nesob-int (1111230), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì â (3.37).a→+∞lim J(a) = C −a→+∞îòñþäà C =π2π= 0,2èZ+∞J(a) =πsin x −axe dx = − arctg a.x2(3.38)0Ïîëàãàÿ çäåñü a = 0, ïîëó÷èì(3.34), ÷òî è òðåáîâàëîñü.Îñòàëîñü îáîñíîâàòü çàêîííîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, òî-åñòü, ïåðåõîä îò (3.35) ê (3.36). Íåïðåðûâíîñòü ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé â (3.35) è (3.36) î÷åâèäíà, èíòåãðàë (3.35) ñõîäèòñÿ36Îãëàâëåíèå(è äàæå ðàâíîìåðíî ïðè a ≥ 0). Îñòàëîñü ïîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.36). Íî íà ìíîæåñòâå {a : a ≥ 0} ðàâíîìåðíîé ñõîäèZ+∞ìîñòè áûòü íå ìîæåò, ïîòîìó ÷òî ïðè a = 0 èíòåãðàë J 0 (0) =sin xdx0ðàñõîäèòñÿ.
Ïîýòîìó âîçüì¼ì ëþáîå a0 > 0 è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî{a : a ≥ a0 }. Óñòàíîâèì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.36) í௯Z+∞¯ sin x −ax ¯−axýòîì ìíîæåñòâå. Òàê êàê ¯¯e ¯¯ ≤ e 0 èe−a0 x dx ñõîäèòñÿ, òî ïîx0ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà èíòåãðàë (3.36) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå {a : a ≥ a0 }, ïîýòîìó íà ýòîì ìíîæåñòâå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîäçíàêîì èíòåãðàëà çàêîííî, à òàê êàê a0 > 0 ëþáîå, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî ïðè a > 0. Íî òàê êàê îáå ÷àñòè â (3.38) íåïðåðûâíûïðè a ≥ 0 (ëåâàÿ â ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (3.35) íàýòîì ìíîæåñòâå è íåïðåðûâíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè), òî (3.38)ñïðàâåäëèâî è ïðè a = 0, ïîýòîìó ïîëàãàòü â (3.38) a = 0 áûëî âîçìîæíî.Èíòåãðàëû ËàïëàñàÈíòåãðàëàìè Ëàïëàñà íàçûâàþò èíòåãðàëûZ+∞I(a) =cos axdx, J(a) =x2 + b20Z+∞x sin axdx.x2 + b 20Ïîêàæåì, ÷òîZ+∞I(a) =cos axπ −abdx=e(a ≥ 0, b > 0);x2 + b 22b(3.39)0Z+∞J(a) =πx sin axdx = e−ab (a > 0, b ≥ 0).22x +b2(3.40)0Óáåäèìñÿ, ïðåæäå âñåãî, â ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè êàæäîãî èç èíòåãðàëîâ ïî ïàðàìåòðó a.Èíòåãðàë (3.39) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðè a ≥ 0, òàê êàê ïîäûíò寯Z+∞¯ cos ax ¯11¯≤ãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ¯¯ 2èdx ñõîäèòñÿ.¯2222x +bx +bx + b203.
Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà37Èíòåãðàë (3.40) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîïðè ¯a ≥ a0 , ãäå a0 > 0 ëþáîå,¯ A¯Z¯¯¯ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå, ïîñêîëüêó ¯¯ sin axdx¯¯ ≤ 2/a0 , à x/(x2 + b2 ) → 0¯¯0ïðè x → +∞ ìîíîòîííî ïî x è ðàâíîìåðíî ïî a (îò a íå çàâèñèò!).Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (3.39). ÒîãäàZ+∞0I (a) = −x sin axdx = J(a).x2 + b2(3.41)0Äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî ïðè a > 0, òàê êàê äîêàçàíà ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.40) ïðè a ≥ a0 , à a0 > 0 ëþáîå.Ñëîæèì èíòåãðàëû (3.41) è (3.33),πI 0 (a) + =2Z+∞sin xdx −x0Z+∞x sin axdx = b2x2 + b 20Z+∞sin axdx,x(x2 + b2 )0è ñíîâà ïðîäèôôåðåíöèðóåì (äèôôåðåíöèðîâàíèå çàêîííî, ïîòîìó ÷òîâûøå óñòàíîâëåíà ðàâíîìåðíàÿ ïðè a ≥ 0 ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.39)).Òîãäà ïîëó÷èì:Z+∞I 00 (a) = b2cos axdx = b2 I(a).x2 + b20Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ ôóíêöèÿ I(a) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ I 00 (a) − b2 I(a) = 0. Ýòî ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåk 2 − b2 = 0 èìååò êîðíè k = ±b, ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä:I(a) = C1 eab + C2 e−ab .(3.42)Òàê êà꯯ +∞¯ Z+∞¯¯¯ZZ+∞¯ cos ax ¯¯¯cosaxdxπ¯¯ dx ≤dx¯¯ ≤= ,|I(a)| = ¯¯¯¯222222x +bx +bx +b2b¯¯000òî ôóíêöèÿ I(a) îãðàíè÷åíà íà [0; +∞), ïîýòîìó â (3.42) C1 = 0, ñëåäîâàòåëüíî,I(a) = C2 e−ab .38ÎãëàâëåíèåÏîëîæèì a = 0. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ïîòîìó ÷òî ôóíêöèÿ I(a) âòî÷êå a = 0 íåïðåðûâíà, òàê êàê èíòåãðàë (3.39) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîïðè a ≥ 0. Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû, I(0) = C2 , à ñ äðóãîéZ+∞I(0) =x2dxπ= .2+b2b0Ñëåäîâàòåëüíî, C2 =π2bè ðàâåíñòâî (3.39) óñòàíîâëåíî.Íó àJ(a) = −I 0 (a) =π −abe .2Âîçìîæíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðè a > 0 áûëà óñòàíîâëåíà ðàíåå.Èíòåãðàë ÔðóëëàíèÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà (0; +∞), ÷èñëàa, b > 0.
Èíòåãðàëîì Ôðóëëàíè íàçûâàþò èíòåãðàëZ+∞I(a, b) =f (ax) − f (bx)dx.x(3.43)0Ïî îïðåäåëåíèþ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëàZAI(a, b) =limA→+∞, δ→0f (ax) − f (bx)dx =xδ=limZAA→+∞, δ→0f (ax)dx −xδZAf (bx) dx =xδ AZZA f (ax) d(ax) − f (bx) d(bx) ==limA→+∞, δ→0axbxδδ aAZZbA f (t) dt − f (t) dt .=limA→+∞, δ→0ttaδbδÏðèìåíÿÿ ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà ïî ìíîæåñòâó , ïîëó÷èì:ZbδI(a, b) = limδ→0aδf (t)dt − limA→+∞tZbAaAf (t)dt.t(3.44)3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà39Íàêëàäûâàÿ íà ôóíêöèþ f (x) äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, âû÷èñëèìêàæäûé èç ïðåäåëîâ â ïðàâîé ÷àñòè.1)Ïóñòü ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim f (x) = f (0) è lim f (x) = f (+∞).x→0x→+∞Ïðèìåíèì ê êàæäîìó èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè (3.44) ïåðâóþîáîáùåííóþ òåîðåìó î ñðåäíåì . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâûé èíòåãðàë.Òàê êàê f (t) íåïðåðûâíà, à g(t) = 1/t íåîòðèöàòåëüíà, òî íàéä¼òñÿ òàêîåτ ∈ [aδ; bδ] , ÷òîZbδlimδ→0f (t)dt = lim f (τ )δ→0taδZbδ¯bδbdt¯= lim f (τ ) ln t ¯ = f (0) ln .δ→0taaδaδÒî÷íî òàê æå, äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà íàéä¼òñÿ τ ∈ [aA; bA] òàêîå,÷òîZbAlimA→+∞aAf (t)dt = lim f (τ )A→+∞tZbA¯bAdtb¯= lim f (τ ) ln t ¯ = f (+∞) ln .A→+∞taaAaAÑëåäîâàòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà (0; +∞) è èìååòêîíå÷íûå ïðåäåëû lim f (x) = f (0) è lim f (x) = f (+∞), òîx→0Z+∞x→+∞f (ax) − f (bx)bdx = (f (0) − f (+∞)) ln .xa02)Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim f (x) = f (0) è ïðè íåêîòîðîì A1 > 0Z+∞èíòåãðàëx→0f (x)dx ñõîäèòñÿ.xA1ZbAÏîêàæåì, ÷òîlimA→+∞aAf (t)dt = 0.
Âîçüì¼ì ε > 0. Åñëè èíòåãðàëtñõîäèòñÿ, òî ïî êðèòåðèþ¯ Êîøè íàéä¼òñÿA0 (> A1 ) òàêîå, ÷òî ïð误ZA00¯¯ f (t) ¯A0 , A00 > A0 áóäåì èìåòü: ¯¯dt¯¯ < ε. Òîãäà, åñëè âçÿòü A íàñòîëü¯ 0 t¯Aêî¯ bAáîëüøèì,¯ ÷òîáû âûïîëíÿëîñü aA, bA > A0 , òî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ è¯Z¯¯ f (t) ¯¯dt¯¯ < ε, è òðåáóåìîå óñòàíîâëåíî.¯t¯¯aA40ÎãëàâëåíèåÑëåäîâàòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà (0; +∞), èìååòêîíå÷íûé ïðåäåë lim f (x) = f (0) è ïðè íåêîòîðîì A1 > 0 èíòåãðàëZ+∞x→0f (x)dx ñõîäèòñÿ, òîxAZ+∞f (ax) − f (bx)bdx = f (0) ln .xa03)Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim f (x) = f (+∞) è íàéä¼òñÿ A1 > 0x→+∞ZA1òàêîå, ÷òî èíòåãðàëf (x)dx ñõîäèòñÿ.x0Òîãäà ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó äîêàçûâàåòñÿ,÷òîZ+∞f (ax) − f (bx)bdx = −f (+∞) ln .xa03.7 Ýéëåðîâû èíòåãðàëûÃàììà-ôóíêöèÿ è å¼ ñâîéñòâàÃàììà-ôóíêöèåé Ýéëåðà èëè ýéëåðîâûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäàíàçûâàþò èíòåãðàëZ+∞Γ(x) =tx−1 e−t dt.(3.45)0Èçó÷èì ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèè.1)Ôóíêöèÿ Γ(x) îïðåäåëåíà â îáëàñòè x > 0.Èíòåãðàë (3.45) ñìåøàííûé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñ îñîáûìèòî÷êàìè t = 0 è t = +∞.
×òîáû èññëåäîâàòü èíòåãðàë íà ñõîäèìîñòü,ðàçîáü¼ì åãî íà äâà èíòåãðàëà,Z+∞Z1Z+∞x−1 −tx−1 −tt e dt = t e dt +tx−1 e−t dt,001è èññëåäóåì íà ñõîäèìîñòü êàæäûé èç èíòåãðàëîâ ñïðàâà.3. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà41Äëÿ ïåðâîãî èíòåãðàëà, î÷åâèäíî, tx−1 /e ≤ tx−1 e−t ≤ tx−1 , ïîýòîìóäëÿ åãî ñõîäèìîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå 1 − x < 1 èëè x > 0.Äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà èìååì îöåíêó:tx−1 e−t < tx−1 ·1tx+1=1, t ≥ t0 (x),t2(ôóíêöèÿ e−t ïðè t → +∞ óáûâàåò áûñòðåå ëþáîé ñòåïåíè 1/t), ïîýòîìóîí ñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè x.Èòàê, èíòåãðàë (3.45) ïðè x > 0 ñõîäèòñÿ, à ïðè x ≥ 0 ðàñõîäèòñÿ.2)Ôóíêöèÿ Γ(x) íåïðåðûâíà â îáëàñòè x > 0.Ïîêàæåì, ÷òî èíòåãðàë (3.45) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [x1 ; x2 ],ãäå x1 , x2 (0 < x1 < x2 < +∞) ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà.
Ýòî ñëåäóåò èçòîãî, ÷òî ïðè x1 ≤ x ≤ x2 ñïðàâåäëèâà îöåíêàtx−1 e−t ≤ [tx1 −1 e−t + tx2 −1 e−t ](ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ tx−1 ìîíîòîííà, à ïîòîìó äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ íà îäíîì èç êîíöîâ îòðåçêà), è èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëàZ+∞¡¢tx1 −1 e−t + tx2 −1 e−t dt,0óñòàíîâëåííîé â ñâîéñòâå 1. Ïî òåîðåìå 3.16 ôóíêöèÿ Γ(x) íåïðåðûâíàíà îòðåçêå [x1 ; x2 ], à òàê êàê äëÿ êàæäîãî x > 0 íàéäóòñÿ x1 , x2 > 0òàêèå, ÷òî x1 < x < x2 , òî ôóíêöèÿ Γ(x) íåïðåðûâíà â îáëàñòèx > 0.3)Ôóíêöèÿ Γ(x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè x > 0.Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ Γ(x) äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè x > 0. Äèôôåðåíöèðóÿ, ïîêà ôîðìàëüíî, ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, ïîëó÷èì:Z+∞Γ (x) =tx−1 ln te−t dt.0(3.46)0×òîáû îïðàâäàòü äèôôåðåíöèðîâàíèå, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 3.19.
Íåïðåðûâíîñòü îáåèõ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé î÷åâèäíà, ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.45) óñòàíîâëåíà â ñâîéñòâå 1.42Îãëàâëåíèåîñòà¼òñÿ ïîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3.46). Êàê è ïðèäîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà, âîçüì¼ì ëþáûå x1 , x2 : 0 < x1 <x2 < +∞ è îöåíèì íà îòðåçêå [x1 ; x2 ] ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ èíòåãðàëà (3.46).¯ x−1¯ £¤¯tln te−t ¯ ≤ tx1 −1 | ln t|e−t + tx2 −1 | ln t|e−t .Òàê êàê | ln t| ïðè t → 0 âîçðàñòàåò ìåäëåííåå ëþáîé ïîëîæèòåëüíîéñòåïåíè 1/t, òî ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ t, áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî | ln t| < 1/tx1 /2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
