Лекционный курс (1109962)
Текст из файла
1wWEDENIElOGIKA1 | \TO NAUKA, ZANIMA@]AQSQ ANALIZOM METODOW PRAWILXNYH RASSUVDENIJ. wZAWISIMOSTI OT RE[AEMYH ZADA^ LOGIKU ^ASTO DELQT NA FILOSOFSKU@, MATEMATI^ESKU@ I WY^ISLITELXNU@.lOGIKA KAK NAUKA RODILASX W FILOSOFII; EE SOZDATELEM S^ITAETSQ aRISTOTELX(384{322 GG.
DO N.\.), KOTORYJ WYDELIL I SISTEMATI^ESKI OPISAL LOGI^ESKIE SHEMY| PRAWILA RASSUVDENIJ, NAZYWAEMYE SILLOGIZMAMI. wOT ODIN IZ NIH, IZWESTNYJ PODIMENEM modus Barbara2eSLI WSQKOE B ESTX CI WSQKOE A ESTX B ,TO WSQKOE A ESTX CsAMYM WAVNYM DLQ NAS ZDESX QWLQETSQ TO, ^TO aRISTOTELX WYDELQET IMENNO FORMU:SILLOGIZM Barbara | \TO SHEMA UMOZAKL@^ENIQ, KOTORU@ MOVNO NAPOLNQTX KAKIMUGODNO SODERVANIEM. nAPRIMER,eSLI WSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMAI WSQKAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA,TO WSQKAQ FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMAlOGIKA INTERESUETSQ W PERWU@ O^EREDX FORMOJ, A NE SODERVANIEM DOWODOW W RASSUVDENIQH. iSTINNOSTX ILI LOVNOSTX OTDELXNYH POSYLOK I ZAKL@^ENIJ NE IME@T ZNA^ENIQ | \TO DELO DRUGIH NAUK. w RAMKAH LOGIKI MY VELAEM ZNATX, BUDET LI ISTINNYMZAKL@^ENIE, KOGDA POSYLKI ISTINNY.fILOSOFSKAQ LOGIKA IZU^AET STROENIE PRAWILXNYH RASSUVDENIJ WOOB]E. mATEMATI^ESKU@ LOGIKU INTERESU@T MATEMATI^ESKIE RASSUVDENIQ, T.E.
DOKAZATELXSTWA WMATEMATI^ESKIH TEORIQH. sILXNEJ[IM STIMULOM K WYQSNENI@ WOPROSA O TOM, ^TOVE PREDSTAWLQ@T SOBOJ MATEMATI^ESKIE TEORII I DOKAZATELXSTWA, POSLUVILI DWAOTKRYTIQ XIX WEKA: SOZDANIE NEEWKLIDOWYH GEOMETRIJ I OBNARUVENIE PARADOKSOWW TEORII MNOVESTW. eSLI PERWOE IZ \TIH OTKRYTIJ DALO PRIMERY PROTIWORE^A]IHDRUG DRUGU TEORIJ, TO WTOROE POKAZALO, ^TO PROTIWORE^IQ MOGUT OBNARUVIWATXSQWNUTRI ODNOJ TEORII.wOT ODIN IZ NAIBOLEE IZWESTNYH PARADOKSOW NAIWNOJ TERII MNOVESTW, W KOTOROJMNOVESTWA OPREDELQ@TSQ PUTEM ZADANIQ SWOJSTWI PRINADLEVA]IH IM \LEMENTOW.
rASSEL W 1902 G. RASSMOTREL MNOVESTWO S = fx : x 2= xg I POSTAWIL WOPROS, WERNO LI, ^TOS 2 S . eSLI S 2 S , TO PO OPREDELENI@ S MY DOLVNY IMETX S 2= S | PROTIWORE^IE.zNA^IT S 2= S , OTKUDA WYTEKAET S 2 S , ^TO NEWOZMOVNO.sLOWO LOGIKA LOGOS PO GRE^ESKI OZNA^AET SLOWO MYSLX RAZUMPO LATYNI FORMA12 Modus,-|,.,,.2nALI^IE PROTIWORE^IQ W TEORII POLNOSTX@ OBESCENIWAET EE, I PO\TOMU WOPROSO NEPROTIWORE^IWOSTI MATEMATI^ESKIH TEORIJ SRAZU VE STAL ODNIM IZ WAVNEJ[IH.~TO ESLI I W ARIFMETIKE, I W ANALIZE TAKVE ESTX PROTIWORE^IQ? dLQ TOGO, ^TOBYISSLEDOWATX MATEMATI^ESKU@ TEORI@ NA PROTIWORE^IWOSTX, NUVNO KAK-TO OHARAKTERIZOWATX MNOVESTWO WSEH EE TEOREM, A DLQ \TOGO TREBUETSQ ZNATX NE TOLXKO ISHODNYEPREDPOLOVENIQ TEORII | AKSIOMY, NO I SREDSTWA POLU^ENIQ TEOREM IZ AKSIOM, T.E.LOGIKU.
iMENNO DLQ CELEJ OBOSNOWANIQ MATEMATIKI I BYLA SOZDANA SOWREMENNAQ MATEMATI^ESKAQ LOGIKA.wY^ISLITELXNAQ LOGIKA STALA RAZWIWATXSQ E]E DO SOZDANIQ KOMPX@TEROW: TEORIQALGORITMOW I WY^ISLENIJ | ODIN IZ RAZDELOW MATEMATI^ESKOJ LOGIKI, NA^ATYJ W30-H GODAH RABOTAMI gEDELQ, ~ER^A, kLINI, pOSTA I tXRINGA. sREDI SOWREMENNYHPRIMENENIJ LOGIKI W INFORMATIKE MOVNO WYDELITX SLEDU@]IE: PREDSTAWLENIE I OBRABOTKA ZNANIJ; AWTOMATIZACIQ RASSUVDENIJ, W ^ASTNOSTI AWTOMATI^ESKOE DOKAZATELXSTWO TEOREM; SINTEZ I WERIFIKACIQ PROGRAMM, W ^ASTNOSTI IZWLE^ENIE PROGRAMM IZ DOKAZATELXSTW; LOGI^ESKOE PROGRAMMIROWANIE.gLAWA 1lOGIKA WYSKAZYWANIJsTROQ MATEMATI^ESKIE MODELI RASSUVDENIJ, OBY^NO PREDPOLAGA@T, ^TO RASSUVDENIQSOSTOQT IZ WYSKAZYWANIJ.
sTROGO OPREDELITX PONQTIE WYSKAZYWANIQ TAK VE TRUDNO,KAK I DATX TO^NYE OPREDELENIQ PONQTIQM TO^KI, PRQMOJ, MNOVESTWA I T.P. nA INTUITIWNOM UROWNE POD WYSKAZYWANIEM PONIMAETSQ NEKOTORYJ TEKST, O KOTOROM OSMYSLENNO GOWORITX, ^TO EGO SODERVANIE ISTINNO ILI LOVNO. nAPRIMER,nA ULICE IDET SNEG.(A)2 2 = 4.(B)(C)(D)(E)wOZMOVNO, ^TO WODA KIPIT PRIkAVDOE ^ETNOE BOLX[EE DWUH PREDSTAWIMO W WIDE SUMMY DWUH PROSTYH.eSLI 2 < 3, TO 2 < 3.SUTX WYSKAZYWANIQ, AdANNOE PREDLOVENIE LOVNOWYSKAZYWANIEM NE QWLQETSQ, T.K.
I PREDPOLOVENIE O EGO ISTINNOSTI, I PREDPOLOVENIEO EGO LOVNOSTI WEDUT K PROTIWORE^I@.iSTINNOSTX WYSKAZYWANIJ MOVET BYTX PRISU]A IM PO RAZNYM PRI^INAM. sKAVEM, (A) W RAZNYH VIZNENNYH SITUACIQH MOVET BYTX I ISTINNYM, I LOVNYM (TOLXKO,KONE^NO, NE ODNOWREMENNO), (B) | PRIMER MATEMATI^ESKOJ ISTINY, (C) | FIZI^ESKOJ, WYSKAZYWANIE (D) | \TO FORMULIROWKA ZNAMENITOJ GIPOTEZY gOLXDBAHA, WYDWINUTOJ W 1742 G. I OSTA@]EJSQ OTKRYTOJ PO SEJ DENX. wYSKAZYWANIE (E) ISTINNOIZ-ZA SWOEGO WNUTRENNEGO USTROJSTWA, PREDSTAWLQQ SOBOJ ^ASTNYJ SLU^AJ PRAWILXNOGO (W SWOEJ TRIWIALXNOSTI) TIPA RASSUVDENIJ: ESLI a, TO a.
bOLX[E WSEGO NAS BUDETINTERESOWATX IMENNO POSLEDNQQ PRI^INA ISTINNOSTI WYSKAZYWANIJ | ISTINNOSTXIZ-ZA \USTROJSTWA," I PO\TOMU DLQ NAS BUDET NASTOQTELXNOJ NEOBHODIMOSTX@ IZU^ENIE TOGO, KAK ODNI WYSKAZYWANIQ STROQTSQ IZ DRUGIH I ^TO PRI \TOM PROISHODIT SISTINNOSTX@.wYSKAZYWANIQ (C) I (E) QWLQ@TSQ SOSTAWNYMI. oNI STROQTSQ IZ BOLEE PROSTYHWYSKAZYWANIJ S POMO]X@ LOGI^ESKIH SWQZOK, WYRAVAEMYH SLOWAMI TIPA \WOZMOVNO,"70.3glawa logika wyskazywanij\ESLI : : :, TO". w \TOM SMYSLE WYSKAZYWANIQ (A), (B) I (D) OKAZYWA@TSQ \LEMENTARNYMI ILI ATOMARNYMI. eSLI WNUTRENNQQ STRUKTURA TAKIH ATOMOW NAS NE INTERESUET, TOMY NAHODIMSQ W OBLASTI PROPOZICIONALXNOJ LOGIKI ILI LOGIKI WYSKAZYWANIJ, KOTORAQ IMEET DELO S FORMALXNYMI QZYKAMI, SODERVA]IMI PROPOZICIONALXNYE PEREMENNYE (IH ZNA^ENIQMI MOGUT BYTX PROIZWOLXNYE WYSKAZYWANIQ), PROPOZICIONALXNYEKONSTANTY (NAPRIMER, ISTINA I LOVX) I FORMULY, POSTROENNYE IZ PEREMENNYH,KONSTANT I LOGI^ESKIH SWQZOK.
w ZAWISIMOSTI OT WYBORA SWQZOK I IH INTERPRETACIIMY POLU^AEM RAZLI^NYE MODELI RASSUVDENIJ.41.kLASSI^ESKAQ LOGIKA WYSKAZYWANIJ1.1nA^NEM S RASSMOTRENIQ PROSTEJ[EJ MODELI, W KOTOROJ RASSMATRIWA@TSQ STANDARTNYE BULEWY SWQZKI I KOTORAQ BAZIRUETSQ NA DOPU]ENII O TOM, ^TO WSQKOE WYSKAZYWANIE LIBO ISTINNO, LIBO LOVNO.1.1.1sINTAKSIS I SEMANTIKAoPREDELENIE 1.1aLFAWIT PROPOZICIONALXNOGO QZYKA L SODERVIT: PROPOZICIONALXNYE PEREMENNYE p0; p1; p2; : : : (ESLI NE OGOWORENO PROTIWNOE, PRED-POLAGAETSQ, ^TO IMEETSQ S^ETNO-BESKONE^NOE MNOVESTWO PEREMENNYH); PROPOZICIONALXNAQ KONSTANTA ? (LOVX); PROPOZICIONALXNYE SWQZKI: ^ (KON_@NKCIQ), _ (DIZ_@NKCIQ), ! (IMPLIKACIQ); ZNAKI PUNKTUACII: SKOBKI ( I ).oPREDELENIE 1.2fORMULY QZYKA L (ILI L-FORMULY) OPREDELQ@TSQ INDUKTIWNO: PEREMENNYE L I KONSTANTA ? QWLQ@TSQ ATOMARNYMI L-FORMULAMI (KORO^E, ATOMAMI); ESLI ' I | L-FORMULY, TO (' ^ ), (' _ ) I (' ! ) TAKVE QWLQ@TSQL-FORMULAMI; NIKAKAQ DRUGAQ POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOW QZYKA L FORMULOJ NE QWLQETSQ.pRIMER 1.3sLEDU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOW QWLQETSQ FORMULOJ:(((p0 ! ?) _ p1) ! ((p1 ^ p2) ^ p3)):klassi~eskaq logika wyskazywanij5pROPOZICIONALXNYE SWQZKI : (OTRICANIE), $ (\KWIWALENTNOSTX) I KONSTANTA >(ISTINA) WWODQTSQ KAK SOKRA]ENIQ:1.1.(:') = (' ! ?);(' $ ) = (' ! ) ^ ( ! ');> = (? ! ?):eSLI FORMULA ' IMEET WID (: ) ILI ( ), PRI 2 f^; _; !; $g, TO : ILI, SOOTWETSTWENNO, NAZYWAETSQ GLAWNOJ SWQZKOJ '.
fORMULA NAZYWAETSQ POSYLKOJIMPLIKACII ! , A | EE ZAKL@^ENIEM.mY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]IE SOGLA[ENIQ O ZAPISI FORMUL: POLAGAEM, ^TO: SWQZYWAET FORMULY SILXNEE, ^EM ^ I _, KOTORYE, W SWO@ O^EREDX, SILXNEE ! I$; SKOBKI, ODNOZNA^NO WOSSTANAWLIWAEMYE NA OSNOWANII \TOGO SOGLA[ENIQ, MOGUTOPUSKATXSQ. kROME TOGO, PI[EM '1 _ '2 _ : : : _ 'n WMESTO (: : : ('1 _ '2) _ : : : _W'n) I'1 ^ 'V2 ^ : : : ^ 'n WMESTO (: : : ('1 ^ '2) ^ : : : ^ 'n). kAVDAQ FORMULA 'i W FORMULE ni=1 'iILI ni=1 'i NAZYWAETSQ DIZ_@NKTIWNYM ^LENOM ILI KON_@NKTIWNYM ^LENOM \TOJFORMULY, SOOTWETSTWENNO.s POMO]X@ WWEDENNYH SOKRA]ENIJ I SOGLA[ENIJ FORMULA IZ PRIMERA 1.3 MOVETBYTX ZAPISANA KORO^E::p0 _ p1 ! p1 ^ p2 ^ p3:mY BUDEM OBOZNA^ATX PROPOZICIONALXNYE PEREMENNYE STRO^NYMI LATINSKIMIBUKWAMI p, q, r, WOZMOVNO S INDEKSAMI; STRO^NYE GRE^ESKIE BUKWY ', , I DR. ISPOLXZUEM DLQ OBOZNA^ENIQ FORMUL, A PROPISNYE GRE^ESKIE BUKWY , , I DR.
| DLQOBOZNA^ENIQ MNOVESTW FORMUL. |TI BUKWY NE PRINADLEVAT QZYKU L; ONI | SOSTAWLQ@]AQ ^ASTX TOGO METAQZYKA, NA KOTOROM MY GOWORIM O L-FORMULAH. nEKOTORYEDRUGIE SIMWOLY NA[EGO METAQZYKA: ) (WLE^ET), , (TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA), 8(DLQ WSEH), 9 (SU]ESTWUET).mNOVESTWO WSEH PEREMENNYH L OBOZNA^AEM ^EREZ VarL, A MNOVESTWO WSEH L-FORMUL| ^EREZ ForL. fORMULY, U^ASTWU@]IE W POSTROENII FORMULY ' SOGLASNO OPREDELENI@ 1.2 I SAMA FORMULA ' NAZYWA@TSQ PODFORMULAMI '.
mNOVESTWO WSEH PODFORMULFORMULY ' OBOZNA^AEM ^EREZ Sub', A Var' | MNOVESTWO WSEH PEREMENNYH IZ Sub'.eSLI Var' = ;, TO ' NAZYWAETSQ KONSTANTNOJ FORMULOJ. oBOZNA^ENIE '(q1; : : : ; qn)ISPOLXZUETSQ W TOM SLU^AE, KOGDA Var' fq1; : : :; qng.
kROME TOGO, W NEKOTORYH SLU^AQH NAS BUDET INTERESOWATX NE PROSTO PODFORMULA NEKOTOROJ FORMULY, A EE WHOVDENIEW \TU FORMULU. nE BUDEM DAWATX TO^NOGO OPREDELENIQ \TOGO PONQTIQ, OTMETIW LI[X,^TO, NAPRIMER, W FORMULE:((p ! q) ^ r ! :(p ! q)) $ q _ (p ! q)IME@TSQ [ESTX WHOVDENIJ PODFORMULY p ! q I WOSEMX WHOVDENIJ PODFORMULY q.glawa logika wyskazywanijtAKOW SINTAKSIS KLASSI^ESKOJ LOGIKI; TEPERX OBRATIMSQ K EE SEMANTIKE I OPREDELIM KLASSI^ESKU@ INTERPRETACI@ QZYKA L.CEMANTIKA KLASSI^ESKOJ LOGIKI BAZIRUETSQ NA DWUH SLEDU@]IH POSTULATAH: KAVDOE WYSKAZYWANIE LIBO ISTINNO, LIBO LOVNO (NO NE ODNOWREMENNO), A ?WSEGDA LOVNO; ISTINNOSTNYE ZNA^ENIQ SOSTAWNYH WYSKAZYWANIJ OPREDELQ@TSQ W SOOTWETSTWIISO SLEDU@]EJ TABLICEJ ISTINNOSTI, W KOTOROJ i I l QWLQ@TSQ SOKRA]ENIQMISLOW ISTINA I LOVX, SOOTWETSTWENNO:$ ^ _ ! :i i iiilii l lillll i liiill l lliiizAMETIM, ^TO SOGLASNO \TOJ TABLICE LOVX OZNA^AET PROSTO NE ISTINA.6oPREDELENIE 1.4MNOVESTWA VarL.1.kLASSI^ESKOJ MODELX@ QZYKA L QWLQETSQ WSQKOE PODMNOVESTWO MsODERVATELXNO \TO OZNA^AET, ^TO M SOSTOIT W TO^NOSTI IZ TEH ATOMARNYH WYSKAZYWANIJ, KOTORYE W DANNOJ MODELI S^ITA@TSQ ISTINNYMI.
iNDUKCIEJ PO POSTROENI@FORMULY ' OPREDELQEM OTNO[ENIE M j= ', KOTOROE ^ITAETSQ ' ISTINNA W MODELIM ILI M QWLQETSQ MODELX@ ':NEWERNO, ^TO M j= ?;M j= p() p 2 M; DLQ KAVDOJ p 2 VarL;M j= ^ () M j= I M j= ;M j= _ () M j= ILI M j= ;M j= ! () M j= , KAK TOLXKO M j= :eSLI M j= ' NE WYPOLNQETSQ, TO PI[EM M 6j= ' I GOWORIM, ^TO ' LOVNA W M ILIM QWLQETSQ KONTRMODELX@ ', ILI M OPROWERGAET '.oTMETIM, ^TO ISTINNOSTX ILI LOVNOSTX FORMULY ' W MODELI M ZAWISIT TOLXKOOT ISTINNOSTNYH ZNA^ENIJ PEREMENNYH ' W M; ZNA^ENIQ DRUGIH PEREMENNYH NIKAKOGO WLIQNIQ NA ISTINNOSTNOE ZNA^ENIE ' NE OKAZYWA@T.mODELX M NAZYWAETSQ MODELX@ DLQ MNOVESTWA FORMUL (OBOZNA^ENIE: M j= )ESLI WSE FORMULY IZ ISTINNY W M. fORMULA ' NAZYWAETSQ (KLASSI^ESKI) TOVDESTWENNO ISTINNOJ (ILI OB]EZNA^IMOJ), ESLI ONA ISTINNA WO WSEH MODELQH L; PI[EM W \TOM SLU^AE j= '.klassi~eskaq logika wyskazywanij7pRIMER 1.5 dLQ TOGO, ^TOBY POKAZATX, ^TO FORMULAp _ (p ! ?);IZWESTNAQ KAK ZAKON ISKL@^ENNOGO TRETXEGO, DOSTATO^NO POSTROITX ISTINNOSTNU@TABLICU DLQ p _ (p ! ?), KOTORAQ WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM.p _ ( p ! ? )i ii l ll il i lI ZAMETITX, ^TO STOLBEC POD GLAWNOJ SWQZKOJ FORMULY SODERVIT TOLXKO i.oPREDELENIE 1.6 kLASSI^ESKAQ LOGIKA W QZYKE L | \TO MNOVESTWO Cl WSEH TOVDESTWENNO ISTINNYH L-FORMUL; SIMWOLI^ESKICl = f' 2 ForL : j= 'g:tAKIM OBRAZOM, Cl | \TO MNOVESTWO TEH FORMUL, KOTORYE (KLASSI^ESKI) ISTINNY NEZAWISIMO OT TOGO, KAKIE ISTINNOSTNYE ZNA^ENIQ PRINIMA@T WHODQ]IE W NIHPEREMENNYE; TAKIE FORMULY MOVNO NAZWATX (KLASSI^ESKIMI) LOGI^ESKIMI ZAKONAMI.wOT SPISOK ZAKONOW, KOTORYE PONADOBQTSQ NAM W DALXNEJ[EM.p^q $q^p| KOMMUTATIWNOSTX KON_@NKCII;p_q $q_p| KOMMUTATIWNOSTX DIZ_@NKCII;p ^ ? $ ?; p ^ > $ p; p _ ? $ p; p _ > $ >; ? ! p; p ! >;p ^ :p ! q| ZAKON dUNSA sKOTA;p ^ (q ^ r) $ (p ^ q) ^ r| ASSOCIATIWNOSTX KON_@NKCII;p _ (q _ r) $ (p _ q) _ r| ASSOCIATIWNOSTX DIZ_@NKCII;(p ^ q) _ q $ q; p ^ (p _ q) $ p| ZAKONY POGLO]ENIQ;p ^ (q _ r) $ (p ^ q) _ (p ^ r)| DISTRIBUTIWNOSTX KON_@NKCIIOTNOSITELXNO DIZ_@NKCII;p _ (q ^ r) $ (p _ q) ^ (p _ r)| DISTRIBUTIWNOSTX DIZ_@NKCIIOTNOSITELXNO KON_@NKCII;p ! (q ! p)| ZAKON NAWE[IWANIQ LI[NEJ POSYLKI;(p ! q) ! ((q ! r) ! (p ! r))| ZAKON SILLOGIZMA;(p ! (q ! r)) $ (p ^ q ! r)| SOEDINENIE POSYLOK;):(p _ q) $ :p ^ :q| ZAKONY dE mORGANA;:(p ^ q) $ :p _ :q1.1.8glawa1.logika wyskazywanij(p ! q) $ :p _ q;(p ! q) $ :(p ^ :q);(p ! q) $ (:q ! :p)| ZAKON KONTRAPOZICII;p $ ::p| ZAKON DWOJNOGO OTRICANIQ.w RASSUVDENIQH, OSOBENNO MATEMATI^ESKIH, MY ^ASTO GOWORIM, ^TO ODNO WYSKAZYWANIE SLEDUET IZ DRUGOGO.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
