Лекционный курс (1109962), страница 5
Текст из файла (страница 5)
KAK IZWESTNO,^TO (ILI WERITSQ, ^TO).(iii) w DRUGOJ INTERPRETACII, BLIZKOJ K (ii), 2 PONIMAETSQ KAK (NEFORMALXNO) DOKAZUEMO (NEKOTORYM IDEALXNYM MATEMATIKOM) W NEKOTOROJ MATEMATI^ESKOJ TEORII;3 OZNA^AET TOGDA NE PROTIWORE^IT POSTULATAM \TOJ TEORII.(iv) mOVNO PONIMATX 2 KAK DEONTI^ESKU@ NEOBHODIMOSTX, T.E. KAK OBQZATELXNO;3 ^ITAETSQ TOGDA RAZRE[ENO.(v) iNOGDA 2 INTERPRETIRUETSQ KAK WREMENNAQ NEOBHODIMOSTX, TO ESTX KAK SEJ^AS ISTINNO I WSEGDA BUDET ISTINNO (WARIANT: WSEGDA BYLO ISTINNO, SEJ^AS ISTINNO I WSEGDA BUDET ISTINNO), A 3 | KAK SEJ^AS ISTINNO ILI KOGDA-NIBUDX BUDETISTINNO.nEKOTORYE MODALXNYE FORMULY, SOGLASU@]IESQ S ODNOJ INTERPRETACIEJ 2, MOGUTOKAZATXSQ NE SOGLASOWANNYMI S DRUGOJ.
nAPRIMER, W DEONTI^ESKOM SLU^AE 2' ! ' NEMOVET BYTX PRINQTA, POSKOLXKU OBQZATELXSTWA MOGUT NE WYPOLNQTXSQ, A W SLU^AQH(i), (iii), (v) \TA FORMULA ISTINNA. tO, WO ^TO WERQT, NE OBQZATELXNO ISTINNO.s DRUGOJ STORONY, WSE \TI INTERPRETACII OPERATORA 2 IME@T MNOGO OB]IH ^ERT.k PRIMERU, WSE ONI PRINIMA@T PRINCIPY2(' ! ) ! (2' ! 2 )1.3.26Iglawa1.logika wyskazywanij2(' ^ ) $ 2' ^ 2 :|TO POZWOLQET NAM RASSMATRIWATX IH S OB]IH POZICIJ, PONIMAQ 2 KAK NEKOTORU@ABSTRAKTNU@ NEOBHODIMOSTX. bOLEE TOGO, RAZLI^IQ \TIH INTERPRETACIJ MY MOVEMDOWOLXNO PROSTO NABL@DATX I ISSLEDOWATX W STROGOM MATEMATI^ESKOM SMYSLE.iNTERPRETACIQ MODALXNOGO QZYKA ML, KOTORU@ MY SOBIRAEMSQ WWESTI TEPERX,WNA^ALE NA INTUITIWNOM UROWNE, A ZATEM W WIDE TO^NYH OPREDELENIJ, ^ASTO NAZYWAETSQ RELQCIONNOJ SEMANTIKOJ ILI SEMANTIKOJ WOZMOVNYH MIROW. fILOSOFSKIMISTOKOM EE QWLQ@TSQ IDEI lEJBNICA, KOTORYJ PONIMAL NEOBHODIMOSTX KAK ISTINNOSTX WO WSEH WOZMOVNYH MIRAH, A WOZMOVNOSTX | KAK ISTINNOSTX PO KRAJNEJ MEREW ODNOM WOZMOVNOM MIRE.kAK I W KLASSI^ESKOJ LOGIKE, MY POLAGAEM, ^TO KAVDOE WYSKAZYWANIE LIBO ISTINNO, LIBO LOVNO.
nAPRIMER, ESTESTWENNO OCENIWATX (C) KAK LOVNOE. oDNAKO, ^TOBY BYTX BOLEE TO^NYMI, SKAVEM, ^TO (C) LOVNO W OBY^NYH OBSTOQTELXSTWAH, W TOMOBY^NOM MIRE, GDE MY VIWEM. mOVNO WOOBRAZITX SEBE I INYE OBSTOQTELXSTWA, DRUGOJ MIR, W KOTOROM WODA DEJSTWITELXNO ZAKIPAET PRI 70C (W PRINCIPE, MY MOVEMDAVE POPASTX TAKOJ MIR, ZABRAW[ISX NA |WEREST). mIR, W KOTOROM WYSKAZYWANIE (C)ISTINNO, MOVET NAZYWATXSQ ALXTERNATIWNYM PO OTNO[ENI@ K NA[EMU MIRU ILI WOZMOVNYM OTNOSITELXNO NEGO. iSPOLXZUQ LEJBNICEWO OPREDELENIE, MY MOVEM SKAZATX,^TO WYSKAZYWANIE (A) SLEDUET PONIMATX KAK ISTINNOE W NA[EM MIRE, A (B), NAPROTIW, KAK LOVNOE, POSKOLXKU S SODERVATELXNOJ TO^KI ZRENIQ NA[ MIR QWLQETSQ DLQNAS WOZMOVNYM.wOOB]E, ABSTRAGIRUQSX OT KONKRETNYH DETALEJ, MY MOVEM PREDSTAWITX SEBE SISTEMU MIROW, W KOTOROJ KAVDYJ MIR IMEET NEKOTOROE MNOVESTWO (WOZMOVNO, PUSTOE)ALXTERNATIW.
oTNO[ENIE ALXTERNATIWNOSTI BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ R, T.^. xRyOZNA^AET, ^TO y QWLQETSQ ALXTERNATIWNYM (ILI WOZMOVNYM) MIROM DLQ x. vIZNXW KAVDOM MIRE x PROTEKAET PO KLASSI^ESKIM ZAKONAM: WSQKOE ATOMARNOE WYSKAZYWANIQ LIBO ISTINNO, LIBO LOVNO, A ISTINNOSTNOE ZNA^ENIE SOSTAWNOGO NEMODALXNOGOWYSKAZYWANIQ OPREDELQETSQ W SOOTWETSTWII S OBY^NYMI TABLICAMI ISTINNOSTI. mODALXNOE VE WYSKAZYWANIE 2' S^ITAETSQ ISTINNYM W MIRE x, ESLI WYSKAZYWANIE 'ISTINNO WO WSEH MIRAH, ALXTERNATIWNYH K x; 3' ISTINNO W x, ESLI ' ISTINNO HOTQBY W ODNOM y, T.^. xRy.kONKRETNYE SWOJSTWA OTNO[ENIQ ALXTERNATIWNOSTI ZAWISQT OT TIPA RASSMATRIWAEMOJ MODALXNOSTI.
eSLI MY IMEEM DELO S LOGI^EKOJ NEOBHODIMOSTX@, TO ESTESTWENNOPONIMATX, ^TO L@BYE DWA MIRA QWLQ@TSQ ALXTERNATIWAMI DRUG DLQ DRUGA; DRUGIMISLOWAMI, OTNO[ENIE ALXTERNATIWNOSTI W \TOM SLU^AE QWLQETSQ UNIWERSALXNYM. oDNAKO, ESLI MY RASSMATRIWAEM WREMENNU@ NEOBHODIMOSTX, TO WOZMOVNYE MIRY QWLQ@TSQSOSTOQNIQMI NA[EGO MIRA (ILI NEKOTOROGO RAZWIWA@]EGOSQ PROCESSA, NAPRIMER, IZMENENIQ DANNYH W REZULXTATE WY^ISLENIJ PO KOMPX@TERNOJ PROGRAMME) W RAZLI^NYEMOMENTY WREMENI. wYBOR PODHODQ]EGO OTNO[ENIQ ALXTERNATIWNOSTI R ZAWISIT OTNA[IH CELEJ I WZGLQDOW NA PRIRODU WREMENI. nAPRIMER, MY MOVEM RASSMATRIWATXmodalxnaq logika27TE^ENIE WREMENI LINEJNYM I TOGDA R BUDET LINEJNYM UPORQDO^ENIEM MNOVESTWA MIROW, A MOVEM S^ITATX, ^TO WREMQ IMEET WETWQ]U@SQ PRIRODU, I POLAGATX TEM SAMYM,^TO R QWLQETSQ DREWESNYM UPORQDO^ENIEM WOZMOVNYH MIROW.oTNO[ENIE ALXTERNATIWNOSTI DLQ DRUGIH INTERPRETACIJ 2 (SKAVEM, \PISTEMI^ESKOJ, DOKAZUEMOSTNOJ ILI DEONTI^ESKOJ) MOVET BYTX NE STOLX QSNOJ, POSKOLXKUS WREMENNY M SLU^AEM NAM POWEZLO: W SAMOJ PRIRODE WREMENI ZALOVENA ALXTERNATIWNOSTX | RANX[E, POZVE, A W DRUGIH SLU^AQH MY WYNUVDENY SAMI SOZDAWATX(ILI, LU^[E SKAZATX, WYQWLQTX) TREBUEMU@ ALXTERNATIWNOSTX.
~TOBY EE OHARAKTERIZOWATX, MY DOLVNY BOLEE TO^NO OPISATX SOOTWETSTWU@]U@ MODALXNOSTX, NAPRIMER,OPREDELIW EE AKSIOMATI^ESKI.1.3.1.3.1mODALXNYE [KALY I MODELIw INTUICIONISTSKOJ [KALE F = hW; Ri, KOTORAQ ISPOLXZOWALASX DLQ PREDSTAWLENIQWOZMOVNYH INFORMACIONNYH SOSTOQNIJ, OTNO[ENIE DOSTIVIMOSTI R MEVDU SOSTOQNIQMI BYLO ^ASTI^NYM PORQDKOM NA W . tEPERX MY TAKVE BUDEM OPREDELQTX SISTEMYWOZMOVNYH MIROW S OTNO[ENIQMI DOSTIVIMOSTI MEVDU NIMI, NO NIKAKIH PREDWARITELXNYH USLOWIJ NA \TI OTNO[ENIQ NAKLADYWATX NE BUDEM.mODALXNAQ [KALA kRIPKE F = hW; Ri SOSTOIT IZ NEPUSTOGO MNOVESTWA (MIROW) WI BINARNOGO OTNO[ENIQ (DOSTIVIMOSTI) R NA W .
tAKIM OBRAZOM, INTUICIONISTSKIE[KALY QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM MODALXNYH. |LEMENTY W NAZYWA@TSQ MIRAMIILI, BOLEE NEJTRALXNO, TO^KAMI. w SLU^AE xRy GOWORIM, ^TO y QWLQETSQ ALXTERNATIWOJ x, ILI y DOSTIVIMA IZ x, ILI x WIDIT y.oCENKA ML W [KALE F = hW; Ri | \TO OTOBRAVENIE V , ASSOCIIRU@]EE S KAVDOJPEREMENNOJ p 2 VarML MNOVESTWO V (p) TO^EK W , T.E. V | \TO OTOBRAVENIE IZVarML W 2W . mNOVESTWO V (p) PONIMAEM KAK MNOVESTWO MIROW, W KOTORYH p ISTINNA.mODELX kRIPKE DLQ ML | \TO PARA M = hF ; Vi, GDE F = hW; Ri | [KALA, AV | OCENKA W F .
pUSTX x | TO^KA IZ F . iNDUKCIEJ PO POSTROENI@ ' OPREDELQEMOTNO[ENIE ISTINNOSTI (M; x) j= ', ' ISTINNA W MIRE x MODELI M:*(M; x) j= p) x 2 V (p); DLQ WSQKOJ p 2 VarML;(M; x) j= ^ *) (M; x) j= I (M; x) j= ;(M; x) j= _ *) (M; x) j= ILI (M; x) j= ;(M; x) j= ! *) (M; x) j= WLE^ET (M; x) j= ;(M; x) 6j= ?;*(M; x) j= 2) (M; y) j= DLQ WSEH y 2 W , T.^.
xRy;I, TEM SAMYM,(M; x) j= : () (M; x) 6j=(M; x) j= 3 () (M; y) j= DLQ NEKOTOROGO y 2 W , T.^. xRy:glawa281.logika wyskazywanijt02(2p ! q) _ 2(2q ! p)2(2p ! q)2(2q ! p)t12p ! q2p q@@R@(a)t22q ! p2q pt1q@I@@t0(b)t2pt6p; qt0(c)rIS. 1.5:eSLI (M; x) 6j= ', TO GOWORIM, ^TO ' LOVNA W MIRE x MODELI M.iZOBRAVAQ [KALU F = hW; Ri W WIDE DIAGRAMMY, MY BUDEM ISPOLXZOWATX DLQIRREFLEKSIWNYH TO^EK F ZAKRA[ENNYE KRUVO^KI , A DLQ REFLEKSIWNYH | SWETLYE (NAPOMNIM, ^TO W INTUICIONISTSKIH [KALAH WSE TO^KI REFLEKSIWNY). mY RISUEMSTRELKU IZ TO^KI x W y, ESLI x 6= y I xRy. eSLI NE SKAZANO PROTIWNOE, BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO IZOBRAVAEMYE [KALY TRANZITIWNY; W TAKOM SLU^AE NE RISUEM STRELKUIZ x W z, ESLI ONA TREBUETSQ PO USLOWI@ TRANZITIWNOSTI.
w DIAGRAMMAH NETRANZITIWNYH [KAL WSE STRELKI UKAZYWA@TSQ QWNO ILI OGOWARIWA@TSQ W SOPROWOVDAEMOMSLOWESNOM OPISANII.rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW, W KOTORYH POPYTAEMSQ WYQSNITX USTROJSTWOMODELEJ DLQ NEKOTORYH MODALXNYH FORMUL.pRIMER 1.37 zAJMEMSQ NAHOVDENIEM KONTMODELI DLQ FORMULY' = 2(2p ! q) _ 2(2q ! p):oBRAZUEM TABLICU t0 = (;; f'g). kAK I PREVDE, NA[EJ CELX@ QWLQETSQ OPISANIE NUVNOGO RASPREDELENIQ ISTINNOSTNYH ZNA^ENIJ (NEKOTORYH) PODFORMUL FORMULY ' WODNOM MIRE MODELI, KOTORU@ MY STROIM. pO PRAWILU NASY]ENIQ (SR4) MY DOLVNYDOBAWITX 2(2p ! q) I 2(2q ! p) W PRAWU@ ^ASTX t0.
nAPOMNIM, ^TO OPROWERVENIEFORMULY 2 W TO^KE x OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET TO^KA y, DOSTIVIMAQ x, W KOTOROJOPROWERGAETSQ . pO\TOMU MY OBRAZUEM DWE NOWYE TABLICY t1 I t2, POMESTIW W IH PRAWYE ^ASTI 2p ! q I 2q ! p, SOOTWETSTWENNO; S^ITAEM, ^TO \TI TABLICY DOSTIVIMYIZ t0. eDINSTWENNOE, ^TO NAM OSTALOSX, \TO PRIMENITX K t1 I t2 PRAWILO (SR6), KOTOROE SNOWA KORREKTNO, POSKOLXKU IMPLIKACIQ ! PONIMAETSQ KLASSI^ESKI. wSE [AGIPOSTROENIQ POKAZANY NA RISUNKE 1.5 (a).1.3.modalxnaq logikat02(2(p ! 2p) ! p) 2(2(p ! 2p) ! p) ! pp(a)rIS.
1.6:29t0p(b)nETRUDNO PROWERITX, ^TO ' OPROWERGAETSQ W TO^KE t0 MODELI, IZOBRAVENNOJ NARISUNKE 1.5 (b). nAM NI^TO NE ME[AET SOEDINITX t1 I t2 W ODNU TABLICU, SKAVEM t, ITOGDA MY POLU^AEM E]E ODNU KONTRMODELX DLQ ', KOTORAQ IZOBRAVENA NA RISUNKE 1.5(c). zAMETIM ODNAKO, ^TO ESLI NAM NUVNA REFLEKSIWNAQ KONTRMODELX DLQ ', TO MYDOLVNY DOBAWITX p I q W LEWYE ^ASTI t1 I t2, SOOTWETSTWENNO, A POTOMU W \TOM SLU^AESOEDINENIE TABLIC t1 I t2 NEWOZMOVNO, POSKOLXKU \TO POTREBUET S^ITATX PEREMENNYEISTINNYMI I LOVNYMI ODNOWREMENNO.pRIMER 1.38 tEPERX MY ISPOLXZUEM \TOT METOD DLQ POSTROENIQ KONTRMODELI DLQFORMULYgrz = 2(2(p ! 2p) ! p) ! p;KOTORAQ IZWESTNA KAK FORMULA (ILI AKSIOMA gVEGOR^IKA). eDINSTWENNOE PRIMENENIEPRAWILA (SR6) (SM. RISUNOK 1.6 (a)) DAET NAM PROSTEJ[U@ KONTRMODELX DLQ grz,OPREDELENNU@ NA ODNO\LEMENTNOJ IRREFLEKSIWNOJ [KALE, SM.
RISUNOK 1.6 (b).pRIMER 1.39 dOPUSTIM ODNAKO, ^TO NAS INTERESU@T TOLXKO REFLEKSIWNYE KONTRMODELI DLQ grz. w \TOM SLU^AE t0 NA RISUNKE 1.6 DOLVNA BYTX DOSTIVIMA SAMA IZ SEBQ,A POTOMU MY DOLVNY POMESTITX 2(p ! 2p) ! p W EE LEWU@ ^ASTX, ^TO POLNOSTX@MENQET SITUACI@. w SAMOM DELE, POSLE \TOGO MY DOLVNY W SOOTWETSTWII S (SR5) POMESTITX 2(p ! 2p) W PRAWU@ ^ASTX t0, A ZATEM, ^TOBY SDELATX \TU FORMULU LOVNOJW t0, OBRAZOWATX NOWU@ TABLICU t1, KOTORAQ DOSTIVIMA IZ t0 I SODERVIT p ! 2p WSWOEJ PRAWOJ ^ASTI, A ZNA^IT, p SLEDUET DOBAWITX W LEWU@ ^ASTX t1 I 2p W PRAWU@.nO \TOGO NEDOSTATO^NO: ^TOBY GARANTIROWATX ISTINNOSTX 2(2(p ! 2p) ! p) W t0,MY DOLVNY POMESTITX 2(p ! 2p) ! p W LEWU@ ^ASTX t1.nA[ SLEDU@]IJ [AG SOSTOIT W OBRAZOWANII TABLICY t2, DOSTIVIMOJ IZ t1 I POME]ENII p W EE PRAWU@ ^ASTX, ^TO GARANTIRUET OPROWERVENIE 2p W t1. zAMETIM, ^TO t0NE WIDIT t2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
