdy . Но тогда любому(D )ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любого способа дробления ( D ) на части( Dk ) , у которого λ < δ , независимо от способа выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) ,~будет σ − I < ε . В частности, числу ε = 1 ( > 0) будет отвечать δ > 0 такое, что~для любого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , независимо от способа выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , будет σ − I < 1 .~Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , изакрепим его. (Тогда Fk , k = 1, n , будут определенными числами.) Для такогоспособа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , независимо от способа выбора точекn( x k , y k ) в ( Dk ) будем иметь∑ f ( xk , yk )⋅ Fk − I < 1.k =1Теперь выберем и закрепим точки ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , K , ( x n , y n ) соответственно в областях ( D2 ), ( D3 ), K , ( Dn ) (тогда f ( x2 , y2 ) , f ( x3 , y3 ) , K ,f ( x n , yn ) будут определенными числами).
Точку ( x1, y1 ) оставим свободной в( D1 ) (т. е. точка ( x1, y1 ) может занимать любое положение в области ( D1 ) ).Будем иметь при любом положении точки ( x1, y1 ) в ( D1 ) :nf ( x1, y1 ) ⋅ F1 + ∑ f ( x k , y k ) ⋅ Fk − I < 1.k =223Положим I −n∑ f ( xk , yk ) ⋅ Fk = C( C – определенное число, не зависящее отk =2выбора точки ( x1, y1 ) ). Предыдущее неравенство запишется теперь так:f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C < 1 , точка ( x1, y1 ) ∈( D1 ) .Имеем:f ( x1, y1 ) ⋅ F1 = ( f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C ) + C ⇒⇒ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 ≤ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C + C ⇒1+ C⇒ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 < 1 + C ⇒ f ( x1, y1 ) <.F1Так как последнее неравенство верно для любого положения точки ( x1, y1 ) в( D1 ) , то заключаем, что функция f ( x , y ) – ограниченная в ( D1 ) .
Совершенноаналогично устанавливается ограниченность функции f ( x , y ) в областях( D2 ), ( D3 ), K , ( Dn ) .ПоложимM1 = sup{ f ( x , y ) } , M 2 = sup { f ( x , y ) } , K , M n = sup { f ( x , y ) } .( D1 )( Dn )( D2 )Пусть M = max{ M1, M 2 , K , M n } . Тогда f ( x , y ) ≤ M для любой точки ( x , y )из ( D ) .
А это и означает, что f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) .Замечание. Доказанная теорема необратима, т. е. не всякая функцияf ( x , y ) , заданная в ( D ) и ограниченная там, оказывается интегрируемой в( D ) . Следовательно, ограниченность функции f ( x , y ) в области ( D ) являетсялишь необходимым условием интегрируемости этой функции в ( D ) .§3. Признаки интегрируемости функцийПусть ограниченная функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограниченнойпростым контуром.На вопрос, существует или не существует∫∫ f ( x, y ) dxdy , ответить, поль-(D )зуясь непосредственным определением двойного интеграла, удается сравнительно легко лишь в отдельных частных случаях.
В связи с этим оказываетсяважным установление признаков интегрируемости функции f ( x , y ) в области( D ) . Но признаки интегрируемости f ( x , y ) в ( D ) содержат понятия верхней инижней сумм Дарбу. Поэтому необходимо ввести эти понятия.24Итак, пусть f ( x , y ) – ограниченная функция, определенная в области ( D ) .Разложим ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, n , иположим M k = sup { f ( x , y )} ; mk = inf { f ( x , y )} .
Отметим, что числа mk и( Dk )( Dk )M k , k = 1, n , существуют, ибо множество{ f ( x, y )} ,ченное и сверху, и снизу. Составим суммы s =n( x , y ) ∈( Dk ) – ограни-∑ mk Fkk =1и S=n∑ M k Fk . Этиk =1суммы называют соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, отвечающими данному способу разбиения области ( D ) на части ( Dk ) .Отметим, что для закрепленного способа разбиения ( D ) на части ( Dk )суммы s и S – определенные числа. Если же способ разбиения изменить, тоизменятся, вообще говоря, и числа s и S .
Отметим далее, что интегральныесуммы Римана σ даже для закрепленного способа дробления ( D ) на части( Dk ) принимают, вообще говоря, бесконечное множество значений (за счетразличного выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) .Суммы Дарбу обладают следующими свойствами.1. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области ( D ) . Пусть {σ} – множество интегральныхсумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области ( D ) . Тогдадля любой интегральной суммы Римана σ из {σ} будет: s ≤ σ ≤ S .2.
Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области ( D ) . Пусть {σ} – множество интегральныхсумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области ( D ) . Тогдаs = inf {σ} , S = sup{σ} .3. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие какомунибудь способу дробления области ( D ) .
Добавим теперь еще одну простуюкривую дробления (все прежние кривые дробления сохраняются). В результатеу нас получится некоторый новый способ дробления области ( D ) . Пусть ~s и~S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие этому новому способу дроб~s ≥ s , т. е.
что отления области ( D ) . Справедливо утверждение, что S ≤ S , ~добавления новых кривых дробления верхняя сумма Дарбу не увеличивается, анижняя сумма Дарбу не уменьшается.4. Выше было отмечено, что для закрепленного способа дробления области( D ) нижняя и верхняя суммы Дарбу s и S суть определенные числа.
Если жеспособ дробления области ( D ) изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа25s и S . Следовательно, как s , так и S принимают, вообще говоря, бесконечноемножество значений.Пусть {s} – множество значений, принимаемых нижней суммой Дарбу, {S }– множество значений, принимаемых верхней суммой Дарбу. Справедливо утверждение:Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы Дарбу, т. е.для всякой s из {s} и для любой S из {S } оказываетсяs≤S.Видим, что перечисленные здесь свойства сумм Дарбу являются дословнымповторением аналогичных свойств сумм Дарбу, установленных для функцийf ( x ) , заданных на промежутке [a, b] (см. главу 1, §2 учебного пособия [4])Следует отметить, что и доказательства этих свойств совершенно аналогичныпрежним.Приступим теперь к установлению признаков интегрируемости.Теорема 1 (основной признак интегрируемости).
Пусть функция f ( x , y )– ограниченная, заданная в области ( D ) . Для того, чтобы f ( x , y ) ∈ R( D ) , необходимо и достаточно, чтобы было lim ( S − s ) = 0 (разности S − s составляλ→0ются каждый раз из чисел s и S , отвечающих одному и тому же способу дробления области ( D ) ).Необходимость. Дано:f ( x , y ) ∈ R( D ) , I =∫∫ f ( x, y ) dF .Доказать:(D )lim ( S − s ) = 0 .λ→0Возьмем ε > 0 – любое. По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которогоλ < δ , для каждой σ из множества {σ} , отвечающих этому способу разбиения,εбудет σ − I < .
Выберем и закрепим какой-нибудь способ разбиения ( D ) на3εчасти ( Dk ) , у которого λ < δ . Будем иметь σ − I < , для любой σ из {σ}3(здесь {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ), или, что то же самое,εεI − < σ < I + , σ ∈{σ} .(1)33εε1) Из соотношения (1) имеем, в частности, σ < I + , σ ∈{σ} ⇒ I + –33верхняя граница {σ} . Мы знаем, что S = sup{σ} . Поэтому26S≤I+ε3(2)( S – верхняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ).2) Из соотношения (1) имеем также σ > I −εε, σ ∈{σ} ⇒ I − – нижняя33граница {σ} . Мы знаем, что s = inf {σ} .
Поэтомуs≥ I−ε3(3)( s – нижняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ).Из соотношений (2) и (3) следует, что20 ≤ S − s ≤ ε.3Тогда 0 ≤ S − s < ε ⇒ S − s < ε . Последнее неравенство получено нами лишьв предположении, что λ < δ . Следовательно,lim ( S − s) = 0 .λ→ 0Достаточность. Дано: lim ( S − s) = 0 . Доказать: f ( x , y ) ∈ R( D ) .λ→ 0По условию, lim ( S − s ) = 0 . Это означает, что любому ε > 0 отвечает δ > 0λ→ 0такое, что для любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , оказывается S − s < ε , или S − s < ε (так как S − s ≥ 0 ). Рассмотрим множества {s}и {S } .
Выберем и закрепим любую S и {S } . Обозначим ее через S0 . По свойству 4) сумм Дарбу, имеем s ≤ S0 , s ∈{s} . Это означает, что {s} ограниченосверху. Но тогда, как мы знаем, существует sup{s} . Пусть A = sup{s} ( A – оп-ределенное число). Ясно, что s ≤ A , s ∈{s} . Ясно далее, что A ≤ S0 (так как A– точная верхняя граница {s} , а S0 – просто верхняя граница этого множества).У нас S0 – любая из {S } . Следовательно, A ≤ S , S ∈{S } . Таким образом, получилиs≤ A≤ S .(4)Отметим, что в соотношении (4) s и S могут отвечать как различным, так иодному и тому же способу разбиения ( D ) на части ( Dk ) . Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) . Пусть {σ} – множество интегральных суммРимана, отвечающих этому способу разбиения ( D ) , а s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу. Одновременно будут иметь место соотношенияs ≤ σ ≤ S , σ ∈{σ}; s ≤ A ≤ S .27Тогда −( S − s ) ≤ σ − A ≤ ( S − s ) , σ ∈{σ} или σ − A ≤ ( S − s ) , σ ∈{σ} .
Еслибрать любой способ разбиения ( D ) на части, у которого λ < δ , то будетS − s < ε , а значит,σ − A < ε, σ ∈{σ} .Последнее означает, что A = lim σ ⇒ f ( x , y ) ∈ R( D ) .λ→0Замечание. Имеемnnnnk =1k =1k =1k =1S − s = ∑ M k Fk − ∑ mk Fk = ∑ ( M k − mk ) Fk = ∑ ω k Fk .Здесь ω k = M k − mk – колебание функции f ( x , y ) в ( Dk ) .
Теперь основнойпризнак интегрируемости может быть сформулирован так.Пусть функция f ( x , y ) – ограниченная, заданная в области ( D ) . Для того,чтобы f ( x , y ) ∈ R( D ) , необходимо и достаточно, чтобы любому ε > 0 отвечало δ > 0 такое, что для любого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , было быn∑ ω k Fk < ε .k =1Теорема 2. Если f ( x , y ) ∈ C( D ) , то f ( x , y ) ∈ R( D ) (т. е. если функцияf ( x , y ) определена и непрерывна в ( D ) , то∫∫ f ( x, y ) dxdy существует).(D )Возьмем ε > 0 – любое. По условию f ( x , y ) ∈ C( D ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
