nesob-int (1111230)
Текст из файла
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÃîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÔàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóêÂ.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓÀÍÀËÈÇÓÍåñîáñòâåííûå èíòåãðàëûèèíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðîâÐîñòîâ-íà-ÄîíóÎãëàâëåíèå1Ïðåäèñëîâèå . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà . . . . . . . . . . . . .33.1Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . .33.2Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà . . 123.3Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà3.4Ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò19ïàðàìåòðà . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5Íåñîáñòâåííûå êðàòíûå èíòåãðàëû . . . . . . . . . . 293.6Âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ . 333.7Ýéëåðîâû èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 5912Îãëàâëåíèå1 Ïðåäèñëîâèå2 ÂâåäåíèåÌàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç îáùåîáðàçîâàòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà, îáúåêòîì èçó÷åíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ áîëüøàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííàÿ ñ ïîíÿòèÿìè ôóíêöèè, ïðîèçâîäíîé è èíòåãðàëà. Öåëüäèñöèïëèíû ¾Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç¿ - îçíàêîìëåíèå ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ ïåðåìåííûõ âåëè÷èí ïîñðåäñòâîì àíàëèçàáåñêîíå÷íî ìàëûõ, îñíîâó êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.Îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ â äàííîé äèñöèïëèíå ÿâëÿþòñÿ ïðåæäå âñåãîôóíêöèè.
Ñ èõ ïîìîùüþ ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû êàê çàêîíû ïðèðîäû, òàê è ðàçíîîáðàçíûå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â òåõíèêå. Îòñþäàîáúåêòèâíàÿ âàæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà êàê ñðåäñòâà èçó÷åíèÿôóíêöèé.Äèñöèïëèíà ¾Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç¿ îòðàæàåò âàæíîå íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.  íåé ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû,ñâÿçàííûå ñ ìåòîäàìè âû÷èñëåíèé, ÷òî âàæíî äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿.3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà33Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà3.1 Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëûÍåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäàÏóñòü f : [a, +∞) → R è èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà ëþáîì îòðåçêå[a, A] (A ∈ (a, +∞)).
Ôîðìàëüíîå âûðàæåíèåZ+∞f (x)dxaíàçîâ¼ì íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà.Îïðåäåëåíèå 3.1 Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà íàçîâ¼ì ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñóùåñòâóåòZAlimf (x)dx = I.A→+∞a ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷èñëî I ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì èíòåãðàëà è ïèñàòüZ+∞I=f (x)dx.aÅñëè æå óêàçàííûé ïðåäåë ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè èëè âîâñå íå ñóùåñòâóåò, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.Ïðè àíàëîãè÷íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îïðåäåëèì íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëûZbZbf (x)dx = limB→+∞−B−∞Z+∞Ïðèìåð 3.11f (x)dx èZ+∞f (x)dx =−∞ZAlimA,B→+∞−Bf (x)dx.dxñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 1.xp4ÎãëàâëåíèåÝòîò ïðèìåð è íåêîòîðûå äðóãèå ðàññìàòðèâàëèñü âî âòîðîì ñåìå-ñòðå.Íàáëþäàåòñÿ ïîëíàÿ àíàëîãèÿ ìåæäó íåñîáñòâåííûìè èíòåãðàëàìèZAïåðâîãî ðîäà è ÷èñëîâûìè ðÿäàìè.
Èíòåãðàë f (x)dx ñîîòâåòñòâóåò ÷àañòè÷íîé ñóììå ðÿäà è ïîýòîìó ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà è ðÿäà îïðåäåëÿZ∞åòñÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâî. Èíòåãðàëf (x)dx ïî àíàëîãèè ñ îñòàòêîìAðÿäà íàçîâ¼ì îñòàòêîì èíòåãðàëà. Êàê è äëÿ ðÿäîâ óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òîåñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà ñõîäèòñÿ, òî åãî îñòàòîê ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Íèæå åù¼ íå îäèí ðàç ïðåäñòàâèòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîñëåäèòü çà îòìå÷åííûì ñõîäñòâîì ðÿäîâ è íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.Z+∞Òåîðåìà 3.1 (êðèòåðèé Êîøè) Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëf (x)dxañõîäèòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ∀ε > 0 ∃A0 (> a) òàêîå,÷òî ∀A0 , A00 > A0¯ A00¯¯Z¯¯¯¯ f (x)dx¯ < ε.¯¯¯ 0¯AZAÄîêàçàòåëüñòâî.f (x)dx åñòü ôóíêöèÿ F (A) îò âåðõíåãî ïðåäåëà A,aîïðåäåë¼ííàÿ íà ïðîìåæóòêå [a, +∞),ZAF (A) =f (x)dx.aÅñëè èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, òî ñóùåñòâóåò lim F (A) = I è íàîáîðîò. ÍàA→+∞ïèøåì äëÿ ôóíêöèè F (A) óñëîâèå Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïðèA → +∞:∀ε > 0 ∃A0 (> a) : ∀A0 , A00 > A0 |F (A00 ) − F (A0 )| < ε.ZA00Ïîñêîëüêó F (A00 ) − F (A0 ) =ZA0f (x)dx −aZA00f (x)dx, òî óñëîâèåf (x)dx =aA0Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì Êîøèñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè F (A), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.3.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà5Åñëè èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå, òî ìîæíîñôîðìóëèðîâàòüZ+∞Ïðåäëîæåíèå 3.1f (x)dx ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàaäëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè An → +∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåZAnãðàëîâf (x)dx ñõîäèòñÿ.aZ+∞f (x)dx àáñîëþòíî ñõîäÿùèìÎïðåäåëåíèå 3.2 Íàçîâ¼ì èíòåãðàëaZ+∞ñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ èíòåãðàë|f (x)|dx.aZ+∞f (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî îí ñõîäèòñÿ.Òåîðåìà 3.2 ÅñëèaÄîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî ïî êðèòåðèþ Êîøè ∀ε > 0 ∃A0 : ∀A0 , A00 > A0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåZA00|f (x)|dx < ε.A0Íî òîãäà è¯ A00¯ ¯ A00¯¯Z¯ ¯Z¯¯¯ ¯¯¯ f (x)dx¯ ≤ ¯ |f (x)|dx¯ < ε¯¯ ¯¯¯ 0¯ ¯ 0¯A0A00ïðè ëþáûõ A , A > A0 .Z+∞f (x)dx ñõîäèòñÿ, íî íå ñõîäèòñÿ àáñîëþòÎïðåäåëåíèå 3.3 Åñëèaíî, òî áóäåì íàçûâàòü åãî óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ.Òåîðåìà 3.3 (Âåéåðøòðàññ) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) → R, èíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáîì A > a, |f (x)| ≤ g(x) äëÿ âñåõZ+∞Z +∞x ∈ [a; +∞) èg(x)dx ñõîäèòñÿ.
Òîãäàf (x)dx òîæå ñõîäèòñÿaè ïðèòîì àáñîëþòíî.a6ÎãëàâëåíèåZ+∞Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàêg(x)dx ñõîäèòñÿ, òî ïî êðèòåðèþ Êîøèa¯ A00¯¯Z¯¯¯000¯∀ > 0 ∃A0 òàêîå, ÷òî ïðè A , A > A0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ¯ g(x)dx¯¯ <¯ 0¯A000ε. Íî òîãäà ïðè A , A > A0 èìååì:¯¯ ¯ A00¯ A00¯ ¯ A00¯¯ ¯Z¯ ¯Z¯Z¯¯ ¯¯¯ ¯¯ f (x)dx¯ ≤ ¯ |f (x)|dx¯ ≤ ¯ g(x)dx¯ < ε.¯¯ ¯¯ ¯¯¯¯ ¯ 0¯ ¯ 0¯ 0AAAÈç ïîëó÷åííîé îöåíêè, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, âûòåêàåò è ñõîäèìîñòü èàáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà îò f (x).Çàìå÷àíèå 3.1 Íåðàâåíñòâî |f (x)| ≤ g(x) â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìûìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü äëÿ x ∈ [b; +∞), ãäå b > a.
Ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòüZ+∞ZbZ+∞f (x)dx.f (x)dx = f (x)dx +aabÏåðâûé èíòåãðàë â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè íå îñîáåííûé, à êî âòîðîìóìîæíî ïðèìåíèòü äîêàçàííóþ òåîðåìó.Z+∞Ïðèìåð 3.2 Ðàññìîòðèì èíòåãðàëûsinxdx,xp1Z+∞cosxdx.xp1¯¯Z+∞¯ sinx ¯dx1Ðåøåíèå. Òàê êàê ¯¯ p ¯¯ ≤ p , àñõîäèòñÿ, åñëè p > 1 (ïðèìåðxxxpZ+∞1sinxdx ñõîäèòñÿ, è ïðèòîì àáñîëþòíî, ïðè p > 1. Âòîðîéxp1èíòåãðàë ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.3.1), òî èÒåîðåìà 3.4 (Äèðèõëå) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) → R è èíòå-Z+∞ãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáîì A > a. Òîãäàf (x)g(x)dxñõîäèòñÿ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:ZA1)f (x)dx îãðàíè÷åí íà [a; +∞);aa2) ôóíêöèÿ g(x) ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → +∞.3.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà7Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî ïåðâîìó óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ,¯¯¯ZA¯¯¯÷òî ¯¯ f (x)dx¯¯ ≤ M ∀A(> a). Ïî âòîðîìó óñëîâèþ ∀ε > 0 ∃A0 òàêîå, ÷òaïðè A > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |g(A)| < ε/2M . Ïî âòîðîìó æå óñëîâèþ ôóíêöèþ g(x) ìîæíî ñ÷èòàòü íåîòðèöàòåëüíîé. Âîçüì¼ìZA00A0 , A00 > A0 (A0 < A00 ) è ïðèìåíèì ê èíòåãðàëóf (x)g(x)dx âòîðóþ òåA0îðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè (ôîðìóëó Áîííý), ñîãëàñíî êîòîðîé íàéä¼òñÿA (A0 < A < A00 ) òàêîå, ÷òîZA00ZAf (x)g(x)dx = g(A0 )A0f (x)dx.A0Íî òîãäà, ïîñêîëüêó¯ A¯ ¯ A¯ ¯ A¯ ¯¯¯Z¯ ¯Z¯ ¯Z¯ ¯ZA0¯ZA0¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯¯ f (x)dx¯ = ¯ f (x)dx − f (x)dx¯ ≤ ¯ f (x)dx¯ + ¯ f (x)dx¯ < 2M,¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯¯ 0¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯aAaaañïðàâåäëèâà îöåíê௠A00¯ ¯¯¯Z¯ ¯¯ZA¯¯ ¯¯¯ f (x)g(x)dx¯ = ¯g(A0 ) f (x)dx¯ < ε · 2M = ε¯¯ ¯¯ 2M¯ 0¯ ¯¯0AAäëÿ ëþáûõ A0 , A00 > A0 .
Ïî êðèòåðèþ Êîøè èíòåãðàë ñõîäèòñÿ.Òåîðåìà 3.5 (Àáåëü) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) → R è èíòå-Z+∞ãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáîì A > a. Òîãäàf (x)g(x)dxañõîäèòñÿ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:ZA1)f (x)dx ñõîäèòñÿ;a2) ôóíêöèÿ g(x) ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà íà [a; +∞).Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó âòîðîãî óñëîâèÿ ñóùåñòâóåò lim g(x) = g0 .x→+∞ÒîãäàZ+∞Z+∞f (x)g(x)dx =f (x) (g(x) − g0 + g0 ) dx =aa8ÎãëàâëåíèåZ+∞Z+∞=f (x) (g(x) − g0 ) dx + g0f (x)dx.aaÏåðâûé èç èíòåãðàëîâ ñïðàâà ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå, ïîñêîëüêóg(x) − g0 ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → +∞, à âòîðîé ñõîäèòñÿâ ñèëó óñëîâèÿ 1 äîêàçûâàåìîé òåîðåìû.Çàìå÷àíèå 3.2 Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Àáåëÿ áûëî èñïîëüçîâàíî î÷åâèäíîå ñâîéñòâî íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ: åñëè ñõîäÿòñÿ èíZ+∞Z+∞Z+∞òåãðàëûf (x)dx èg(x)dx, òî ñõîäèòñÿ è(f (x) + g(x)) dx, ïðèýòîìaaaZ+∞Z+∞Z+∞(f (x) + g(x)) dx =f (x)dx +g(x)dx.aaaÎ÷åâèäíîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ óñòàíîâèòü ÷èòàòåëþ.Z+∞Ïðèìåð 3.3 Âåðí¼ìñÿ ê ðàññìîòðåííûì âûøå ïðèìåðàìZ+∞sin xdx èxp1cos xdx.xp1Ðåøåíèå.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
