Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть α( y0 ) = β ( y0 ) .В этом случае I ( y0 ) =β ( y0 )∫ f ( x, y0 ) dx = 0(как интеграл, у которого совпа-α ( y0 )даютнижнийI ( y0 + ∆ y ) =β ( y0 + ∆ y )иверхнийпределыинтегрирования);∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx . А тогдаα ( y0 + ∆ y )I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =β ( y0 + ∆ y )∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =α ( y0 + ∆ y )= f ( c, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − α( y0 + ∆ y )] .Здесь α( y0 + ∆ y ) ≤ c ≤ β ( y0 + ∆ y ) ⇒ c → α( y0 ) [ = β ( y0 )] . Имеем∆ y →0I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 )=∆y(β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )) − (α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )) .= f ( c, y 0 + ∆ y ) ⋅∆yПереходя здесь к пределу при ∆y → 0 , находим:I ′( y0 ) = f (β( y0 ), y0 ) ⋅ [β′( y0 ) − α ′( y0 )] = f (α( y0 ), y0 ) ⋅ [β′( y0 ) − α ′( y0 )] ,ибо α( y0 ) = β ( y0 ) . Последняя формула может быть записана также в видеI ′( y0 ) = f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .(6)Легко видеть, что формула (6) является частным случаем формулы (5) (она получается из (5), если положить в (5) β ( y0 ) = α( y0 ) ).16Так как у нас y0 – любое, принадлежащее [c, d ] , то приходим к выводу, чтоI ′( y ) существует для любого y ∈[c, d ] и чтоβ( y )∫ f y′ ( x, y ) dx + f (β ( y ), y ) ⋅ β′( y ) − f (α( y ), y ) ⋅ α ′( y ) .I ′( y ) =α( y )§7.

Примеры к главе 111. Дано: I ( y ) =∫x 2 + y 2 dx . Найти lim I ( y ) .y →0−1Так как подынтегральная функция f ( x , y ) = x 2 + y 2 непрерывна навсей плоскости Oxy , то она непрерывна, в частности, в прямоугольнике−1 ≤ x ≤ 1,(P ) = где d > 0 – любое конечное число. По теореме §2 заключа− d ≤ y ≤ d ,ем, что допустим предельный переход по параметру под знаком интеграла, когда y → 0 . Имеем1limy →0∫−1022x + y dx =1∫ limy →02. Дано: I ( y ) =∫y12x + y dx =−11= ∫ − x dx + ∫ x dx = −−11+ y202 0x2−1∫ x dx =−1+2 1x2=01 1+ = 1.2 2dx. Найти lim I ( y ) .y →01 + x2 + y2Здесь подынтегральная функция f ( x , y ) =12.

Она непрерывна1 + x + y2на всей плоскости Oxy . Функции α( y ) = y , β( y ) = 1 + y непрерывны для всехy ∈( − ∞,+ ∞ ) . Следовательно, в частности, f ( x , y ) непрерывна в области y ≤ x ≤ 1 + y,(D ) = где d > 0 – любое конечное число, а функции−≤≤dyd,α( y ), β( y ) непрерывны на промежутке [−d , d ] . Видим, что выполнены условия теоремы о непрерывности интеграла как функции параметра (см. §6). Поэтой теореме I ( y ) ∈ C([− d , d ]) , а значит, I ( y ) непрерывна в точке y = 0 .

Следовательно, lim I ( y ) = I ( 0 ) , т. е.y →0171+ ylimy →0∫y1dxdxπ1x===arctg.041 + x 2 + y 2 ∫0 1 + x 21xb − xa3. Вычислить ∫dx ( a > 0 , b > 0 ), применяя интегрирование по паln x0раметру под знаком интеграла.Отметим прежде всего, что данный интеграл – несобственный, Подынтегральная функция имеет две особые точки. Это – точки x = 0 и x = 1. Имеем:xb − xa= 0 ⇒ подынтегральная функция в правой полуокрестноx →+0 ln xсти точки x = 0 – ограниченная.xb − xabx b−1 − ax a −1= lim= lim ( bx b − ax a ) = b − a – опреде2) lim1xx →1− 0 ln xx →1− 0x →1− 01) limленное число.

⇒ подынтегральная функция в левой полуокрестности точкиx = 1 – ограниченная.Положимba x − x , x ∈( 0, 1); ln x~f ( x ) =  0, x = 0; b − a, x = 1.~~Ясно, что f ( x ) ∈ C([0, 1]) ⇒ f ( x ) ∈ R([0, 1]) , а значит, данный интеграл1xb − xa∫ ln x dx сходится.0b∫Введем в рассмотрение интеграл I ( x ) = x y dy ( a > 0 , b > 0 ), x ∈[0, 1] .aЭтот интеграл представляет собой функцию параметра x , определенную в промежутке [0, 1]. Здесь f ( x , y ) = x y определена и непрерывна в прямоугольникеa ≤ y ≤ b,(P ) = А тогда по теореме об интегрировании по параметру под зна0 ≤ x ≤ 1.ком интеграла (см.

§5) имеем:b1y ∫ I ( x ) dx = ∫  ∫ x dy dx = ∫  ∫ x dx dy .a 000 a1181bybxyТак как I ( x ) = ∫ x y dy =ln xay =b=y =axb − xa, то предыдущее равенство приметln xвид:b1xb − xay dx=xdx∫ ln x∫  ∫  dy ⇒1a 0b01bx =10ax =0 x y +1 xb − xa∫ ln x dx = ∫  y + 1dy = ∫ay4. Вычислить I ′( y ) , если I ( y ) =dyy =bb +1= ln ( y + 1) y = a = ln.y +1a +122− yx∫ e dx .y2f ( x , y ) = e − yx , α( y ) = y , β( y ) = y 2 ; α( y ) ≤ β ( y ) , еслиy ∈( − ∞, 0] U [1, + ∞ ) ; α( y ) ≥ β ( y ) , если y ∈[0, 1] .

Пусть d1 > 0 – любое конечное число; d 2 > 1 – любое конечное число. Введем в рассмотрение области1 ≤ y ≤ d2 ,− d1 ≤ y ≤ 0,0 ≤ y ≤ 1,DD()()==( D1 ) =  22322yxyyxy;;≤≤≤≤y ≤ x ≤ y .В каждой из этих трех областей f ( x , y ) непрерывна и имеет непрерывнуюЗдесь2f y′ ( x , y ) = − x 2e − yx .В каждом из промежутков: [−d1, 0] ; [0, 1]; [1, d2 ] существуют α ′( y ), β′( y ) ,причем α ′( y ) = 1, β ′( y ) = 2 y . По теореме о дифференцировании по параметру(см.

§6) заключаем, что для любого y ∈([− d1, 0] U [1, d2 ]) I ′( y ) существует иy2253I ′( y ) = − ∫ x 2e − yx dx + e − y ⋅ 2 y − e − y .y~Пусть теперь y – любое из промежутка [0, 1]. Имеем I ( y ) = − I ( y ) , гдеy2~I ( y ) = ∫ e − yx dx . По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) дляy2y235~~любого y ∈[0, 1] I ′( y ) существует и I ′( y ) = − ∫ x 2e − yx dx + e − y − e − y ⋅ 2 y .y2Следовательно,длялюбогоy ∈[0, 1]существуетI ′( y ) ,причем19~I ′( y ) = − I ′( y ) , т.

е. I ′( y ) =y2532 − yx−y−y∫ x e dx + e ⋅ 2 y − e ⇒y2y2253⇒ I ′( y ) = − x 2e − yx dx + e − y ⋅ 2 y − e − y , y ∈[0, 1] .∫yГлава 2. Двойные интегралы§1. Область и ее диаметрПредварительно напомним некоторые сведения, относящиеся к понятиюкривой на плоскости.1. Если ϕ( t ) и ψ( t ) – две функции, определенные и непрерывные на промежутке [a , b] , то множество точек плоскости{(ϕ (t ), ψ( t ))} , t ∈[a, b], называ-ется непрерывной кривой.2. Если ϕ ( a ) = ϕ ( b ) и ψ ( a ) = ψ ( b ) , то непрерывная кривая называетсязамкнутой.3. Замкнутая кривая называется самонепересекающейся, если две точки кривой (ϕ ( u ), ψ ( u )) и (ϕ ( v ), ψ ( v )) при u < v могут совпасть лишь тогда, когдаu = a, v = b.4. Замкнутая самонепересекающаяся кривая ( K ) делит плоскость на двасвязных множества ( D ) и ( G ) .

(Любые две точки каждого их этих множествможно соединить непрерывной кривой, не пересекающей ( K ) . Если же одна изэтих точек принадлежит ( D ) , а другая – принадлежит ( G ) , то всякая соединяющая их непрерывная кривая пересекает ( K ) .) Точки, лежащие на ( K ) , невходят ни в ( D ) , ни в ( G ) . Одно из множеств ( D ) , ( G ) является ограниченным, а другое – нет. То из этих двух множеств, которое является ограниченным,будем называть областью, ограниченной контуром ( K ) . (У нас на рис. 2.1 ( D )– область, ограниченная контуром ( K ) .) Если к точками области ( D ) присоединить точки контура ( K ) , то полученное множество будем называть замкну-20той областью, ограниченной контуром ( K ) , иобозначать через ( D ) .

Отметим, что замкнутаяобласть ( D ) есть ограниченное замкнутое множество.Определение. Пусть ( D ) – замкнутая область, ограниченная контуром ( K ) . Пусть M иN – любые две точки, лежащие на ( K ) . Пустьρ( M , N ) – расстояние между точками M и N .Число d = sup {ρ ( M , N )} называется диа-(K )(G )( D)Рис. 2.1. К определениюпонятия областиM ∈( K )N ∈( K )метром ( D ) .Теорема. На контуре ( K ) существуют две точки M 0 и N 0 такие, чтоρ( M 0 , N 0 ) = d .Возьмем на контуре ( K ) точки M и N . Пусть M = (ϕ ( u ), ψ ( u)) ,N = (ϕ ( v ), ψ ( v )) . Тогда ρ ( M , N ) = [ϕ ( v ) − ϕ ( u)] + [ ψ ( v ) − ψ ( u)] . Видим,что ρ( M , N ) есть функция аргументов u, v , определенная в квадратеa ≤ u ≤ b,(P ) = и, очевидно, непрерывная в ( P ) .

По второй теореме Вейерa ≤ v ≤ b,штрасса существует точка ( u0 , v0 ) ∈( P ) , в которой эта функция принимаетсвое наибольшее значение. Остается только положить M 0 = (ϕ ( u0 ), ψ ( u0 )) ,N 0 = (ϕ ( v0 ), ψ ( v0 )) .(K)( L)В главе 3 (см. §1) учебного по22собия [4] дано определение площади области ( D ) , установлено необходимое и достаточное условиеквадрируемости этой области. Тамже введено понятие простой кривой и доказана теорема о простойРис.

2.2. К обобщенной теоремекривой. Следствием этой теоремыо простой кривойявилось утверждение, что область( D ) , ограниченная простым контуром, квадрируема. Отметим здесь, что теорема о простой кривой допускаетобобщение, а именно:Обобщенная теорема о простой кривой. Пусть ( L ) – простая кривая, расположенная в области ( D ) , ограниченной простым контуром ( K ) . Разделим( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, 2, K , n . Пусть21Q – сумма площадей тех частичных областей ( Dk ) , которые имеют с ( L ) хотябы одну общую точку. Тогда, если λ – наибольший из диаметров частичныхобластей ( Dk ) , то lim Q = 0 .λ→0§2.

Определение двойного интегралаПусть функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограниченной простым контуром ( K ) . Проделаем следующие операции.1. Дробим ( D ) произвольной сетью простых кривых на n частичных областей ( D1 ), ( D2 ), K , ( Dn ) . Пусть площади этих частичных областей есть соответственно F1, F2 , K , Fn , а диаметры – d1, d2 , K , d n .

Положимλ = max {d k } ( λ – ранг дробления).k =1, n2. В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( x k , y k ) инаходим в ней значения функции f , т. е. находим f ( x k , yk ) .3. Умножаем найденное значение функции на площадь соответствующейчастичной области: f ( x k , y k ) ⋅ Fk , k = 1, 2, K , n .4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму:nσ = ∑ f ( x k , y k ) ⋅ Fk .k =1Сумму σ будем называть интегральной суммой Римана.

Отметим, что σ зависит, вообще говоря, как от способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , так и от выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) .5. Измельчаем дробление так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существуλ →0ет конечный предел I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа дроблеλ→0ния ( D ) на части ( Dk ) , k = 1, n , ни от выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , то его называют двойным интегралом от функции f ( x , y ) по области ( D ) и обозначают символом∫∫ f ( x, y ) dFили(D )∫∫ f ( x, y ) dxdy .(D )Таким образом,σ∫∫ f ( x, y ) dF = λlim→0(D )22n f ( x , y ) dF = limf ( x k , y k ) Fk  .∑ ∫∫λ→0k =1(D )(1)Замечание.

Соотношение I = lim σ означает: любому числу ε > 0 отвечаетλ→0число δ > 0 такое, что для любого способа дробления ( D ) на части ( Dk ) , у ко-торого ранг дробления λ < δ , будет: σ − I < ε , как бы ни были при этом выбраны точки ( x k , y k ) в ( Dk ) .Если у функции f ( x , y ) , определенной в ( D ) , существует∫∫ f ( x, y ) dF ,(D )то будем говорить, что f ( x , y ) интегрируема в ( D ) и писать f ( x , y ) ∈ R( D )( f ( x , y ) принадлежит классу R в области ( D ) ).Установим теперь необходимое условие интегрируемости функции f ( x , y )в области ( D ) .Теорема (об ограниченности функции f ( x , y ) , интегрируемой в ( D ) .Если функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , то f ( x , y ) – ограниченная в области ( D ) .По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)