Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Но тогда по теореме о дифференцированиипо параметру под знаком интеграла′ b( 5) bb ϕ ( x , t ) dx  = ϕ ′t ( x , t ) dx = f ( x , t ) dx , t ∈[c, d ] .∫∫∫at aa(7)Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке [c, d ] совпадающие производные (см. (2) и (7)). Следовательно, они различаются в этомпромежутке лишь на постоянную величину, т. е. для любого t ∈[c, d ]b tb dx + const .f(x,y)dxdyf(x,y)dy(8)=∫  ∫∫∫c aacПоложим в (8) t = c . Получим 0 = 0 + const ⇒ const = 0 .

Значит, будем иметьвместо (8) для любого t ∈[c, d ]t bb t dx .=f(x,y)dxdyf(x,y)dy(9)∫  ∫∫∫c aact9Положив в (9) t = d , получимdbbd dx ,f(x,y)dxdyf(x,y)dy=∫  ∫∫∫c aac(10)а это и требовалось установить.§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметраyx = α( y )dПусть функция f ( x , y ) определена вx = β( y )(D )y0cxβ( y0 )α( y0 )области ( D ) , ограниченной линиями:y = c , y = d ( c < d ), x = α( y ) , x = β( y ) ,где α( y ) и β( y ) – функции, непрерывныена промежутке [c, d ] и такие, чтоα( y ) ≤ β ( y ) , y ∈[c, d ] .Пусть при каждом закрепленном y изβ( y )[c, d ] существуетРис. 1.3∫ f ( x, y ) dx .

Ясно, чтоα( y )каждому значению y из [c, d ] будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно,β( y )∫ f ( x, y ) dx представляет собой функцию переменной (параметра)y , опреде-α( y )ленную в промежутке [c, d ] .Станем обозначатьβ( y )I( y) =∫ f ( x, y ) dx,y ∈[c, d ] .(1)α( y )Теорема (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пустьβ( y )функцияf ( x , y ) ∈ C( D ) , и пусть I ( y ) =I ( y ) ∈ C([c, d ]) .Выберем и закрепим л ю б о е y0 ∈[c, d ] .1.

Пусть α( y0 ) < β ( y0 ) .∫ f ( x, y ) dx ,y ∈[c, d ] . Тогдаα( y )α ( y0 ) + β ( y 0 ). Ясно, что α( y0 ) < γ < β ( y0 )⇒2α( y0 ) − γ < 0 , β ( y0 ) − γ > 0 . Функции α ( y ) − γ и β ( y ) − γ – непрерывные наПоложим10γ=промежутке [c, d ] . Следовательно, по теореме о стабильности знака существуетδ1 > 0 такое, что как только y − y0 < δ1 и y ∈[c, d ] , так сейчас же:α( y ) − γ < 0 , β ( y ) − γ > 0 , т. е.

α( y ) < γ < β ( y ) .Возьмем y из промежутка [c, d ] любое, но такое, чтобы было y − y0 < δ1 ,и положим p = max{α( y ), α( y0 )} ; q = min{β ( y0 ), β( y )} . Ясно, что p < q .Имеем:I ( y0 ) =β( y0 )pqβ ( y0 )α ( y0 )α ( y0 )pqI( y) =∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ,β( y )pqβ( y )α( y )α( y )pq∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx .В этих соотношениях из четырех подчеркнутых интегралов два обязательноравны нулю (так как обязательно: либо p = α( y0 ) , либо p = α( y ) , и либоq = β( y0 ) , либо q = β( y ) ).Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое.

Так как α( y ) и β( y ) непрерывны в точке y0 , то взятому ε > 0 отвечает δ 2 > 0 такое, что как толькоy − y0 < δ 2 и y ∈[c, d ] , так сейчас же α( y ) − α( y0 ) < ε , β ( y ) − β ( y0 ) < ε .Отметим, что если брать на промежутке [c, d ] значения y , удовлетворяющиеусловию: y − y0 < min{δ1, δ 2 } , то справедливы приведенные выше выражениядля I ( y0 ) и I ( y ) . Для таких y будем иметь:qI ( y ) − I ( y0 ) = ∫ [ f ( x , y ) − f ( x , y0 )] dx +p+pβ( y )pβ ( y0 )α( y )qα ( y0 )q∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx .pРассмотрим, например,∫ f ( x, y0 ) dx .По условию f ( x , y ) ∈ C( D )⇒α ( y0 )f ( x , y ) ограниченная в ( D ) , т.

е. существует число M > 0 такое, чтоf ( x , y ) ≤ M всюду в ( D ) . Так как y ∈[c, d ] и y − y0 < min{δ1, δ 2 } , тоpp − α( y0 ) < ε . Следовательно,∫ f ( x, y0 ) dx ≤ M ⋅ p − α( y0 ) < M ⋅ ε .α ( y0 )Такая же оценка верна и для каждого из трех оставшихся подчеркнутых ин11тегралов.

ПоэтомуqI ( y ) − I ( y0 ) < ∫ f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx + 2 M ⋅ ε .pТак как ( D ) – ограниченное замкнутое множество и f ( x , y ) ∈ C( D ) , тоf ( x , y ) равномерно непрерывная в ( D ) . А тогда взятому ε > 0 отвечаетδ 3 > 0 , зависящее только от ε , такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) ,y ′′ − y ′ < δ 3 , будет( x ′′, y ′′ ) из ( D ) , для которых x ′′ − x ′ < δ 3 ,f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < ε . Положим δ = min{δ1, δ 2 , δ 3} , y ′ = y0 , y ′′ = y , гдеy ∈[c, d ] и удовлетворяет условию y − y0 < δ ; x ′ = x ′′ = x , где x – любое из[ p, q] .

Тогда f ( x , y ) − f ( x , y0 ) < ε для всех x ∈[ p, q] . Следовательно, для y ,удовлетворяющихусловиямy − y0 < δиy ∈[c, d ] ,будет:q∫pf ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx < ε ⋅ ( q − p ) , и потому I ( y ) − I ( y0 ) < ε ( q − p + 2 M ) .У нас функции α( y ), β ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ α( y ) и β( y ) – ограниченные в[c, d ] ⇒ существует число K > 0 такое, что α( y ) ≤ K , β( y ) ≤ K для всехy ∈[c, d ] .

А тогда q − p ≤ q + p ≤ 2 K . Значит,I ( y ) − I ( y0 ) < 2ε ⋅ ( K + M ) .(2)Отметим, что число 2ε ⋅ ( K + M ) сколь угодно мало вместе с ε .Так как для достижения неравенства (2) понадобилось лишь, чтобы былоy − y0 < δ , y ∈[c, d ] , то заключаем, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 .2. Пусть α( y0 ) = β ( y0 ) .В этом случае I ( y0 ) =β( y0 )∫ f ( x, y0 ) dx = 0 ;α ( y0 )Имеемβ( y )I( y) =∫ f ( x, y ) dxα( y )I ( y ) ≤ M ⋅ [β ( y ) − α( y )] .lim [β ( y ) − α( y )] = β ( y0 ) − α( y0 ) = 0 .Аy → y0⇒(3)тогдаиз(3)lim I ( y ) = 0 [ = I ( y0 )] .

Видим, что и в этом случае установлена непрерыв-y → y0ность I ( y ) в точке y0 .У нас y0 – любое из [c, d ] . Следовательно, I ( y ) ∈ C([c, d ]) .Теорема (о дифференцировании по параметру). Пусть функция f ( x , y )непрерывна в ( D ) и имеет там непрерывную частную производную f y′ ( x , y ) .12Пусть функции α( y ), β ( y ) определены в промежутке [c, d ] и имеют там проβ( y)изводные α ′( y ), β′( y ) .

Пусть I ( y ) =∫ f ( x, y ) dx ,y ∈[c, d ] . Тогда для любо-α( y )го y ∈[c, d ] существует I ′( y ) , причемβ( y )I ′( y ) =∫ f y′ ( x, y ) dx + f (β ( y ), y ) ⋅ β′( y ) − f (α( y ), y ) ⋅ α ′( y ) .(4)α( y )Выберем и закрепим любое y0 ∈[c, d ] .I. Пусть α( y0 ) < β ( y0 ) . При доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что в этом случае существует окрестность: uδ1 ( y0 ) такая, что для лю-бого y ∈ uδ1 ( y0 ) будет: α( y ) < γ < β ( y ) .

Дадим y0 приращение ∆y – любое,но такое, что ∆y ≠ 0 и y0 + ∆ y ∈ uδ1 ( y0 ) . Будем иметь, следовательно,α ( y0 + ∆ y ) < γ < β ( y0 + ∆ y ) .Положимp = max{α( y0 ), α( y0 + ∆ y )} ;q = min{β ( y0 ), β ( y0 + ∆ y )} . Могут реализоваться следующие случаи:1) p = α( y0 ) , q = β( y0 ) ;2) p = α( y0 ) , q = β( y0 + ∆ y ) ;3) p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 ) ;4) p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 + ∆ y ) .1. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 ) , q = β( y0 ) . Имеем в этом случаеβ( y0 + ∆ y )β ( y0 )I ( y0 ) =∫ f ( x, y0 ) dx,I ( y0 + ∆ y ) =α ( y0 )α ( y0 )β ( y0 )α ( y0 + ∆ y )α ( y0 )=α ( y0 + ∆ y )β( y0 + ∆ y )∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx .А тогдаβ( y0 )I ( y0 + ∆ y ) − I ( y 0 ) =β ( y0 )=∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =β ( y0 + ∆ y )α ( y0 + ∆ y )β ( y0 )α ( y0 )∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx .α ( y0 )По теореме Лагранжа f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) = f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y .

По частному случаю теоремы о среднем для определенного интегралаβ ( y0 + ∆ y )∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = f (c1, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] ,β ( y0 )13где c1 ∈[β ( y0 ), β ( y0 + ∆y )] ⇒ c1 → β( y0 ) , если ∆y → 0 ;α ( y0 + ∆ y )∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] ,α ( y0 )где c2 ∈[α( y0 ), α( y0 + ∆y )] ⇒ c2 → α( y0 ) , если ∆y → 0 . Следовательно,J ( y0 + ∆ y ) − J ( y0 )=∆yβ ( y0 )∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +α ( y0 )α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 )β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )− f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅.∆y∆yПереходя к пределу при ∆y → 0 , получаем:+ f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅I ′( y 0 ) =β ( y0 )∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .(5)α ( y0 )2. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 ) , q = β( y0 + ∆ y ) .В этом случаеβ ( y0 + ∆ y )β ( y0 )I ( y0 ) =∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;α ( y0 )β ( y0 + ∆ y )I ( y0 + ∆ y ) =β ( y0 )α ( y0 )α ( y0 )β ( y0 + ∆ y )β ( y0 + ∆ y )∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;α ( y0 + ∆ y )α ( y0 + ∆ y )β ( y0 + ∆ y )I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =α ( y0 )∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +α ( y0 )β( y0 + ∆ y )α ( y0 + ∆ y )β( y0 + ∆ y )β ( y0 )α ( y0 )α ( y0 )+∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx ++ f ( c1, y0 ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )]I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 )=⇒∆yβ ( y0 + ∆ y )∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +α ( y0 )β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 )− f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅∆y∆yПереходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим+ f ( c1, y0 ) ⋅14I ′( y 0 ) =β ( y0 )∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .(5)α ( y0 )3.

Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 ) .В этом случаеα ( y0 + ∆ y )β ( y0 )I ( y0 ) =∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;α ( y0 )β ( y0 + ∆ y )α ( y0 )β( y0 )α ( y0 + ∆ y )β ( y0 + ∆ y )∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;I ( y0 + ∆ y ) =α ( y0 + ∆ y )I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =α ( y0 + ∆ y )β ( y0 )β ( y0 )∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +α ( y0 + ∆ y )α( y0 + ∆ y )β( y 0 + ∆ y )+β ( y0 )∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =β( y 0 )α( y0 )β( y 0 )∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx +α( y0 + ∆ y )+ f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )]I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 )=⇒∆yβ ( y0 )∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +α ( y0 + ∆ y )α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 )β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )− f ( c2 , y0 ) ⋅∆y∆yПереходя здесь к пределу при ∆y → 0 , получим+ f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅I ′( y 0 ) =β ( y0 )∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .(5)α ( y0 )4.

Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 + ∆ y ) .В этом случаеβ ( y0 )α ( y0 + ∆ y )β ( y0 + ∆ y )β ( y0 )α ( y0 )α ( y0 )α ( y0 + ∆ y )β ( y0 + ∆ y )I ( y0 ) =∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;β ( y0 + ∆ y )I ( y0 + ∆ y ) =∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;α ( y0 + ∆ y )β ( y0 + ∆ y )I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +α ( y0 + ∆ y )15β( y 0 + ∆ y )+α( y0 + ∆ y )β( y 0 + ∆ y )α( y0 )α( y0 + ∆ y )∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =β( y 0 )∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx ++ f ( c1, y0 ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )]I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 )=⇒∆yβ ( y0 + ∆ y )∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +α ( y0 + ∆ y )β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )α ( y 0 + ∆ y ) − α ( y0 )− f ( c2 , y0 ) ⋅∆y∆yПереходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим+ f ( c1, y0 ) ⋅I ′( y 0 ) =β ( y0 )∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .(5)α ( y0 )II.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)