nesob-int (1111230), страница 3
Текст из файла (страница 3)
I(y) = dx = 1;0Z1Zy2. Ïóñòü 0 < y < 1. I(y) = −dx = −y + (1 − y) = 1 − 2y .dx +0yZ13. Ïóñòü y ≥ 1. I(y) = −dx = −1.0Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ I(y) èìååò îäèíàêîâûå ïðåäåëûñëåâà è ñïðàâà â òî÷êàõ y = 0 è y = 1, ïîýòîìó íåïðåðûâíà.Z1y 2 − x2¡¢2 dx.x2 + y 2Ïðèìåð 3.9 Ðàññìîòðèì I(y) =0Ðåøåíèå.
Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå (0; 0), îäíàêî, âû÷èñëèâ èíòåãðàë, óáåäèìñÿ, ÷òî îí ïðåäñòàâëÿåò èíòåãðèðóåìóþíà îòðåçêå [0; 1] ôóíêöèþ.Z1I(y) =0y 2 − x2¡¢2 dx =x2 + y 2ïîýòîìóZ1Z1 µd0¶¯x=1x1¯,= 2¯ =2x + y x=0 1 + y 20Z1I(y)dy =x2x + y2¯1 π1¯dy=arctgy¯= .21+y400Îäíàêî ïîïûòêà ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ïàðàìåòðó ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ïðèâåä¼ò ê èíîìó ðåçóëüòàòó.Z1Z1dx00Z1=−y 2 − x2¢2 dy =¡x2 + y 2Z10¶Z1 µ−ydx d=x2 + y 20Z1¯y=1dxπy¯dx = −=− .¯222x + y y=01+x400Zy2Ïðèìåð 3.10 Ðàññìîòðèì I(y) =ysin xydx.x3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà19Ðåøåíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî èíòåãðàë óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 3.11 íà ëþáîì îòðåçêå [c; d]. Íàéä¼ì ïðîèçâîäíóþ I 0 (y), èñïîëüçóÿôîðìóëó 3.8.Zy2I 0 (y) =cos xydx +sin y 3sin y 2·2y−·1=y2yysin y 3 sin y 2sin xy ¯¯y2sin y 3 sin y 2sin y 3 sin y 2=−=−+2−=¯ +2yyyyyyyy=3sin y 3sin y 2−2.yy3.3 Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðàÏóñòü Y ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, f : [a; +∞)×Y → R.
ÏðåäïîëîZ+∞æèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî y ∈ Y ñõîäèòñÿf (x, y)dx. Òîãäà íà ìíîæåñòâåaY îïðåäåëåíà ôóíêöèÿZ+∞I(y) =f (x, y)dx,(3.13)aêîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà, çàâèñÿùèì îò ïàðàìåòðà.Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüÏîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ñòîëü æå âàæíî, êàê è äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.Îïðåäåëåíèå 3.8 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y , åñëè åãî îñòàòîê ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê20Îãëàâëåíèåíóëþ íà ýòîì ìíîæåñòâå, òî-åñòü, åñëè ∀ε > 0 ∃A0 (> A) òàêîå, ÷òî∀A > A0 ∀y ∈ Y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâ +∞¯¯Z¯¯¯ f (x, y)dx¯ < ε.¯¯¯¯(3.14)AÒåîðåìà 3.12 (êðèòåðèé Êîøè) Äëÿ òîãî, ÷òîáû èíòåãðàë (3.13)ñõîäèëñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ (óñëîâèå Êîøè): ∀ε > 0 ∃A0 , çàâèñÿùååòîëüêî îò ε, òàêîå, ÷òî ∀A0 , A00 > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâ A00¯¯Z¯¯¯ f (x, y)dx¯ < ε.(3.15)¯¯¯¯ 0AÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y . Òîãäà, âçÿâ ëþáîå ε > 0, ïîäáåðåì A0 =¯ A0 (ε) òàê, ÷òîáûäëÿ¯¯ Z+∞¯¯¯ëþáûõ A > A0 è y ∈ Y âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî ¯¯ f (x, y)dx¯¯ < ε/2.¯¯A000Âîçüì¼ì ëþáûå A , A > A0 è ëþáîå y ∈ Y . Òîãä௠A00¯ ¯ +∞¯¯Z¯ ¯Z¯Z+∞¯¯ ¯¯¯ f (x, y)dx¯ = ¯ f (x, y)dx −¯≤f(x,y)dx¯¯ ¯¯¯ 0¯ ¯ 0¯00AAA¯ +∞¯ ¯ +∞¯¯Z¯ ¯Z¯¯¯ ¯¯ ε ε¯¯¯≤ ¯ f (x, y)dx¯ + ¯ f (x, y)dx¯¯ < + = ε¯ 0¯ ¯ 00¯ 2 2AAè íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà.Íàîáîðîò, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (3.15), òî îíî âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî y ∈ Y . Íî òîãäà ïî òåîðåìå 3.1 äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî y ∈ Y èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ, òî-åñòü, äëÿ êàæäîãî y ∈ YZAñóùåñòâóåò limf (x, y)dx.
Ïîýòîìó, ïîëîæèâ â (3.15) A0 = A(> A0 ) èA→+∞aóñòðåìèâ A00 ê +∞, ïîëó÷èì äëÿ ëþáîãî y ∈ Y¯¯ +∞¯¯Z¯¯¯ f (x, y)dx¯ ≤ ε,¯¯¯¯A÷òî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ íà Y ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.13).3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà21Òåîðåìà 3.13 (Âåéåðøòðàññ) Ïóñòü f : [a, +∞) → R è äëÿ ëþáûõA(> a) è y ∈ Y ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [a; A].Ïóñòü g : [a; +∞) → R, äëÿ âñåõ x ∈ [a; +∞), y ∈ Y âûïîëíÿåòñÿ+∞Ríåðàâåíñòâî |f (x, y)| ≤ g(x) èg(x)dx ñõîäèòñÿ.
Òîãäà èíòåãðàë (3.13)añõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî (è àáñîëþòíî) íà ìíîæåñòâå Y .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâïåðâîãî ðîäà (ñì. 3.1) äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ ¯A0 òàêîå,¯ ÷òî äëÿ¯¯ZA00¯¯000ëþáûõ A , A > A0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî ¯¯ g(x)dx¯¯ < ε. Íî¯ 0¯Aòîãäà äëÿ ëþáîãî y ∈ Y , äëÿ ëþáûõ A0 , A00 > A0 èìååì:¯¯ ¯ A00¯ A00¯ ¯ A00¯¯Z¯ ¯Z¯ ¯Z¯ ¯¯¯¯ ¯¯ f (x, y)dx¯ ≤ ¯ |f (x, y)| dx¯ ≤ ¯ g(x)dx¯ < ε.¯ ¯¯¯¯ ¯¯¯ ¯ 0¯ 0¯ ¯ 0AAAÎñòà¼òñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó 3.12.Z+∞Ïðèìåð 3.11 Ðàññìîòðèìcos axdx.1 + x20Ðåøåíèå.
Ýòîò èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà R, òàê êàê èìååò ìåñòZ+∞¯ cos ax ¯dx1¯≤îöåíêà ¯¯,àñõîäèòñÿ.¯221+x1+x1 + x20Òåîðåìà 3.14 (Äèðèõëå) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) × Y → R èèíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáûõ A > a è y ∈ Y . ÒîãäàZ+∞f (x, y)g(x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Y , åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþaùèå äâà óñëîâèÿ:ZA1) f (x, y)dx ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åí íà [a; +∞), òî-åñòü, ñóùåñòâóaåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ A > a è y ∈ Y¯¯ A¯¯Z¯¯¯ f (x, y)dx¯ ≤ M ;¯¯¯¯a2) ôóíêöèÿ g(x, y) ìîíîòîííî ïî x ïðè êàæäîì y ∈ Y è ðàâíîìåðíîïî y ∈ Y ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → +∞.22ÎãëàâëåíèåÄîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû òàêîå æå, êàê è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.4, íóæíî ëèøü ïðîñëåäèòü, ÷òîáû âñå îöåíêè âûïîëíÿëèñü ðàâíîìåðíî ïî ïàðàìåòðó.Ïî ïåðâîìó óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõA > a è y ∈ Y èìååò ìåñòî îöåíêà:¯¯ A¯¯Z¯¯¯ f (x, y)dx¯ ≤ M.¯¯¯¯(3.16)aÏî âòîðîìó óñëîâèþ äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ A0 (> a) òàêîå, ÷òîäëÿ ëþáûõ A > A0 è y ∈ Y âûïîëíåíî|g(A, y)| <ε.4M(3.17)ZA00Âîçüì¼ì A0 , A00 > A0 è ïðèìåíèì ê èíòåãðàëóf (x, y)g(x, y)dx âòîA0ðóþ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè (òîëüêî íà ýòîò ðàç â îáùåì âèäå, ïîñêîëüêó íåèçâåñòåí çíàê g(x, y)), ñîãëàñíî êîòîðîé íàéä¼òñÿ A = A(y),A ∈ [A0 , A00 ], òàêîå, ÷òîZA00ZA00ZAf (x, y)dx + g(A00 , y)f (x, y)g(x, y)dx = g(A0 , y)A0A0f (x, y)dx.(3.18)AÎöåíèì (3.18) ñ ïîìîùüþ (3.16) è (3.17).¯ A00¯¯Z¯¯¯¯ f (x, y)g(x, y)dx¯ ≤¯¯¯ 0¯A¯¯¯ ¯¯¯ ¯¯ZA00ZA¯¯ ¯¯000< ¯¯g(A , y) f (x, y)dx¯¯ + ¯¯g(A , y) f (x, y)dx¯¯ <¯¯ ¯¯0AAεε<· 2M +· 2M = ε4M4Mäëÿ ëþáîãî y èç ìíîæåñòâà Y .Èñïîëüçóÿ êðèòåðèé Êîøè, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 3.15 (Àáåëü) Ïóñòü ôóíêöèè f, g : [a; +∞) × Y → R èèíòåãðèðóåìû ïî Ðèìàíó íà [a; A] ïðè ëþáûõ A > a è y ∈ Y .
Òîãäà3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà23Z+∞f (x, y)g(x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Y , åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþaùèå äâà óñëîâèÿ:ZA1)f (x, y)dx ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå Y ;a2) ôóíêöèÿ g(x, y) ìîíîòîííà ïî x ïðè êàæäîì y ∈ Y è ðàâíîìåðíîïî y ∈ Y îãðàíè÷åíà, òî-åñòü, ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî|g(x, y)| ≤ M äëÿ âñåõ x ∈ [a; +∞) è y ∈ Y .Ýòà òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è òåîðåìà 3.5, òîëüêîâìåñòî òåîðåìû 3.4 ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 3.14. Ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëÿì äîêàçàòü ýòó òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî.Z+∞x sin axdx, ãäå b > 0 ïîñòîÿííàÿ, àÏðèìåð 3.12 Ðàññìîòðèìb 2 + x20ïàðàìåòð a óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ |a| ≥ a0 > 0.x.
Òîãäà+ x2¯ A¯¯Z¯¯ ¯¯A ¯¯ ¯¯ 1¯¯¯ ¯ 1¯¯ sin(ax)dx¯ = ¯− cos(ax) ¯ ¯ = ¯ (1 − cos(aA))¯ ≤ 2 ≤ 2 = M ;¯¯ |a|¯¯ ¯ a¯aa00¯¯Ðåøåíèå. Ïîëîæèì f (x, a) = sin ax, g(x, a) =b20x&0+ x2ïðè x → +∞, è ýòî óñëîâèå (ââèäó íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèè g îò a) âûb2ïîëíåíî ðàâíîìåðíî ïî a.Òàê êàê îáà óñëîâèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíåíû, òî ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â óêàçàííîé îáëàñòè.Z+∞sin xe−axdx (a ≥ 0).Ïðèìåð 3.13 Ðàññìîòðèìx0sin xÐåøåíèå. Ïîëîæèì f (x, a) =, g(x, a) = e−ax . Òàê êàêxZ+∞sin xdxx0ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî a (ââèäó åãî îòñóòñòâèÿ) ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå,à ôóíêöèÿ e−ax , î÷åâèäíî, ìîíîòîííà ïî x è ïðè x ≥ 0, y ≥ 0 îãðàíè÷åíà,òî ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â óêàçàííîé îáëàñòèïî ïðèçíàêó Àáåëÿ.24Îãëàâëåíèå3.4 Ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõîò ïàðàìåòðàÈçó÷èì ñâîéñòâà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà, çàâèñÿùèõîò ïàðàìåòðà, îãðàíè÷èâøèñü ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì: ìíîæåñòâî Y åñòüîòðåçîê [c; d] âåùåñòâåííîé îñè.
Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèåΠ∞ = [a; +∞) × [c; d]è äîêàæåì ïðåäâàðèòåëüíî ñëåäóþùóþ ëåììó.Ëåììà 3.1 Åñëè èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâåY , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèéa+nZIn (y) =f (x, y)dx (n ∈ N)(3.19)aòîæå ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå Y ê ôóíêöèè I(y).Òåîðåìà 3.16 Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà Π∞ ,à èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d], òî ôóíêöèÿI(y), îïðåäåëÿåìàÿ ýòèì èíòåãðàëîì, íåïðåðûâíà íà [c; d].Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 3.7 ôóíêöèè In (y) (n ∈ N) íåïðåðûâíû íàîòðåçêå [c; d]. Ïî ëåììå 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé In (y) (n ∈ N)ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d] ê ôóíêöèè I(y). Íî òîãäà ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõôóíêöèé ôóíêöèÿ I(y) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [c; d].Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ â íåêîòîðîì ðîäå îáðàòíîé ê ïðåäûäóùåé.Òåîðåìà 3.17 (Äèíè) Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà Π+∞ , à ôóíêöèÿ I(y), îïðåäåëÿåìàÿ èíòåãðàëîì (3.13), íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [c; d], òî èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íàîòðåçêå [c; d].3.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà25Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 3.7 ôóíêöèè In (y) (n ∈ N) (ñì. (3.19))íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [c; d]. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x, y) íåîòðèöàòåëüíà,òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé In (y) (n ∈ N) ìîíîòîííî íå óáûâàåò.Íî òîãäà, ïîñêîëüêó ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ I(y) ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òîæå íåïðåðûâíà, ê íåé ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó Äèíè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé , ñîãëàñíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü In (y) ñõîäèòñÿ êôóíêöèè I(y) ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d]. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð n0 òàêîé, ÷òî ïðè n > n0 äëÿ âñåõ y ∈ [c; d]ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî I(y) − In (y) < ε.Ïîëîæèì A0 = n0 + 1 è âîçüì¼ì A > A0 .
Òîãäà, ó÷èòûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü ôóíêöèè f (x, y), äëÿ âñåõ y ∈ Y ïîëó÷àåì:Z+∞Z+∞Z+∞ZA0f (x, y)dx ≤f (x, y)dx =f (x, y)dx − f (x, y)dx =AaA0a= I(y) − In0 +1 (y) < εè ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà äîêàçàíà.Òåîðåìà 3.18 Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà Π∞ ,à èíòåãðàë (3.13) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d], òî ôóíêöèÿI(y), îïðåäåëÿåìàÿ ýòèì èíòåãðàëîì, èíòåãðèðóåìà íà [c; d] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZdZdI(y)dy =cZ+∞Z+∞ Zddyf (x, y)dx =dx f (x, y)dy.caa(3.20)cÄîêàçàòåëüñòâî.
Ñíîâà ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü In (y). Ïî ëåììå 3.1 îíà ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [c; d] ê ôóíêöèè I(y), à ïîòåîðåìå 3.8 ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå [c; d].Òîãäà ïî òåîðåìå îá èíòåãðèðóåìîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàâíîìåðíîñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèÿ I(y) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå[c; d] èIn (y)dy = limI(y)dy = limn→+∞n→+∞cZdZdZdcca+nZdyf (x, y)dx =a26Îãëàâëåíèåa+nZZdZ+∞ Zd= limdx f (x, y)dy =dx f (x, y)dy.n→+∞acacÂîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ ñëåäóåò èç òîé æå òåîðåìû 3.8.Òåîðåìà 3.19 Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå Π∞ èèìååò íà í¼ì íåïðåðûâíóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ fy0 (x, y), èíòåãðàë(3.13) ñõîäèòñÿ, à èíòåãðàëZ+∞∂f (x, y)dx∂y(3.21)añõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [c; d], òî ôóíêöèÿ I(y) äèôôåðåíöèðóåìà íàîòðåçêå [c; d] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîdI (y) =dy0Z+∞Z+∞∂f (x, y)f (x, y)dx =dx.∂ya(3.22)aÄîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
