nesob-int (1111230), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïðè âñåõ t > 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | ln t| < t.Ïîýòîìó, ïðîäîëæàÿ ïðåäûäóùóþ îöåíêó, èìååì:i¯ x−1¯ h x1¯tln te−t ¯ ≤ t 2 −1 e−t + tx2 e−t .Òàê êàê èíòåãðàë îò ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñõîäèòñÿ, òî èíòåãðàë (3.46) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [x1 ; x2 ], ïîýòîìóäèôôåðåíöèðîâàíèå íà ýòîì îòðåçêå çàêîííî, à ïîñêîëüêó x1 , x2 ïðîèçâîëüíû, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî ïðè ëþáîì x > 0.Ïî èíäóêöèè ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèé äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ó ãàììà-ôóíêöèè ïðîèçâîäíûõ ëþáîãî ïîðÿäêà.4)Äëÿ ëþáîãî x > 0 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà(3.47)Γ(x + 1) = xΓ(x),íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé ïðèâåäåíèÿ.Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (3.47) ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì. Ïóñòü x > 0.
ÒîãäàZ+∞Z+∞¯+∞x −tx −t ¯Γ(x + 1) =t e dt = −t e ¯+xtx−1 e−t dt = xΓ(x).000Ñëåäñòâèå 3.1 Åñëè n ∈ N, 0 < p ≤ 1, òîΓ(n + p) = (n − 1 + p)(n − 2 + p) . . . pΓ(p).(3.48)3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà43Ôîðìóëà (3.48) ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ è ïîçâîëÿåò ñâîäèòü âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ãàììà-ôóíêöèè îò ëþáîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ê âû÷èñëåíèþ å¼ çíà÷åíèé îò àðãóìåíòà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé.5)Γ(1) = 1.Äåéñòâèòåëüíî,Z+∞¯+∞−t−t ¯= 1.Γ(1) =e dt = −e ¯00Ñëåäñòâèå 3.2Γ(n + 1) = n! (n ∈ N).(3.49)Ôîðìóëà (3.49) ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû (3.48) ïðè p = 1 è ïîêàçûâàåò,÷òî ôóíêöèÿ Γ(x) ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè n! ñìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë.√6)Γ( 12 ) = π .Äåéñòâèòåëüíî,Z+∞Z+∞Z+∞√1√2− 12 −t−1 −u2Γ=t e dt =u e 2udu = 2e−u du = 2 ·π = π.22³1´000( ïðîöåññå âû÷èñëåíèé áûëà ñäåëàíà ïîäñòàíîâêà t = u2 è èñïîëüçîâàíèíòåãðàë Ýéëåðà-Ïóàññîíà (3.32).)7)Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëàΓ(x)Γ(1 − x) =π, 0 < x < 1,sin πx(3.50)íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé äîïîëíåíèÿ.Ýòà ôîðìóëà áóäåò äîêàçàíà ïîçæå .8)Ïðîäîëæåíèå ãàììà-ôóíêöèè â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë.Ïåðåïèøåì ôîðìóëó ïðèâåäåíèÿ â âèäåΓ(x) =Γ(x + 1).x(3.51)Ïóñòü x ∈ (−1; 0).
Òîãäà x + 1 ∈ (0; 1) è ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.51)ìîæíî çàäàòü ãàììà-ôóíêöèþ íà èíòåðâàëå (−1; 0). Òåïåðü ðàññìîòðèì44Îãëàâëåíèåx ∈ (−2; −1). Òîãäà x + 1 ∈ (−1; 0) è, ïîñêîëüêó íà èíòåðâàëå (−1; 0)ãàììà-ôóíêöèÿ óæå îïðåäåëåíà, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.51) ìîæíî çàäàòü ãàììà-ôóíêöèþ íà èíòåðâàëå (−2; −1). Ïîâòîðÿÿ îïèñàííûé ïðîöåññ íåîãðàíè÷åííî, ìû îïðåäåëèì ãàììà-ôóíêöèþ íà ìíîæåñòâå îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê 0, −1, −2, . .
.Ìîæíî îôîðìèòü ïðîöåññ ïðîäîëæåíèÿ ãàììà-ôóíêöèè â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íåñêîëüêî èíà÷å. Âîçüì¼ì x ∈ (−(n+1); −n), n ∈ Z+ .Òîãäà x + n + 1 ∈ (0; 1). Ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé (3.48) íàïèøåì:Γ(n + 1 + x) = (n + x)(n − 1 + x) . . . (1 + x)xΓ(x)èëèΓ(x) =Γ(n + 1 + x),(n + x)(n − 1 + x) . . . (1 + x)x(3.52)è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Γ(x) îïðåäåëåíà íà (−(n + 1); −n) ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.52).Ïîñêîëüêó îáà îïèñàííûõ ïðîöåññà ïðîäîëæåíèÿ ãàììà-ôóíêöèè îñíîâàíû íà èñïîëüçîâàíèè ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, òî îíè äàþò îäèí è òîò æåðåçóëüòàò (ïðîâåðüòå!).9)Ãðàôèê ôóíêöèè Γ(x).Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà x > 0. Î÷åâèäíî, ÷òî Γ(x) > 0. Òàêæå î÷åâèäíî,÷òî è Γ00 (x) > 0, ïîýòîìó ôóíêöèÿ Γ(x) âûïóêëàÿ, à å¼ ïðîèçâîäíàÿΓ0 (x) ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ è îáðàòèòüñÿ â íîëü ìîæåò òîëüêî îäèíðàç.
Òàê êàê Γ(1) = Γ(2) = 1, òî ïî òåîðåìå Ðîëëÿ íàéä¼òñÿ x0 ∈ (1; 2)òàêîå, ÷òî Γ0 (x0 ) = 0.  ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ Γ(x) èìååò ìèíèìóì. Ïîäñ÷èòàíî (ñì. [3], ò.2, ï.531), ÷òî x0 = 1, 4616..., Γ(x0 ) = 0, 8856.... Òàêêàê ïðè x > x0 ôóíêöèÿ Γ(x) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è Γ(n + 1) = n!,òî ïðè x → +∞ òàêæå è Γ(x) → +∞. Èç ôîðìóëû (3.51) ñëåäóåò, ÷òîåñëè x → +0, òî Γ(x) → +∞. Ýòèõ ñâåäåíèé äîñòàòî÷íî äëÿ ïîñòðîåíèÿãðàôèêà Γ(x) ïðè x > 0. Ðèñ. 13.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà45Áåòà-ôóíêöèÿ è å¼ ñâîéñòâàÁåòà-ôóíêöèåé èëè ýéëåðîâûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà íàçûâàþòèíòåãðàëZ1tx−1 (1 − t)y−1 dt.B(x, y) =(3.53)0Èçó÷èì ñâîéñòâà ýòîãî èíòåãðàëà.1)Ôóíêöèÿ B(x, y) îïðåäåëåíà â îáëàñòè x > 0, y > 0.Èíòåãðàë (3.53) íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà ñ îñîáûìèòî÷êàìè t = 0 è t = 1. ×òîáû èññëåäîâàòü åãî ñõîäèìîñòü, ðàçîáü¼ìïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà äâå ÷àñòè.Z1Z1/2x−1y−1B(x, y) =t (1 − t) dt + tx−1 (1 − t)y−1 dt.01/2Íà ïåðâîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ (1 − t)y−1 íåïðåðûâíà, ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíà, ïîýòîìó tx−1 (1 − t)y−1 ≤ M (y)tx−1 .Íà âòîðîì ïðîìåæóòêå íåïðåðûâíà, à çíà÷èò îãðàíè÷åíà ôóíêöèÿtx−1 , ïîýòîìó tx−1 (1 − t)y−1 ≤ M1 (y)(1 − t)x−1 .Ïðèìåíèâ ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà, óáåæäàåìñÿ â ñõîäèìîñòè îáîèõèíòåãðàëîâ ïðè x > 0, y > 0 ñîîòâåòñòâåííî.2)B(x, y) = B(y, x). ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ñâîéñòâà íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ñäåëàâ â (3.53)çàìåíó t = 1 − τ .3)Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëàZ+∞B(x, y) =tx−1dt,(1 + t)x+y(3.54)0íàçûâàåìàÿ âòîðûì èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì áåòà-ôóíêöèè.×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ñäåëàåì â èíòåãðàëå (3.53) ïîäñòàíîâêó t =τ.1+τÒîãäà 1 − t =1,1+τdt =dτ,(1+τ )2t = 0 ïåðåéäåò â τ = 0, t = 1 ïåðåéäåò46Îãëàâëåíèåâ τ = +∞, ïîýòîìóZ1tx−1 (1 − t)y−1 dt =B(x, y) =0Z+∞µ=τ1+τ¶x−1 µ11+τ¶y−1dτ=(1 + τ )20Z+∞tx−1dt.(1 + t)x+y04)Äëÿ ëþáûõ x > 0, y > 0 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîB(x + 1, y) =xB(x, y),x+y(3.55)íàçûâàåìîå ôîðìóëîé ïðèâåäåíèÿ äëÿ áåòà-ôóíêöèè.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîèçâåä¼ì â (3.55) èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì,ïîëîæèâ u = tx , dv = (1 − t)y−1 dt.
Òîãäà du = xtx−1 , v = − y1 (1 − t)y èZ1tx (1 − t)y−1 dt =B(x + 1, y) =0Z1¯1 x Z11 xx¯= − t (1 − t)y ¯ +tx−1 (1 − t)y dt =tx−1 (1 − t)y−1 (1 − t)dt =yyy00x=yZ1xtx−1 (1 − t)y−1 dt −y00Z1tx (1 − t)y−1 dt =xxB(x, y) − B(x + 1, y).yy0Ïåðåíåñÿ âòîðîå ñëàãàåìîå ñïðàâà íàëåâî è ñëîæèâ, íàéä¼ì:x+yxB(x + 1, y) = B(x, y),yyîòêóäà ïîñëå äåëåíèÿ è ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà ïðèâåäåíèÿ.Òàê êàê ôóíêöèÿ B(x, y) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ñâîèõ àðãóìåíòîâ, òî ñïðàâåäëèâî òàêæå è ðàâåíñòâîB(x, y + 1) =yB(x, y).x+yÄåéñòâèòåëüíî,B(x, y + 1) = B(y + 1, x) =yyB(y, x) =B(x, y).y+xx+y(3.56)3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà475)Ìåæäó ôóíêöèÿìè B(x, y) è Γ(x) ñóùåñòâóåò òåñíàÿ ñâÿçü, âû-ðàæàåìàÿ ôîðìóëîéΓ(x)Γ(y).Γ(x + y)B(x, y) =(3.57) èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè (3.45) ñîâåðøèì ïîäñòàíîâêó t = uτ ,ãäå τ íîâàÿ ïåðåìåííàÿ, à u > 0.
ÒîãäàZ+∞Z+∞Γ(x) =(uτ )x−1 e−uτ udτ = uxτ x−1 e−uτ dτ.00Òàê êàê â ýòîì ðàâåíñòâå íèêàêèõ óñëîâèé êðîìå ïîëîæèòåëüíîñòè,íåò, òî ìîæíî ïîäñòàâèòü â íåãî x+y âìåñòî x è 1+u âìåñòî u. Ïîëó÷èì:x+yΓ(x + y) = (1 + u)Z+∞τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ.0Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè íà ìíîæèòåëü, ñòîÿùèé ïåðåä èíòåãðàëîì.Γ(x + y)=(1 + u)x+yZ+∞τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ.0Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà ux−1 è çàòåì ïðîèíòåãðèðóåì ïî u â ïðåäåëàõ îò 0 äî +∞.Z+∞τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ.ux−1Γ(x + y)= ux−1(1 + u)x+y(3.58)0Z+∞Γ(x + y)ux−1 du=(1 + u)x+yZ+∞Z+∞ux−1 duτ x+y−1 e−(1+u)τ dτ.00(3.59)0Èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà åñòü B(x, y) (ñì.
(3.54)),à â ïðàâîé ÷àñòè ïðîèçâåä¼ì ïåðåìåíó ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ. ÒîãäàZ+∞ Z+∞Γ(x + y)B(x, y) =dτux−1 τ x+y−1 e−(1+u)τ du =0+∞Z=0+∞Z(τ u)x−1 τ y−1 e−τ e−τ u τ du.dτ00(3.60)48ÎãëàâëåíèåÂûíåñåì ìíîæèòåëü τ y−1 e−τ èç ïîä çíàêà âíóòðåííåãî èíòåãðàëà, ïî-ñëå ÷åãî ñîâåðøèì â í¼ì ïîäñòàíîâêó τ u = v .Z+∞Z+∞y−1 −τΓ(x + y)B(x, y) =τ e dτ(τ u)x−1 e−τ u d(τ u) =00Z+∞Z+∞y−1 −τ=τ e dτv x−1 e−v dv = Γ(y)Γ(x). (3.61)00Ïîñëå äåëåíèÿ íà Γ(x + y) èç (3.61) ïîëó÷àåòñÿ (3.57).Îñòàëîñü îáîñíîâàòü çàêîííîñòü èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿïðè ïåðåõîäå îò (3.59) ê (3.60). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 3.20.
Ñäåëàåì ýòî, ñ÷èòàÿ, ÷òî x > 1, y > 1.1)Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (u, τ ) = ux−1 τ x+y−1 e−(1+u)τ (ñì. (3.60)),î÷åâèäíî, íåïðåðûâíà ïðè èçìåíåíèè u è τ îò íóëÿ äî ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè.2)Ïåðâûé âíóòðåííèé èíòåãðàë (ñì. (3.60), (3.59))I(u) = ux−1Z+∞τ x+y−1 e−(1+u)τ dτ = Γ(x + y)ux−1(1 + u)x+y0ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé îò u íà [0; +∞).3)Âòîðîé âíóòðåííèé èíòåãðàë (ñì. (3.61))Z+∞Z+∞y−1 −τJ(τ ) =τ e dτ(τ u)x−1 e−τ u d(τ u) = τ y−1 e−τ Γ(x)00ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé îò τ íà [0; +∞).4)Âòîðîé ïîâòîðíûé èíòåãðàë (ñì.
(3.61))Z+∞Z+∞y−1 −ττ e dτ(τ u)x−1 e−τ u d(τ u) = Γ(y)Γ(x)00ñóùåñòâóåò.Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà (3.57) äîêàçàíà ïðè x > 1, y > 1.Ïóñòü òåïåðü x > 0, y > 0. Òîãäà x + 1 > 1, y + 1 > 1 è ïî äîêàçàííîìóB(x + 1, y + 1) =Γ(x + 1)Γ(y + 1).Γ(x + y + 2)3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà49Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ (3.47), (3.48), (3.55), (3.56).B(x + 1, y + 1) =xxyB(x, y + 1) =B(x, y).x+y+1x+y+1x+yΓ(x + 1)Γ(y + 1)xΓ(x)yΓ(y)=.Γ(x + y + 2)(x + y + 1)(x + y)Γ(x + y)Òàê êàê ëåâûå ÷àñòè ýòèõ ôîðìóë ðàâíû, òî ðàâíû è ïðàâûå. Ïðèðàâíèâàÿ èõ è ñîêðàùàÿ íà îáùèå ìíîæèòåëè, ïîëó÷èì (3.57).6)Ôóíêöèÿ B(x, y) íåïðåðûâíà â îáëàñòè x > 0, y > 0.7)Ôóíêöèÿ B(x, y) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè x > 0,y > 0.Ýòè ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè ôîðìóëû (3.57) è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ãàììà-ôóíêöèè.8)Äëÿ 0 < x < 1 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà äîïîëíåíèÿB(x, 1 − x) =π.sin πxÄåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3.50) è (3.57), èìååì:B(x, 1 − x) =Γ(x)Γ(1 − x)π=.Γ(1)sin πxÇàäà÷è.Z+∞1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
