nesob-int (1111230), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé In (y). Ïîóñëîâèþ òåîðåìû ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [c; d] (ïîñêîëüêó ñõîäèòñÿ èíòåãðàë (3.13)). Ïî òåîðåìå 3.9 ôóíêöèè In (y) (n ∈ N)äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [c; d], à ïî ëåììå 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïðîèçâîäíûõ In0 (y) ñõîäèòñÿ íà ýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî. Íî òîãäà ïîòåîðåìå î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèÿ I(y) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå[c; d] èa+nZI 0 (y) = lim In0 (y) = limn→∞n→∞a∂f (x, y)dx =∂yZ+∞∂f (x, y)dx.∂ya íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ áûâàåò íåîáõîäèìî èçìåíèòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ, êîãäà è ïåðåìåííàÿ x è ïàðàìåòð y èçìåíÿþòñÿ íà áåñêîíå÷íûõïðîìåæóòêàõ.
ÏóñòüK = [a; +∞) × [c; +∞) = {(x, y) : a ≤ x < +∞, c ≤ y < +∞}.3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà27Òåîðåìà 3.20 Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíàíà K . ÈíòåãðàëûZ+∞Z+∞I(y) =f (x, y)dx, J(x) =f (x, y)dya(3.23)aîáà ñõîäÿòñÿ è ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ñîîòâåòñòâåííîíà [c; +∞) è [a; +∞). Òîãäà ðàâåíñòâîZ+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞dyf (x, y)dx =dxf (x, y)dycaa(3.24)cñïðàâåäëèâî ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîãî èç ïîâòîðíûõ èíòåãðàëîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ëåâûé èç èíòåãðàëîâ â ðàâåíñòâå (3.24). Ïîêàæåì, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò è ïðàâûé èíòåãðàë, è ÷òî îíè ðàâíû. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãîε > 0 íàéä¼òñÿ A0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî A > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâîZ+∞ Z+∞ZAZ+∞dyf (x, y)dx − dxf (x, y)dy < ε.caa(3.25)cÏðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü (3.25). Òàê êàê äëÿ èíòåãðàëàZ+∞J(x) =f (x, y)dycâûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Äèíè (òåîðåìà 3.17), òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì ñåãìåíòå [a; A], ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 3.18ZAaÏîýòîìó=caZ+∞dyccaZ+∞ Z+∞ZAZ+∞dyf (x, y)dx − dxf (x, y)dy =cZ+∞Z+∞Z+∞ ZAdxf (x, y)dy =dy f (x, y)dx.aZ+∞f (x, y)dx −aZAdycacZ+∞ Z+∞f (x, y)dx =dyf (x, y)dx =cA28ÎãëàâëåíèåZC=Z+∞Z+∞ Z+∞f (x, y)dx +dyf (x, y)dx,dycACAãäå ÷èñëî C ïîêà íå îïðåäåëåíî.Âûáåðåì ε > 0 è îöåíèì îáà ïîñëåäíèõ èíòåãðàëà.
Òàê êàêZ+∞ Z+∞dyf (x, y)dxcañõîäèòñÿ, íàéä¼òñÿ C0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî C > C0 áóäåò èìåòü ìåñòîíåðàâåíñòâîZ+∞ Z+∞εdyf (x, y)dx < .2CaÍî òîãäà, ââèäó íåîòðèöàòåëüíîñòè ôóíêöèè f (x, y), êàêîâî áû íè áûëîA ≥ a, èZ+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞εdyf (x, y)dx < .f (x, y)dx ≤dy2aCAC(3.26)Âûáåðåì è çàôèêñèðóåì C > C0 è îöåíèì ïåðâûé èíòåãðàë. Ïî òåZ+∞îðåìå Äèíè I(y) =f (x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; C],aïîýòîìó ñóùåñòâóåò A0 òàêîå, ÷òî åñëè A > A0 , òî äëÿ ëþáîãî y ∈ [c; C]Z+∞f (x, y)dx <ε.2(C − c)AÏîýòîìóZCZ+∞dyf (x, y)dx <cεε· (C − c) = .2(C − c)2AÈòàê, åñëè A > A0 , òî, èñïîëüçóÿ (3.26), (3.27), ïîëó÷àåì:Z+∞ Z+∞ZAZ+∞dyf (x, y)dx − dxf (x, y)dy =cZC=caacZ+∞Z+∞ Z+∞ε εdyf (x, y)dx +dyf (x, y)dx < + = ε.2 2ACAÎöåíêà (3.25) ïîëó÷åíà, ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìà äîêàçàíà.(3.27)3.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà293.5 Íåñîáñòâåííûå êðàòíûå èíòåãðàëûZnÏóñòü D îáëàñòü â R , ôóíêöèÿ f : D → R, èíòåãðàëf (x)dvDíå ñóùåñòâóåò èç-çà òîãî, ÷òî ëèáî îáëàñòü D íå îãðàíè÷åíà, ëèáî ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà â îáëàñòè D, ëèáî è òî, è äðóãîå, íî íà êàæäîìçàìêíóòîì êóáèðóåìîì ïîäìíîæåñòâå G ⊂ D ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìàïî Ðèìàíó.Îïðåäåëåíèå 3.9 Ïðè âûïîëíåíèè âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå óñëîâèéZ(3.28)f (x)dvDáóäåì íàçûâàòü íåñîáñòâåííûì êðàòíûì èíòåãðàëîì.Îïðåäåëåíèå 3.10 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáëàñòåé (Dm ) (m ∈ N) íàçîâ¼ì èñ÷åðïûâàþùåé (îáëàñòü D), åñëè:1) äëÿ êàæäîãî m ∈ N Dm êóáèðóåìà;2) äëÿ êàæäîãî m ∈ N Dm ⊂ D (Dm çàìûêàíèå Dm );3) äëÿ êàæäîãî m ∈ N Dm ⊂ Dm+1 ;∞SDm = D .4)m=1Îïðåäåëåíèå 3.11 Íåñîáñòâåííûé êðàòíûé èíòåãðàë (3.28) áóäåì íàçûâàòü ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ïðè ëþáîì âûáîðå èñ÷åðïûâàþùåéïîñëåäîâàZòåëüíîñòè îáëàñòåé Dm (m ∈ N) ñóùåñòâóåò limf (x)dv , ïðèíèìàþùèé îäíî è òî æå çíà÷åíèå I .m→∞Dm ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü è ïèñàòüZf (x)dv = I.(3.29)D ïðîòèâíîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ, è íå áóäåìïðèïèñûâàòü åìó íèêàêîãî çíà÷åíèÿ.Ïîíÿòèå óñëîâíîé ñõîäèìîñòè äëÿ êðàòíîãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà òåðÿåò ñìûñë, èáî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.30ÎãëàâëåíèåZÒåîðåìà 3.21 Åñëè ñõîäèòñÿZf (x)dv , òî ñõîäèòñÿ èD|f (x)|dv .DÄîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî íàéòè â [5], [1], [10] è äðóãèõ ó÷åáíèêàõ.À ïîñêîëüêó ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñÿêèé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òîäîñòàòî÷íî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâ îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.
Íî ïðåæäå äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 3.2 Ïóñòü (Dm ) è (Dl0 ) äâå ëþáûå èñ÷åðïûâàþùèå îáëàñòüD ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òîãäà äëÿ ëþáîãî m ∈ N íàéä¼òñÿ l ∈ N òàêîå,÷òî Dm ⊂ Dl0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà íåêîòîðàÿ îáëàñòü Dm0 íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîé èç îáëàñòåé Dl0 , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òîäëÿ ëþáîãî l ∈ N íàéä¼òñÿ xl ∈ Dm0 òàêîå, ÷òî xl ∈/ Dl0 .
Òàêèì îáðàçîì, èç îáëàñòè Dm0 âûäåëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê (xl ). Òàê êàêîáëàñòü Dm0 êóáèðóåìà, òî å¼ çàìûêàíèå Dm0 îãðàíè÷åííîå è çàìêíóòîå, òî-åñòü, êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî. Íî òîãäà èç ëþáîé ñîäåðæàùåéñÿâ í¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Èòàê, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xl ) ñîäåðæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xlk ), ñõîäÿùóþñÿ ê x0 ∈ Dm0 . Òàê êàê Dm0 ⊂ D, òî x0 ∈ D, à òàêêàê Dl0 èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî íàéä¼òñÿ Dl00 3 x0 . Dl00 îáëàñòü, ïîýòîìó òî÷êà x0 ñîäåðæèòñÿ â íåé âìåñòå ñ îêðåñòíîñòüþ, àýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè xlk ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè íîìåðàìè òîæåïðèíàäëåæàò Dl00 è âñåì Dl0 ñ íîìåðàìè, áîëüøèìè, ÷åì l0 . Ïîëó÷àåòñÿ,÷òî åñëè íîìåð lk íàñòîëüêî âåëèê, ÷òî xlk ∈ Dl00 è lk > l0 , òî xlk ∈ Dl0k ,íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó òî÷åê xl .Òåîðåìà 3.22 Íåñîáñòâåííûé êðàòíûé èíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû ïî îäíîéèñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáëàñòåé Dm ïîñëåäîâàòåëüíîñòüèíòåãðàëîâZf (x)dvDm(3.30)3.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà31îãðàíè÷åíà.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíà. Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü Dm òàêàÿ èñ÷åðïûâàþùàÿïîñëåäîâàòåëüZíîñòü îáëàñòåé, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâf (x)dv îãðàíè÷åíà, òî-åñòü, ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òîZf (x)dv ≤ M ∀m ∈ N.DmDmZÒàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòüf (x)dv ê òîìó æå ìîíîòîííî íå óáûâàåò,Dmòî ê íåé ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó Âåéåðøòðàññà î ïðåäåëå ìîíîòîííîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè , ïî êîòîðîé ñóùåñòâóåòZlimf (x)dv = I,m→∞Dmè ïðè ýòîìZ(3.31)f (x)dv ≤ I ∀m ∈ N.DmÏóñòü Dl0 äðóãàÿ èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà ïîëåììå 3.2 ∀l ∈ N ∃m ∈ N òàêîå, ÷òî Dl0 ⊂ Dm .
À òîãäà äëÿ ëþáîãîl∈NZZf (x)dv ≤Dl0f (x)dv ≤ I,DmZñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâf (x)dv îãðàíè÷åíà èDl0ïî äîêàçàííîìó âûøå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ, òî-åñòü, ñóùåñòâóåò ÷èñëî I 0(î÷åâèäíî, I 0 ≤ I ) òàêîå, ÷òîZf (x)dv = I 0 .liml→∞Dl0Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî I 0 = I .
Èñ÷åðïûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(Dm ) è (Dl0 ) ðàâíîïðàâíû, ïîýòîìó, ïîìåíÿâ èõ ìåñòàìè è ïîâòîðèâ ïðèâåä¼ííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî I ≤ I 0 , òî-åñòü, I 0 = I .32ÎãëàâëåíèåÒåîðåìà 3.23 (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ) Ïóñòü ôóíêöèè f è g óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì, îïèñàííûì ïðè îïðåäåëåíèè êðàòíîãî íåñîáñòâåííîãîèíòåãðàëà, íåîòðèöàòåëüíû,è f (x) ≤ g(x)ZZ âñþäó â îáëàñòè D. Òîãäà,åñëè ñõîäèòñÿg(x)dv , òî ñõîäèòñÿ èf (x)dv .DDÄîêàçàòåëüñòâî.Z Ïóñòü Dm èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáëàñòåé. Òàê êàêRg(x)dv ñõîäèòñÿ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâDg(x)dv , m ∈ N, îãðàíè÷åíà. Òîãäà, â ñèëó òîãî, ÷òîDmZZf (x)dv ≤Dmg(x)dv,DmZïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâýòîìó ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìåf (x)dv , m ∈ N, òîæå îãðàíè÷åíà, ïî-RDmf (x)dv ñõîäèòñÿ.D îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðè ïðèìåíåíèè ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ îáû÷íî èñïîëüçóþò ýòàëîííûå ôóíêöèè, ñðåäè êîòîðûõ íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíîéÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ 1/xp .
 ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå àíàëîãîì ýòîé ôóíêöèèpÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ 1/rp , ãäå r = x21 + x22 + . . . + x2n . Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà p èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè ñõîäèòñÿ, îãðàíè÷èâøèñüñëó÷àåì n = 2.ZZÏðèìåð 3.14 Ðàññìîòðèìpdxdy, ãäå r = x2 + y 2 , à îáëàñòü D =prD= {(x, y) : 0 < x2 + y 2 < 1} îòêðûòûé åäèíè÷íûé êðóã ñ âûêîëîòûìöåíòðîì.Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáëàñòåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîëåö Dm = {(x, y) : 1/m2 < x2 + y 2 < 1} èïåðåéä¼ì ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. ÒîãäàZZDmdxdy=rpZ2πZ1dϕ01/mrdr= 2πrpZ11/mdr.rp−13.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà33Êàê èçâåñòíî, ïðåäåë ïîñëåäíåãî èíòåãðàëàïðè m → ∞ ñóùåñòâóåò,ZZdxdyåñëè p − 1 < 1 èëè p < 2. Ñëåäîâàòåëüíî,ïðè p < 2 ñõîäèòñÿ, àrpDïðè p ≥ 2 ðàñõîäèòñÿ.ZZÏðèìåð 3.15 Ðàññìîòðèì ýòîò æå èíòåãðàëdxdy, íî òåïåðü ârpDêà÷åñòâå îáëàñòè D âûáåðåì âíåøíîñòü çàìêíóòîãî êðóãà ñ öåíòðîìâ òî÷êå O ðàäèóñà 1, D = {(x, y) : x2 + y 2 > 1}.Ðåøåíèå.  êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé îáëàñòü D ïîñëåäîâàòåëüíîñòèâûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîëåö Dm = {(x, y) : 1 < x2 + y 2 < m2 }.ÒîãäàZZdxdy= limm→∞rpDmZZdxdy= limm→∞rpZ2πdϕ0DmZmrdr= 2π limm→∞rp1Zmdr.rp−11Êàê èçâåñòíî, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïðè p − 1 > 1 èëè p > 2è ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 2.Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî åñëè ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà n = 3, òî èíòåãðàëû, àíàëîãè÷íûå ðàññìîòðåííûì â ïðèìåðàõ 3.14, 3.15 ñõîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïðè p < 3 è p > 3.
Âîáùåì ñëó÷àå ðàññìîòðåííûå èíòåãðàëû ñõîäÿòñÿ ïðè p < n ïåðâûé) èïðè p > n (âòîðîé). Îáîñíîâàíèå ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî íàéòèâ [1](÷.2).3.6 Âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâÈíòåãðàë Ýéëåðà-ÏóàññîíàZ+∞2Èíòåãðàëîì Ýéëåðà-Ïóàññîíà íàçûâàþò èíòåãðàëe−ax dx (a > 0).Ïîêàæåì, ÷òî0rZ+∞1π2.e−ax dx =2 a0(3.32)34ÎãëàâëåíèåZZ2 −y 2e−xÐàññìîòðèìdxdy .
Ýòî íåñîáñòâåííûé äâîéíîé èíòåãðàë.R2Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðóãîâ Km = {(x, y) : x2 + y 2 < m2 }. ÒîãäàZZZZ−x2 −y 2eZ2π−x2 −y 2dxdy = limem→∞dxdy = lim0Zme= π limm→∞−r2³2d(r ) = π limm→∞−r2−e2e−r rdr =dϕm→∞KmR2Zm0¯m ´³´¯−m2= π lim 1 − e= π.¯m→∞00À òåïåðü âîçüì¼ì â êà÷åñòâå èñ÷åðïûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êâàäðàòîâ Πm = {(x, y) : |x| < m, |y| < m}. ÒîãäàZZZZ22−x2 −y 2edxdy = lime−x −y dxdy =m→∞ΠmR2 m2∞2ZmZmZZ2222= lime−x dxe−y dy = 4 lim e−x dx = 4 e−x dx .m→∞−mm→∞−m00Z∞2e−x dx =Ñðàâíèâ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, íàéä¼ì:ôîðìóëà (3.32) ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé x =0√1√π .
Îòñþäà2at.Èíòåãðàë ÄèðèõëåZ+∞Èíòåãðàëîì Äèðèõëå íàçûâàþò èíòåãðàësin axdx. Ïîêàæåì,÷òîx0Z+∞I(a) =sin axπdx = sgna.x2(3.33)0Î÷åâèäíî, ÷òî I(0) = 0. Ñòîëü æå î÷åâèäíî, ÷òî I(−a) = I(a). Ïîýòîìó îñòà¼òñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë Äèðèõëå ïðè a > 0. Åñëè ïîëîæèòüZ+∞sin tax = t, òî ïîëó÷èì, ÷òî I(a) =dt. Òàê ÷òî îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òît0Z+∞0πsin xdx = .x2(3.34)3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà35Ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé èíòåãðàëZ+∞J(a) =sin x −axe dx (a ≥ 0).x(3.35)0Îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå a ≥ 0 (ñì.
ïðèìåð 3.13), ïîýòîìóôóíêöèÿ J(a) íåïðåðûâíà ïðè a ≥ 0, â ÷àñòíîñòè, ïðè a = 0.Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (ïîêà ôîðìàëüíî) èíòåãðàë (3.35).Z+∞sin xe−ax dx.J 0 (a) = −(3.36)0Èíòåãðàë (3.36) ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ äâóêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì ïî÷àñòÿì. Ïðîäåëàâ ýòî, ïîëó÷èì:J 0 (a) = −ÎòñþäàZ1.1 + a21da = − arctg a + C.1 + a2J(a) = −(3.37)×òîáû îïðåäåëèòü çíà÷åíèå C , ñîâåðøèì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðèa → +∞, äëÿ ÷åãî îöåíèì èíòåãðàë (3.35).¯ +∞¯¯Z¯ Z+∞¯¯Z+∞¯¯¯¯sinxsinx1¯¯¯ e−ax dx ≤e−ax dx¯¯ ≤e−ax dx = ,¯¯¯xxa¯¯000îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî lim J(a) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
